【正文】 2 2 2121 2 2 3 11... 2nna a aa a a a a a? ? ? ?? ? ? 證明：方法 1 構(gòu)造對偶式 24 設(shè) P= 2 2 2121 2 2 3 1...nna a aa a a a a a? ? ?? ? ?,Q= 2 2 2231 2 2 3 1...nna a aa a a a a a? ? ?? ? ? Q 為 P 的對偶式。 評注：方法二是待定系數(shù)法。 證明：構(gòu)造兩個(gè)復(fù)數(shù) 212 92,z u i u z v iv? ? ? ? ? 可知 12z z z?? 將三角不等式1 2 1 2z z z z? ? ?應(yīng)用于此題得到 ? ? 2 222 2 2 229( 2 )81( 2 )18 222u v uvv u uv? ? ? ?? ? ? ? ???? 等號成立的條件是 29 2u v uv ?? 26 2 281v v? 0v? 即 2, 3uv?? 構(gòu)造向量 常模仿向量不等式 m n m n? ? ? 來構(gòu)造。假設(shè) 1113 ()nk fnkk? ??? 現(xiàn)在我們就通過數(shù)學(xué)歸納法確定 ()fn 1n? 時(shí) 28 111 3 (1)(1) 2ff? ? ? ? ()i 1 1 133( ) ( 1 )( 1 ) 1 f k f kkk ? ? ? ? ??? 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f k f k kk? ? ?? ?? ()ii 也就是說 ()fn滿足 1(1) ( )2fi? 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1f k f k kk? ? ?? ?? ()ii 結(jié)合 ()ii 中不等式右邊的結(jié)構(gòu)，我們設(shè) 1()11 ( 1 ) 1111( 1 )111f n nk k k kn n n nnn???????? ? ?????? ? ?? ? 恒成立。從哲學(xué)上來說，這也是易于理解的。如何將研究推進(jìn)深化？進(jìn)而形成一般的理論需要不斷探索。同時(shí)，感謝文獻(xiàn)的作者們，我從你們那兒吸收了大量富有價(jià)值的觀點(diǎn)，擴(kuò)大了我的視野，增加了我的見識。這要求我們學(xué)會學(xué)習(xí)，現(xiàn)代社會，文盲不是目不識丁的人，而是沒有學(xué)習(xí)能力的人。同時(shí)，也可讓我們體會到無窮 的解題之樂！ 學(xué)問無止境。 則有數(shù)學(xué)歸納法有 1nk?? 時(shí) 2 1 11 1 1 1 34 1 1 34 1...2 1 2 1 2 1 2 1 21 ( ) 2 1 21 ( 1 )k k kf k f k??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 11 1 12 1 ( ) ( 1 )k f k f k? ???? 設(shè) ( ) 2nf n a? 于是11121262 1 1122kkkaa?????? ? ?對任意的 kN?? 恒成立： 1212613m in 124kaa ????? ? ????? 取 34a? 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 31 即可。證明這一類不等式，如果用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)我們從 nk? 向 1nk??過渡時(shí)，我們常常會發(fā)現(xiàn)，從 nk? 的假設(shè)推不出或不容易推出 1nk??的結(jié)論！假設(shè)和結(jié)論之間的傳遞性消失或者隱藏 起來了！這導(dǎo)致思路受阻，解題失敗。就像太極拳，使得妙便有四兩撥千斤之效。 證法二 P 如前所述，設(shè) 0?? ，為待定常數(shù)。 證明：如圖 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , (1 , 1 ) , ( 0 , 1 )A B C D是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)， ( , )Exy 是平面上任意一點(diǎn)。常利用勾股定理、面積關(guān)系、邊長關(guān)系、周長關(guān)系、正弦定理、余弦定理。 例 6 對一切大于 1 的自然數(shù)，證明： 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )3 5 2 1 2nn ?? ? ? ?? 分析：這是上面所說的數(shù)列型不等式，因此可以構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)證明。把不等式轉(zhuǎn)化為 2 4b ac?? ? 的形式，大多情況下需要考慮根的分布情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解。 2，當(dāng) = ( , ) = L ( x , x ) = xx y L x y時(shí) ， 按 照 定 義 ， ( , )=G(x,x)=xG x y 顯然有 ( , )= ( , )G x y L x y .. 綜上所述 ( , ) ( , )G x y L x y? 成 立 。 證明：構(gòu)造函數(shù)2 1() 1xfx x ?? ?，當(dāng) 1x? 時(shí) 16 則2 2 21 1 1 1() 21 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 2( 1 ) 2( 1 ) 21x x xfx x x x xxx? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 令 2()g t tt??，就是對勾函數(shù)。對于一個(gè)較難的問題，可能我們使用數(shù)學(xué)歸納法不需要觸及到問題的本質(zhì)，只需要按部就班的運(yùn)用就可以 使問題獲解，但即使我們給出了解答，也很是迷茫。 下面看兩個(gè)實(shí)例： 例 1 證明對任意的 *,mn N? ,不等式 1 1 1...ln( 1 ) ln( 2 ) ln( ) ( )nm m m n m m n? ? ? ?? ? ? ?恒成 14 立。首先，看一看什么是數(shù)列型不等式。這些思想超越了方法，更加具有一般性，和普遍性?；谶@樣一種追求，我們常能發(fā)現(xiàn)巧妙的方法。如何思考比得出結(jié)果具有更大的意義。 （ 3） 根據(jù)已知條件和已知知識，準(zhǔn)確構(gòu)造相關(guān)數(shù)學(xué)模型。但是應(yīng)當(dāng)看到，任何事物都有兩面性。將構(gòu)造思想發(fā)展到極致的是布勞威爾，他否認(rèn)排中律，主張一切數(shù)學(xué)對象必須能像自然數(shù)那樣能被在有限步驟內(nèi)構(gòu)造出來才可以認(rèn)為是存在的，這就是著名的“存在必須被構(gòu)造”。 此后，數(shù)學(xué)得到了長足的發(fā)展 —— 非歐幾何的建立、康托集合的誕生。從歐幾里得的證法我們不難看出構(gòu)造法在其中的運(yùn)用。這即是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。從微觀方面來說，構(gòu)造法是根據(jù)所要解決的具體問題，展開聯(lián)想，有針對性的構(gòu)造某種切合數(shù)學(xué)問題的模型，進(jìn)而尋找到問題解決的途 徑。第三章四章是結(jié)語。四十多年來，對這兩者的研究延續(xù)不斷，可謂方興未艾。作為一種極富創(chuàng)新精神的方法，構(gòu)造法被廣泛的運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)競賽的各個(gè)部分。對比近三十年的文獻(xiàn)，本文的創(chuàng)新之處在于將加強(qiáng)命題證明不等式作為構(gòu)造法證明不等式的一種新模型作了一些探索，對思維構(gòu)造過程 作了相應(yīng)論述，對某些模型的構(gòu)造思維生發(fā)過程給予比較細(xì)致的剖析。綜上所述，我比較傾向于以下的理解，無論是數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建，如現(xiàn)在盛行的公理化方法，還是具體問題，構(gòu)造法就是根據(jù)問題的典型特征，或選擇具有相容性的，不言自明的公設(shè)，推導(dǎo)出一整套數(shù)學(xué)；或是以問題所給條件，結(jié)論為元件，發(fā)現(xiàn)問題各個(gè)環(huán)節(jié)的聯(lián)系，從而形成數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問題的目的。隨后，在希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得之前，人們并不知道素?cái)?shù)是否有無窮多個(gè)。 據(jù)說，在西方，除了《圣經(jīng)》之外，出版次數(shù)最多，流傳最廣的書就是歐幾里得的《幾何原本》，這是體現(xiàn)公理化思想的典范。 19 世紀(jì)末， 20 世紀(jì)早期，人們竟然發(fā)現(xiàn)可以從被數(shù)學(xué)家廣泛接受的，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的康托集合論推出矛盾。布勞威爾在自己觀點(diǎn)的指導(dǎo)下建立了構(gòu)造性數(shù)學(xué)，構(gòu)造性，構(gòu)造性實(shí)數(shù)，構(gòu)造性集合，構(gòu)造性微 積分。構(gòu)造法并不是萬能的。 12 （ 4） 求解。清晰地給出數(shù)學(xué)模型在我們頭腦中產(chǎn)生的過程，是非常困難的。歷史上，羅素的層次論就因?yàn)檫^于復(fù)雜，龐大，與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的簡明性不符，不能為數(shù)學(xué)家們所接受，只好遺憾地“束之高閣，并不實(shí)行”。 下面讓我們通過實(shí)例來領(lǐng) 略構(gòu)造法在證明不等式中的運(yùn)用，體會巧妙之處，增強(qiáng)創(chuàng)新能力。通常，我們把形如 “10 , ( , ) ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ? ? ??” “10 , ( , ) ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ? ? ??”稱為為數(shù)列不等式。 分析：當(dāng)把 m 固定時(shí)，就是關(guān)于 n 的不等式，符合命題 1 的條件。于是我們將變形為 33 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ??????。利用對勾函數(shù)的單調(diào)性知道 1x? 時(shí)， 11()( 2 ) ( 2 )fxgg??? ，即 222 1 1 2 1 1,02 1 2 1xx? ? ? ?? ? ? ??? 1x? 時(shí)， (1) 0f ? 綜上所述 22 1 1 2 12 1 2xx? ? ?? ? ?? 下面的這道例題選自《代數(shù)不等式》： 例 4 對于正數(shù) ,xy， ( , )=ln lnxyL x y xy xy? ( , )=Lxx x =xy 叫做 x,y 的對數(shù)平均數(shù)， +( , )= 2xyM x y 叫做算術(shù)平均數(shù)， ( , )=G xy xy 叫做幾何平均數(shù)。 接下來證明 ( , ) ( , )L x y M x y? 即 當(dāng) xy? 時(shí)，有 18 +ln ln 2x y x yxy? （ 1） 當(dāng) +x=y =2xx 時(shí) ， x 不妨設(shè) xy 欲證不等式（ 1）成立只需證明 1 +1 2lnxxyyxy (2) 在（ 2）中令 = , 1xtty，即 1 +1ln 2ttt （ 3） 作函數(shù) (t)=tlnt+lnt2t+2? 。歷史上，著名的柯西不等式就是運(yùn)用構(gòu)造方程的方法解決的。但除此而外，也可以 20 構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行證明。 例 8 已知 a， b， C∈ R? 求證： 22 3cyc cyca b ab a? ? ??? 分析：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，不等式左邊每一項(xiàng)根號下都據(jù)有余弦定理的形式，因此考慮構(gòu)造三角形。 2 2 2 22 2 2 2, ( 1 )( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )A E x y D E x yB E x y C E x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 略加分析，容易看出 ,A E C E A C D E B E B D? ? ? ? 22A E B E C E D E A C B D? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅 當(dāng) 11,22xy??取“ ? ” 證畢