構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法[最終定稿]-免費閱讀
【正文】 (x)=baaxx2f(x)f(a)f(b)222。)上為增函數(shù)；因此在x=0時，f(x)取得極小值f(0)=0，而且是最小值，于是f(x)179。0，即f(x)179。(x)=12lnx2a2lnx+1，∴f162。(x)=2x0（x0），易知f39。(x)=ex1；當(dāng)x0時，h39。(x)0；當(dāng)x1時，g39。)2a+b)(ba)ln2． 2上為減函數(shù)，∵G(a)=0，ba，∴G(b)0，即g(a)+g(b)2g(例6．【解析】（1）f39。(x)=g39。(x)0即可．例4．【解析】由已知：xf39。(x)=3x2x+=x+1x+1322在x206。)上，恒有x2+lnxx3成立，23231設(shè)F(x)=g(x)f(x)，x206。ln(x+1)163。(0 , +165。)；于是函數(shù)f(x)在(1 , +165。f(b)D．bf(b)163。0，f(x)=x1ln2x+2alnx．求證：當(dāng)x1時，恒有xln2x2alnx+1．（2007年，安徽卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x12x+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中2a0，且b= 52a3a2lna，求證：f(x)179。f(a)39。x從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明例1 若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足39。3思想：抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題已知函數(shù)f(x)=n+lnx的圖象在點P(m,f(x))處的切線方程為y=x，設(shè)n（1）求證：當(dāng)x179。0,f(x)=x1lnx+2alnx22求證：當(dāng)x1時，恒有xlnx2alnx+1，1+1xe1+x2（2007年，安徽卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=52122x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且b=a3alna，求證：f(x)179。1ba.第三篇：構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法導(dǎo)數(shù)專題：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。(x)f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)mx2 5．設(shè)函數(shù)f（x）=e+x﹣mx．（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（2）若對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：．已知函數(shù)f（x）=x+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；2（2）令g（x）=f（x）﹣x，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時，證明：．8．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45176。(x)+f(x)0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)=xf(x)，則F(x)= xf162。(0,+165。g(0)=0，即ln(x+1)+作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)=12x+：在區(qū)間(1,+165。(1,0)上為減函數(shù)，在x206。x（右面得證）現(xiàn)證左面，令g(x)=ln(x+1)+111x1，則g162。(1,0)上為增函數(shù)當(dāng)x0時，f162。ln(x+1)163。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0，因此，當(dāng)x1時，f(x)163。(0,+165。ln(x+1)163。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(只需令10 623x的圖象的下方。(0,+165。0,f(x)=x1lnx+2alnx求證：當(dāng)x1時，恒有xln2x2alnx+1nmba3已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=12x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且2b= 52a3a2lna，求證：f(x)179。ln(x+1)163。(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)1+x主元法構(gòu)造函數(shù)【例8】（全國）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x,g(x)=xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0ab,證明 ：0g(a)+g(b)2g(a+b2)(ba)ln2.【思維挑戰(zhàn)】（2007年，陜西）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf162。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)主元法構(gòu)造函數(shù)1223x+：在區(qū)間(1,+165。x 1+x12x（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。2nn2為y=f(x)的極值點，求實數(shù)a3的值；（2）若y=f(x)在[1,+165。bf(a)(a)163。x． x+1二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。0，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）A．a(chǎn)f(b)163。(x)0，即f(x)在x206。(x)=22，x+1(x+1)(x+1)x+1當(dāng)x206。)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1 , +165。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．例2．【分析】函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。(x)=0，從xxx而F(x)在(1,+165。)時，恒有h(x)h(0)=0，即x3x
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