【正文】 同 時(shí)，對我的指導(dǎo)寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 33 老師章鷗勁老師深表感謝。近幾年來，僅國內(nèi)每年都有數(shù)以百計(jì)的文章研究數(shù)學(xué)構(gòu)造法證明不等式，但都是大同小異，鮮有新意。前者優(yōu)勢在于直接明快，缺點(diǎn)就是難于把握，事先并不知道怎樣放縮 。若能轉(zhuǎn)而證明 12 ... ( )na a a c f n? ? ? ? ?成立，則原命題顯然成立。中學(xué)階段，涉及到的關(guān)于復(fù)數(shù)的重要不等式為三角不等式1 2 1 2 1 2z z z z z z? ? ? ? ?，恰當(dāng)運(yùn)用，事半功倍。通過極其簡單的計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)，只有一個(gè) ? 值滿足條件，就是 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 14?? 。 構(gòu)造對偶式 在證明某些不等式時(shí)，可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造一些和它有內(nèi)在聯(lián)系的輔助對偶式或構(gòu)造對偶不等式，然后經(jīng)過運(yùn)算，完成對難點(diǎn)的突破，促使問題的轉(zhuǎn)化和解決。由于不等式是輪換對稱的，故而只需要取一個(gè)來構(gòu)造就可以了。 證明：構(gòu)造數(shù)列 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 )3 5 2 1 21na n n? ? ? ? ? ? 則 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 ) ( 1 )3 5 2 1 2 1 23na nn n? ? ? ? ? ??? ? 1 2 2 2 12 1 2 3nna n na n n? ??? 若能證明 2 2 2 32 1 2 1nn??? ， 問題得證。 例 5 已知 ,abc R? ，求證： 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ?。導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?1 l n( t) = , t 1 1 = 0 .t t t tt? ? ???? 當(dāng) 時(shí) ， 顯 然 有 ，即當(dāng) t1時(shí)， t)?（ 時(shí)減函數(shù)。本文將證明下列不等式： ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y??。 證明：先證明 33 323 1 3 2 121 1 3313 1 3 1 3 1 3 12nnnnn n n n? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 為此，構(gòu)造函數(shù) ( ) (1 ) 1nf x x nx? ? ? ? 只需證明 ( ) (1 ) 1 0nf x x n x? ? ? ? ?在 [1, )? 成立即可。 證明：由命題 1，我們只需證明 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n???? ? ? ?（ 1）l n ( ) ( ) ( 1 )m n m n m n? ? ? ? ? ? （ 2） 由此可構(gòu)造函數(shù) 2( ) lnf x x x x? ? ? 則 21 2 1( ) 2 1 xxf x xxx ??? ? ? ? ? ?, 顯然當(dāng)Embedded LINGO Model110 , ( ) 0 。關(guān)于數(shù)列不等式有幾個(gè)命題，這兩個(gè)命題可以幫助我們尋找所需要的函數(shù)。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 3 用構(gòu)造法證明不等式 構(gòu)造函數(shù) 數(shù)列型不等式的四個(gè)命題 針對一個(gè)具體的不等式，如何準(zhǔn)確的尋找到一個(gè)合適的函數(shù)呢？有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的人都知道，尋找過程往往充滿艱辛和反復(fù)，要經(jīng)過長時(shí)間的摸索，需要積累一些經(jīng)驗(yàn)。人們對簡單美好的事物的追求總會(huì)對人的行為產(chǎn)生潛意識的影響，指導(dǎo)著人的判斷和抉擇。但是大致來說，我們頭腦中的某些觀念總是在不知不覺的影響著我們的行為。 2 模型概述 模型歸納 和中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識點(diǎn)相比，不等式證明手段千變?nèi)f化，充滿奇思妙想，極富數(shù)學(xué)美，構(gòu)造法集中體現(xiàn)了這一點(diǎn)。由于構(gòu)造法具有極強(qiáng)的針對性，往往是一題一構(gòu)造，適用性并不強(qiáng)。但是由于直覺主義學(xué)派否認(rèn)排中律，即否認(rèn)反證法，大部分已知的數(shù)學(xué)必須被拋棄，數(shù)學(xué)家并不接受。 1919 年，著名哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素以通俗化的語言描述了這一悖論，即為羅素悖論。《原本》是一部精致的借助演繹推理的系統(tǒng)。歐幾里得對 這個(gè)問題給出肯定的回答。 構(gòu)造法歷史 可以說，構(gòu)造思想伴隨著數(shù)學(xué)產(chǎn)生。 【 關(guān)鍵詞 】 構(gòu)造法 ；構(gòu)造思想；模型。而構(gòu)造法在證明不等式方面，其獨(dú)創(chuàng)性和巧妙性往往讓人嘆為觀止。加之時(shí)代因素，由這則小消息作為發(fā)端，國內(nèi)數(shù)學(xué)界形成了一波研究數(shù)學(xué)競賽，研究初等數(shù)學(xué)的高潮。第三章結(jié)合數(shù)學(xué)競賽、高考的眾多實(shí)例對各個(gè)模型進(jìn)行說明，對一些問題給出新的解答，從中體會(huì)構(gòu)造法的迷人之處，窺見數(shù)學(xué)之美。數(shù)學(xué)分析中，諸如有界數(shù)列必有收斂子列，連續(xù)函數(shù)介值定理的證明所用的方法都不能算作構(gòu)造法，因?yàn)樗鼈兌歼`背了構(gòu)造法的有限性的原則。這直接導(dǎo)致該學(xué)派“萬物皆為數(shù)”這一信條的破滅，使人們對數(shù)的認(rèn)識得到第一次深化。這樣就證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。這是個(gè)巨大的進(jìn)步這大大解放了數(shù)學(xué)家的思想。但是這個(gè)系統(tǒng)太復(fù)雜，數(shù)學(xué)們希望找到更簡明的數(shù)學(xué)理論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。一個(gè)問題，如能找到合適的數(shù)學(xué)模型，常常可以縮短思維過程。能在短時(shí)間內(nèi)通過自己的理解強(qiáng)記題目（《解題研究》） （ 2） 仔細(xì)分析題目各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，展開聯(lián) 想，轉(zhuǎn)化為熟知的問題。 如何構(gòu)造模型 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模 型很重要，而 促使我們構(gòu)造出這些模型的思維過程則更為重要。對數(shù)學(xué)美，簡潔性的追求是一種原動(dòng)力。調(diào)頻構(gòu)造就是波利亞說的“從各個(gè)不同方向攻擊堡壘”，思路受阻時(shí)，改變思路，就像看電視一樣，電視不好看，調(diào)換頻道。而數(shù)列型不等式是高考的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓許多考生望題興嘆。命題 3 和命題 4 是對偶的。但數(shù)學(xué)歸納法比較繁瑣，而且容易寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 掩蓋問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。 其他例子 如果不是這種類型的不等式呢？ 我們看下兩例 例 3 證明：對任意的實(shí)數(shù) x ，均有22 1 1 2 12 1 2xx? ? ?? ? ??。 當(dāng) ? ? ? ?t 1 g 1 =0t時(shí) ， 有 g 即 ?（ ） 成 立 。 構(gòu)造方程 構(gòu)造方程模型證明不等式，往往和一元二次方程聯(lián)系起來，有時(shí)這種 選擇是最佳的。 構(gòu)造數(shù)列 構(gòu)造數(shù)列證明不等式，主要是利用數(shù)列的單調(diào)性。但某些不等式具有較為明顯的幾何背景，這時(shí)若能適當(dāng)聯(lián)想，則問題很可能順利得到解決。 再看一例 例 9 求證： 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析：此題可以可以構(gòu)造圖形來解決，一直不等式左邊每一項(xiàng)均可看作點(diǎn) ( , )xy 到某些定點(diǎn)的距離，這些點(diǎn)是 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , (1 , 0 ) , (1 , 1 )A B D C,這四個(gè)點(diǎn)是邊長為 1 的正方形的頂點(diǎn)。這就是下面的證法。待定系數(shù)法似拙實(shí)巧，實(shí)際上是一種極高妙的解法。 加強(qiáng)命題證明不等式 在和正整數(shù)有關(guān)的命題中，有形如“ 12 ... na a a c? ? ? ?（ c 是常數(shù)）， 0na? ”的不等式。這就是下面的證法 2. 證法 2： ? ? ? ?22221 1 1 1( 1 ) ( 1 )( 1 )111 1 1 1 1()2 ( 1 )( 1 ) 2 1 11111k k k k kk k k kkk kkk k k k k kkk? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? 由此得到 11 1 1 1 1 1 11 ....1 3 2 4 3 11 1 1 12 1 11 1 12211223nk k k n nn n n nnn?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? 證法二 ? ?? ?? ?2222( ) 11 1 1 1111 1 1()1112( )1kkk k k kkk k k kkkk k kkk??? ? ??????????? 由此得到 11 1 1 1 1 11 2( 1 ... )2 2 3 111 2( 1 )3nk k k n nn?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? 讓我們再看一例 例 14 求證：21 1 1 3 4. . . ,2 1 2 1 2 1 2 1n nN ?? ? ? ? ?? ? ? 30 證明：證法 1：與上例一樣，我們設(shè)調(diào)控函數(shù)為 1()fn的形式， ( ) 0fn? 21 1 1 3 4 1. . . ,2 1 2 1 2 1 2 1 ( )( ) 0n nNfnfn?? ? ? ? ? ?? ? ?? 則1 34 12 1 21 (1)f???，即 21(1) 13f ? （ 1） 設(shè) nk? 時(shí) 21 1 1 34 1... ,2 1 2 1 2 1 21 ( )k kNfk ?? ? ? ? ? ?? ? ?成立。 4 結(jié)語 總結(jié)與回顧 以上我們通過眾多的實(shí)例分析了構(gòu)造法證明不等式，可以發(fā)現(xiàn) 述構(gòu)造法證明不等式的模型眾多， 32 有著豐富的價(jià)值，它能極好的拓寬我們的視野，幫助我們形成勤于思考，勇于創(chuàng)新的優(yōu)良思維品質(zhì)。在今后的生活里，我們會(huì)碰到各方面的問題。特別是張景中院士，單遵教授。這也是本人今后繼續(xù)研究之路的方向。每種解法都各有得失，沒有哪種方法是盡善盡美的。 設(shè)111() 11ngnn????是 增函數(shù)，且 lim ( ) 2n gn?? ? 21()2f n n??? 因此命題可加強(qiáng)為 1123nk k k n? ??? 再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。 例 12 已知 (0, )2??? ，求證： 111 1 5s in c o s??? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? 分析 證明：令 11(1 , ) , (1 , )sin c o smn???? 由向量不等式有 1 1 1( 1 ) ( 1 )( 1 )s i n c o ss i n c o sm n m n ????? ? ? ? ? ? ? ? 整理得 221 1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )s i n c o s s i n c o s s i n 2?? ? ? ?? ? ? ? ? ? (0, )2???? ? 221 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ) 5s i n c o s s i n 2?? ?? ? ? ? ? ? ? 還可以考慮柯西不等式。對于某些