【正文】 2 2 2121 2 2 3 11... 2nna a aa a a a a a? ? ? ?? ? ? 證明：方法 1 構造對偶式 24 設 P= 2 2 2121 2 2 3 1...nna a aa a a a a a? ? ?? ? ?,Q= 2 2 2231 2 2 3 1...nna a aa a a a a a? ? ?? ? ? Q 為 P 的對偶式。 評注：方法二是待定系數法。 證明：構造兩個復數 212 92,z u i u z v iv? ? ? ? ? 可知 12z z z?? 將三角不等式1 2 1 2z z z z? ? ?應用于此題得到 ? ? 2 222 2 2 229( 2 )81( 2 )18 222u v uvv u uv? ? ? ?? ? ? ? ???? 等號成立的條件是 29 2u v uv ?? 26 2 281v v? 0v? 即 2, 3uv?? 構造向量 常模仿向量不等式 m n m n? ? ? 來構造。假設 1113 ()nk fnkk? ??? 現(xiàn)在我們就通過數學歸納法確定 ()fn 1n? 時 28 111 3 (1)(1) 2ff? ? ? ? ()i 1 1 133( ) ( 1 )( 1 ) 1 f k f kkk ? ? ? ? ??? 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f k f k kk? ? ?? ?? ()ii 也就是說 ()fn滿足 1(1) ( )2fi? 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f k f k kk? ? ?? ?? ()ii 結合 ()ii 中不等式右邊的結構，我們設 1()11 ( 1 ) 1111( 1 )111f n nk k k kn n n nnn???????? ? ?????? ? ?? ? 恒成立。從哲學上來說，這也是易于理解的。如何將研究推進深化？進而形成一般的理論需要不斷探索。同時，感謝文獻的作者們，我從你們那兒吸收了大量富有價值的觀點，擴大了我的視野，增加了我的見識。這要求我們學會學習，現(xiàn)代社會，文盲不是目不識丁的人，而是沒有學習能力的人。同時，也可讓我們體會到無窮 的解題之樂！ 學問無止境。 則有數學歸納法有 1nk?? 時 2 1 11 1 1 1 34 1 1 34 1...2 1 2 1 2 1 2 1 21 ( ) 2 1 21 ( 1 )k k kf k f k??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 11 1 12 1 ( ) ( 1 )k f k f k? ???? 設 ( ) 2nf n a? 于是11121262 1 1122kkkaa?????? ? ?對任意的 kN?? 恒成立： 1212613m in 124kaa ????? ? ????? 取 34a? 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 31 即可。證明這一類不等式，如果用數學歸納法，當我們從 nk? 向 1nk??過渡時，我們常常會發(fā)現(xiàn)，從 nk? 的假設推不出或不容易推出 1nk??的結論！假設和結論之間的傳遞性消失或者隱藏 起來了！這導致思路受阻，解題失敗。就像太極拳，使得妙便有四兩撥千斤之效。 證法二 P 如前所述，設 0?? ，為待定常數。 證明：如圖 寧波大學理學院本科畢業(yè)設計（論文） 23 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , (1 , 1 ) , ( 0 , 1 )A B C D是正方形的四個頂點， ( , )Exy 是平面上任意一點。常利用勾股定理、面積關系、邊長關系、周長關系、正弦定理、余弦定理。 例 6 對一切大于 1 的自然數，證明： 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )3 5 2 1 2nn ?? ? ? ?? 分析：這是上面所說的數列型不等式，因此可以構造相應的函數證明。把不等式轉化為 2 4b ac?? ? 的形式，大多情況下需要考慮根的分布情況，利用根與系數的關系求解。 2，當 = ( , ) = L ( x , x ) = xx y L x y時 ， 按 照 定 義 ， ( , )=G(x,x)=xG x y 顯然有 ( , )= ( , )G x y L x y .. 綜上所述 ( , ) ( , )G x y L x y? 成 立 。 證明：構造函數2 1() 1xfx x ?? ?，當 1x? 時 16 則2 2 21 1 1 1() 21 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 2( 1 ) 2( 1 ) 21x x xfx x x x xxx? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 令 2()g t tt??，就是對勾函數。對于一個較難的問題，可能我們使用數學歸納法不需要觸及到問題的本質，只需要按部就班的運用就可以 使問題獲解，但即使我們給出了解答，也很是迷茫。 下面看兩個實例： 例 1 證明對任意的 *,mn N? ,不等式 1 1 1...ln( 1 ) ln( 2 ) ln( ) ( )nm m m n m m n? ? ? ?? ? ? ?恒成 14 立。首先，看一看什么是數列型不等式。這些思想超越了方法，更加具有一般性，和普遍性?；谶@樣一種追求，我們常能發(fā)現(xiàn)巧妙的方法。如何思考比得出結果具有更大的意義。 （ 3） 根據已知條件和已知知識，準確構造相關數學模型。但是應當看到，任何事物都有兩面性。將構造思想發(fā)展到極致的是布勞威爾，他否認排中律，主張一切數學對象必須能像自然數那樣能被在有限步驟內構造出來才可以認為是存在的，這就是著名的“存在必須被構造”。 此后，數學得到了長足的發(fā)展 —— 非歐幾何的建立、康托集合的誕生。從歐幾里得的證法我們不難看出構造法在其中的運用。這即是第一次數學危機。從微觀方面來說，構造法是根據所要解決的具體問題，展開聯(lián)想，有針對性的構造某種切合數學問題的模型，進而尋找到問題解決的途 徑。第三章四章是結語。四十多年來，對這兩者的研究延續(xù)不斷，可謂方興未艾。作為一種極富創(chuàng)新精神的方法，構造法被廣泛的運用于中學數學競賽的各個部分。對比近三十年的文獻，本文的創(chuàng)新之處在于將加強命題證明不等式作為構造法證明不等式的一種新模型作了一些探索，對思維構造過程 作了相應論述，對某些模型的構造思維生發(fā)過程給予比較細致的剖析。綜上所述，我比較傾向于以下的理解，無論是數學體系的構建，如現(xiàn)在盛行的公理化方法，還是具體問題，構造法就是根據問題的典型特征，或選擇具有相容性的，不言自明的公設，推導出一整套數學；或是以問題所給條件，結論為元件，發(fā)現(xiàn)問題各個環(huán)節(jié)的聯(lián)系，從而形成數學模型，達到解決問題的目的。隨后，在希臘數學家歐幾里得之前，人們并不知道素數是否有無窮多個。 據說，在西方，除了《圣經》之外，出版次數最多，流傳最廣的書就是歐幾里得的《幾何原本》，這是體現(xiàn)公理化思想的典范。 19 世紀末， 20 世紀早期，人們竟然發(fā)現(xiàn)可以從被數學家廣泛接受的，作為數學基礎的康托集合論推出矛盾。布勞威爾在自己觀點的指導下建立了構造性數學，構造性，構造性實數，構造性集合，構造性微 積分。構造法并不是萬能的。 12 （ 4） 求解。清晰地給出數學模型在我們頭腦中產生的過程，是非常困難的。歷史上，羅素的層次論就因為過于復雜，龐大，與數學基礎的簡明性不符，不能為數學家們所接受，只好遺憾地“束之高閣，并不實行”。 下面讓我們通過實例來領 略構造法在證明不等式中的運用，體會巧妙之處，增強創(chuàng)新能力。通常，我們把形如 “10 , ( , ) ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ? ? ??” “10 , ( , ) ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ? ? ??”稱為為數列不等式。 分析：當把 m 固定時，就是關于 n 的不等式，符合命題 1 的條件。于是我們將變形為 33 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ??????。利用對勾函數的單調性知道 1x? 時， 11()( 2 ) ( 2 )fxgg??? ，即 222 1 1 2 1 1,02 1 2 1xx? ? ? ?? ? ? ??? 1x? 時， (1) 0f ? 綜上所述 22 1 1 2 12 1 2xx? ? ?? ? ?? 下面的這道例題選自《代數不等式》： 例 4 對于正數 ,xy， ( , )=ln lnxyL x y xy xy? ( , )=Lxx x =xy 叫做 x,y 的對數平均數， +( , )= 2xyM x y 叫做算術平均數， ( , )=G xy xy 叫做幾何平均數。 接下來證明 ( , ) ( , )L x y M x y? 即 當 xy? 時，有 18 +ln ln 2x y x yxy? （ 1） 當 +x=y =2xx 時 ， x 不妨設 xy 欲證不等式（ 1）成立只需證明 1 +1 2lnxxyyxy (2) 在（ 2）中令 = , 1xtty，即 1 +1ln 2ttt （ 3） 作函數 (t)=tlnt+lnt2t+2? 。歷史上，著名的柯西不等式就是運用構造方程的方法解決的。但除此而外，也可以 20 構造數列進行證明。 例 8 已知 a， b， C∈ R? 求證： 22 3cyc cyca b ab a? ? ??? 分析：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，不等式左邊每一項根號下都據有余弦定理的形式，因此考慮構造三角形。 2 2 2 22 2 2 2, ( 1 )( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )A E x y D E x yB E x y C E x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 略加分析，容易看出 ,A E C E A C D E B E B D? ? ? ? 22A E B E C E D E A C B D? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當且僅 當 11,22xy??取“ ? ” 證畢