【正文】 ( ?? ? ?? ? )()()1()(2)(1 xfxfxdxxfxfx ????????? → ? ?? ? )()1()()(1)()( xfxdxxfxfxdxxFxF ???????? ? ?. 證明：令 )()1()( xfxxF ?? ，由于 )(xF 在 ? ?1,0 上連續(xù)，在 ? ?1,0 內可導，且 )()()1()( xfxfxxF ????? ，又 0)1()0( ?? FF ,則由羅爾定理知：存在 ? ?1,0?c ， 使得 0)()()1()( ?????? cfcfccF ，又 0)1()1( ???? fF ，從而 )(xF? 在 ? ?1,c 上 .再由羅爾定理知：必存在一點 ? ? ? ?1,01, ?? c? ，使得 0)(2)()1()( ????????? ???? ffF 即??? ????? 1 )(2)( ff 5 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理的意義及分析 拉格朗日中值定理的幾何意義 :在滿足定理條件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點( , ( ))Pf??,使得過該點的切線平行于曲線兩端點的連線 ( , ( ))a f a ,( , ( ))b f b 兩點的弦 .我們在證明中引入的輔助函數 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f aF x f x f a x aba?? ? ? ??,正是曲線()y f x? 與弦線之差 . 拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣 ,當 ( ) ( )f a f b? 時 ,本 定理即為羅爾中值定理的結論 ,這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個特殊情形 ()y f x? . 拉格朗日中值定理的其它表示形式 : (1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?,ab???。 (3) .0,)()()( hhhafafhaf ??????? ?? 值得注 意的是 :拉格朗日中值定理無論對于 ab? ,還是 ab? 都成立 .而 ? 則是介于 a 與 b 之間的某一定數 ,而 (2),(3)兩式的特點 ,在于把中值點 ? 表示成了()a b a???,使得不論 a ,b 為何值 ,? 總可為小于 1的某一整數 . 拉格朗日中值定理證明不等式 例 2 (1)如果 0x? ,試證 ln(1 )1 x xxx ? ? ?? 。新課程標準更加注重理論聯系實際且應用實際的原則，因此本文最后還給出一些基本不等式在現實生活中的應用。 Cauchy Mean Value Theorem。 (2) 如果在 ? ?,ab 內函數 ()fx的導數 ( ) 0fx? ? ,則函數 ()fx在 ? ?,ab 上單調減少 .另外 ,函數 ()fx在 ? ?,ab 內除有個別點外 ,仍有 ( ) 0fx? ? (或 ( ) 0fx? ? ),則函數 ()fx在? ?,ab 上單調增加 (或減少 )的 ,即連續(xù)函數在個別點處無導數并不影響函數的單調性 . 再利用函數的單調性及函數圖象上峰值點與各極值點的性質 ,便可以方便地求出函數的極值 ,從而證明出不等式 . 其方法為 :確定函數 ()fx的定義域 ,然后求出定義域內的所有駐點 ,并找出 ()fx連續(xù)但 ()fx? 不存在的所有點 ,討論所有駐點和不可導點左右兩側附近 ()fx? 的符號變化情況 ,確定函數 ()fx的極值點 ,并求出相應的極大值點與極小值點 ,從而進一步證明不等式 . 例 8 求證 (1)當 0x? 時 ,證明 2ln(1 ) 2xxx? ? ? 成立 . (2)當 (0, )2x ?? 時 ,證明 tan sinxx? 成立 . 證明 (1)令 2)1ln()( 2xxxxf ???? ,因為函數 ()fx在 [0, )?? 上連續(xù) ,在 (0, )??內可導 ,且 21( ) 111xf x xxx? ? ? ? ???. 當 0x? 時 , 2( ) 01xfx x? ??? ,所以當 0x? 時 ,函數 ()fx是單調遞增的 .故當 0x? 時 ,有 : ( ) (0) 0f x f??,即 ( ) 0fx? , 15 從而 2ln(1 )2xxx? ? ?成立 . (2)因為 (0, )2x ??,所以 sin 0x? ,tan 0x? .令函數 2( ) si n ta nf x x x x??,則有 : 2 1( ) s in s e c s in 2 ta n ( c o s )c o sf x x x x x x x x? ? ? ? ? ? 因為 (0, )2x ??時 , 1cos 2cosx x??,tanxx? ,所以 ( ) 0fx? ? .即 ()fx在 (0, )2x ??時嚴格遞增的 ,又因為 0)0( ?f ,所以 ( ) 0( (0, ))2f x x ??? ,即 tan sinxx? 成立 . 例 9 設函數 ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上二次可微 ,且滿足 ( ) 0fx?? ? , 試證 :當 a x b??時 ,有不等式 : ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f b f ax a b a???成立 . 證明 令 ( ) ( )() f x f ax xa? ?? ? ,那么 ( ) ( )( ) ( )f x fx a xxa ??????? ? ? ??. 由于 ( ) 0fx?? ? ,可知 ()fx? 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上是嚴格遞增的 ,即 ( ) ( )f x f ???? , 從而有 ( ) 0x?? ? , 故函數 ()x? 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上也是嚴格遞增的 ,于是當 ? ?,x ab? 時 ,有 : ( ) ( )xb??? , 即 ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f b f ax a b a??? 成立 . 16 第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應 用 例 10 a1,n 1? .證明 ? ?naaaa nnnn an 2111111ln1 2 ?????? 分析：即證 ? ? aanaaana nnnn lnln 211112111 ??? ??? 注意： ? ? aaa xx ln?? 對 axxf ?)( 用微分中值定理 證明：令 axxf ?)( )(111)11()1( ?fnnnfnf ?????? )111( nn ，??? 即 annaaa nn ln)1( 1111 ???? ? ? ? naaaana nnnn nna 21111211 )1(ln1 ????? ??? ? 例 11 設 0ab，證明不等式ab ababa ???? lnln2 22 證明： )( ba，??? ?? 1lnln /)(l n ???? ? ?x xab ab ababa 1112 22 ???? ? baab 222 ?? aab 11 ? 即證 例 12：證明不等式 （ 1） ；， 102 2 ???? ?????? ? nyxyxyxnnn （ 2） yxeee yxyx ??? ? ，22 證明：（ 1） 設 ??xf =xn ,則 當 n1 時 xnnxf 1)( ??? 00)1()( 2 ??????? ? xnnxf x n ， 所以 ??xf 在（ 0， +? ）上嚴格下凸，因而 17 ；， 102 2 ???? ?????? ? nyxyxyxnnn (2)設 ??xf =ex ,則 ? ?， ??????????? xxfxf e x 0)()( 所以 ??xf 在 ? ????? ， 上嚴格下凸，因而 yxeee yxyx ??? ? ，22 例 13 設 ??xf 在 ? ?ba, 連續(xù)，在 ? ?ba, 二階可導，證明存在 ? ?ba,?? 使 ? ? ? ? )(22 22?fbafafbf ab ????????? ??? ?????? ? 證明：設 ? ? ? ? ?????? ???? 2 abxfxfxg 由于 ? ?,22 afbafbag ??????? ???????? ? ? ? ? ? ?????? ??? 2 bafbfbg 在區(qū)間 ?????? ? bba ，2上對 ??xg 應用 Lagrange 中值定理，即得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ???????? ????????? ??? ? 2222 abbagbgbafafbf g ? ? ? ?????? ??????? ?????? ?????? 22 ababff ?? ? ? ?????? ???? 22abf ? 即證 18 第八章 基本不等式在現實生活中的應用 數學是來源于生活且應用于生活 .在 新課標的標準下，我們的課程標準更加注重理論聯系實際，擺脫曾經所出現的“書呆子