【正文】 ( ?? ? ?? ? )()()1()(2)(1 xfxfxdxxfxfx ????????? → ? ?? ? )()1()()(1)()( xfxdxxfxfxdxxFxF ???????? ? ?. 證明：令 )()1()( xfxxF ?? ，由于 )(xF 在 ? ?1,0 上連續(xù)，在 ? ?1,0 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()()1()( xfxfxxF ????? ，又 0)1()0( ?? FF ,則由羅爾定理知：存在 ? ?1,0?c ， 使得 0)()()1()( ?????? cfcfccF ，又 0)1()1( ???? fF ，從而 )(xF? 在 ? ?1,c 上 .再由羅爾定理知：必存在一點(diǎn) ? ? ? ?1,01, ?? c? ，使得 0)(2)()1()( ????????? ???? ffF 即??? ????? 1 )(2)( ff 5 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理的意義及分析 拉格朗日中值定理的幾何意義 :在滿足定理?xiàng)l件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點(diǎn)( , ( ))Pf??,使得過該點(diǎn)的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線 ( , ( ))a f a ,( , ( ))b f b 兩點(diǎn)的弦 .我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f aF x f x f a x aba?? ? ? ??,正是曲線()y f x? 與弦線之差 . 拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣 ,當(dāng) ( ) ( )f a f b? 時(shí) ,本 定理即為羅爾中值定理的結(jié)論 ,這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個(gè)特殊情形 ()y f x? . 拉格朗日中值定理的其它表示形式 : (1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?,ab???。 (3) .0,)()()( hhhafafhaf ??????? ?? 值得注 意的是 :拉格朗日中值定理無論對(duì)于 ab? ,還是 ab? 都成立 .而 ? 則是介于 a 與 b 之間的某一定數(shù) ,而 (2),(3)兩式的特點(diǎn) ,在于把中值點(diǎn) ? 表示成了()a b a???,使得不論 a ,b 為何值 ,? 總可為小于 1的某一整數(shù) . 拉格朗日中值定理證明不等式 例 2 (1)如果 0x? ,試證 ln(1 )1 x xxx ? ? ?? 。新課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重理論聯(lián)系實(shí)際且應(yīng)用實(shí)際的原則，因此本文最后還給出一些基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。 Cauchy Mean Value Theorem。 (2) 如果在 ? ?,ab 內(nèi)函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) 0fx? ? ,則函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上單調(diào)減少 .另外 ,函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)除有個(gè)別點(diǎn)外 ,仍有 ( ) 0fx? ? (或 ( ) 0fx? ? ),則函數(shù) ()fx在? ?,ab 上單調(diào)增加 (或減少 )的 ,即連續(xù)函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處無導(dǎo)數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)性 . 再利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象上峰值點(diǎn)與各極值點(diǎn)的性質(zhì) ,便可以方便地求出函數(shù)的極值 ,從而證明出不等式 . 其方法為 :確定函數(shù) ()fx的定義域 ,然后求出定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn) ,并找出 ()fx連續(xù)但 ()fx? 不存在的所有點(diǎn) ,討論所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左右兩側(cè)附近 ()fx? 的符號(hào)變化情況 ,確定函數(shù) ()fx的極值點(diǎn) ,并求出相應(yīng)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn) ,從而進(jìn)一步證明不等式 . 例 8 求證 (1)當(dāng) 0x? 時(shí) ,證明 2ln(1 ) 2xxx? ? ? 成立 . (2)當(dāng) (0, )2x ?? 時(shí) ,證明 tan sinxx? 成立 . 證明 (1)令 2)1ln()( 2xxxxf ???? ,因?yàn)楹瘮?shù) ()fx在 [0, )?? 上連續(xù) ,在 (0, )??內(nèi)可導(dǎo) ,且 21( ) 111xf x xxx? ? ? ? ???. 當(dāng) 0x? 時(shí) , 2( ) 01xfx x? ??? ,所以當(dāng) 0x? 時(shí) ,函數(shù) ()fx是單調(diào)遞增的 .故當(dāng) 0x? 時(shí) ,有 : ( ) (0) 0f x f??,即 ( ) 0fx? , 15 從而 2ln(1 )2xxx? ? ?成立 . (2)因?yàn)?(0, )2x ??,所以 sin 0x? ,tan 0x? .令函數(shù) 2( ) si n ta nf x x x x??,則有 : 2 1( ) s in s e c s in 2 ta n ( c o s )c o sf x x x x x x x x? ? ? ? ? ? 因?yàn)?(0, )2x ??時(shí) , 1cos 2cosx x??,tanxx? ,所以 ( ) 0fx? ? .即 ()fx在 (0, )2x ??時(shí)嚴(yán)格遞增的 ,又因?yàn)?0)0( ?f ,所以 ( ) 0( (0, ))2f x x ??? ,即 tan sinxx? 成立 . 例 9 設(shè)函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上二次可微 ,且滿足 ( ) 0fx?? ? , 試證 :當(dāng) a x b??時(shí) ,有不等式 : ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f b f ax a b a???成立 . 證明 令 ( ) ( )() f x f ax xa? ?? ? ,那么 ( ) ( )( ) ( )f x fx a xxa ??????? ? ? ??. 由于 ( ) 0fx?? ? ,可知 ()fx? 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上是嚴(yán)格遞增的 ,即 ( ) ( )f x f ???? , 從而有 ( ) 0x?? ? , 故函數(shù) ()x? 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上也是嚴(yán)格遞增的 ,于是當(dāng) ? ?,x ab? 時(shí) ,有 : ( ) ( )xb??? , 即 ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f b f ax a b a??? 成立 . 16 第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應(yīng) 用 例 10 a1,n 1? .證明 ? ?naaaa nnnn an 2111111ln1 2 ?????? 分析：即證 ? ? aanaaana nnnn lnln 211112111 ??? ??? 注意： ? ? aaa xx ln?? 對(duì) axxf ?)( 用微分中值定理 證明：令 axxf ?)( )(111)11()1( ?fnnnfnf ?????? )111( nn ，??? 即 annaaa nn ln)1( 1111 ???? ? ? ? naaaana nnnn nna 21111211 )1(ln1 ????? ??? ? 例 11 設(shè) 0ab，證明不等式ab ababa ???? lnln2 22 證明： )( ba，??? ?? 1lnln /)(l n ???? ? ?x xab ab ababa 1112 22 ???? ? baab 222 ?? aab 11 ? 即證 例 12：證明不等式 （ 1） ；， 102 2 ???? ?????? ? nyxyxyxnnn （ 2） yxeee yxyx ??? ? ，22 證明：（ 1） 設(shè) ??xf =xn ,則 當(dāng) n1 時(shí) xnnxf 1)( ??? 00)1()( 2 ??????? ? xnnxf x n ， 所以 ??xf 在（ 0， +? ）上嚴(yán)格下凸，因而 17 ；， 102 2 ???? ?????? ? nyxyxyxnnn (2)設(shè) ??xf =ex ,則 ? ?， ??????????? xxfxf e x 0)()( 所以 ??xf 在 ? ????? ， 上嚴(yán)格下凸，因而 yxeee yxyx ??? ? ，22 例 13 設(shè) ??xf 在 ? ?ba, 連續(xù)，在 ? ?ba, 二階可導(dǎo)，證明存在 ? ?ba,?? 使 ? ? ? ? )(22 22?fbafafbf ab ????????? ??? ?????? ? 證明：設(shè) ? ? ? ? ?????? ???? 2 abxfxfxg 由于 ? ?,22 afbafbag ??????? ???????? ? ? ? ? ? ?????? ??? 2 bafbfbg 在區(qū)間 ?????? ? bba ，2上對(duì) ??xg 應(yīng)用 Lagrange 中值定理，即得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ???????? ????????? ??? ? 2222 abbagbgbafafbf g ? ? ? ?????? ??????? ?????? ?????? 22 ababff ?? ? ? ?????? ???? 22abf ? 即證 18 第八章 基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)是來源于生活且應(yīng)用于生活 .在 新課標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)下，我們的課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重理論聯(lián)系實(shí)際，擺脫曾經(jīng)所出現(xiàn)的“書呆子