【正文】 由此得證 aayxaa xxy ln)c o s( c o s ??? . 4 利用積分中值定理證明不等式 積分第一中值定理：若函數(shù) f 在 ],[ ba 上連續(xù)，則至少存在一點 ],[ ba?? ，使得 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 ? ????ba baabfdxxf )(),)(()( ??. 積分第二中值定理：設(shè)函數(shù) f 在 ],[ ba 上可積，若 g 為單調(diào)函數(shù)，則 ],[ ba??? ，使得 ? ? ???ba a b dxxfbgdxxfagdxxgxf ? ? )()()()()()( . 例 1．設(shè) )(xf 為 ]1,0[ 上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng) yx? 時，)()( yfxf ? ），證明對于 10 ??? ?? ,有下面的不等式成立 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf . 證明：由積分第一中值定理有 ? ???????? ????????? )(),)(())(()( 11 ffdxxf . ??? )()( 20 fxf ?? , )0( 2 ?? ?? . 從而 ?? ??? ??? ???? dxxffdxxf )(1)()(1 0 . 因此可得 ? ??? ? ???? 0 )()()1( dxxfdxxf . 即 ? ??? ? ?????? 0 )()()1( dxxfdxxf . 又因 10 ??? ?? ,所以 110 ?????,故 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf . 例 2. 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明 dxxfbadxxxf baba ?? ?? )(2)( . 證明：要證該不等式只需證明 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 8 0)()2( ???? dxxfbaxba . 由于 )(xf 單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理，則存在 ],[ ba?? ，使 ??? ???????? baba dxbaxbfdxbaxafdxxfbax ?? )2()()2()()()2( ?? ??????? bba dxbaxafbfdxbaxaf ? )2()]()([)2()( )](22)][()([22 ?? ?????? bbabafbf 0)(2)]()([ ????? abafbf ??. 故 0)()2( ???? dxxfbaxba . 即 dxxfbadxxxf baba ?? ?? )(2)( . 5 利用泰勒公式證明不等式 定理 :若函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上存在直至 n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在 ),( ba 內(nèi)存在 )1( ?n階導(dǎo)函數(shù) ,則對任意給定的 x ， ],[0 bax ? ，至少存在一點 ),( ba?? ,使得 : )(xf )( 0xf? ))(( 00 xxxf ??? 200 )(!2 )( xxxf ???? ????? 10)1( )(! )( ?? ? nn xxnf ? . 例 )(xf 在 ]1,0[ 存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 0)1()0( ?? ff ，并且當(dāng) )1,0(?x 時， Axf ??? )( ，求證： )1,0(2)( ??? xAxf ， . 證明 :由于 ()fx在 [0,1] 上有二階連續(xù)導(dǎo)函，因此對任何 )1,0(0?x ，利用 (1)f和 (0)f 在 0x 點的二階泰勒公式可得 ,)1(!2 )(39。!2 )(39。Method. 。)(39。)1)((39。 分院名稱 ： 數(shù)學(xué)學(xué)院 學(xué) 生學(xué)號 ： 0907140132 長春師范大學(xué) 本科畢業(yè) 論文 （設(shè)計） （理工類） 題 目： 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者 姓 名： 指導(dǎo)教師姓名： 指導(dǎo)教師職稱： 2020 年 5 月 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） I 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）作者承諾保證書 本人鄭重承諾：本篇畢業(yè)論文（設(shè)計）的內(nèi)容真實、可靠 .如果存在弄虛作假、抄襲的情況，本人愿承擔(dān)全部責(zé)任 . 論文作者簽名： 日期： 年 月 日 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）指導(dǎo)教師承諾保證書 本人鄭重承諾：我已按有關(guān)規(guī)定對本篇畢業(yè)論文（設(shè)計）的 選題與內(nèi)容進行指導(dǎo)和審核，堅持一人一題制，確認(rèn)由作者獨立完成 .如果存在學(xué)風(fēng)問題，本人愿意承擔(dān)指導(dǎo)教師的相關(guān)責(zé)任 . 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 年 月 日 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） II 目 錄 承諾保證書………………………………………………………………… I 前言 ………………………………………………………………………… 1 1 構(gòu)造變限積分證明不等式……………………………………………… 1 2 利用函數(shù)單調(diào)性證 明不等式 …………………………………………… 2 3 利用微分中值定理 證明不等式 ………………………………………… 4 4 利用積分中值定理證明不等式 ………………… … …………………… 6 5 利用泰勒公式證明不等式 ……………………………………………… 8 6 利用函數(shù)極值證明不等式 ……………………………………………… 9 7 利用函數(shù)凹凸性證明不等式 …………………………………………… 11 8 利用冪級數(shù)展開式證明不等式 ………………………………………… 12 9 利用著名不等式證明不等式 …………………………………………… 13 參考文獻…………………………………………………………………… 16 致 謝 …………………………………………………………………… 17 英文摘要…………………………………………………………………