【正文】 文一共分為四章章。四十多年來，對這兩者的研究延續(xù)不斷，可謂方興未艾。寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） I 編號： 本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 題目： 構(gòu)造法證明不等式 Constructing method to prove inequality 摘 要 【 摘要 】 1978 年，《參考消息》第四版 刊載了當(dāng)年在布加勒斯特舉行的第二十屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題。作為一種極富創(chuàng)新精神的方法，構(gòu)造法被廣泛的運用于中學(xué)數(shù)學(xué)競賽的各個部分。第一章對構(gòu)造法進行概述，即講述了構(gòu)造思想及構(gòu)造法的歷史和目前國內(nèi)外對這一思想與方法的研究現(xiàn)狀，指出構(gòu)造法解題所應(yīng)遵循的規(guī)則。對比近三十年的文獻，本文的創(chuàng)新之處在于將加強命題證明不等式作為構(gòu)造法證明不等式的一種新模型作了一些探索，對思維構(gòu)造過程 作了相應(yīng)論述，對某些模型的構(gòu)造思維生發(fā)過程給予比較細致的剖析。從宏觀方面來說數(shù)學(xué)構(gòu)造法就是 數(shù)學(xué) 中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。綜上所述，我比較傾向于以下的理解，無論是數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建，如現(xiàn)在盛行的公理化方法，還是具體問題，構(gòu)造法就是根據(jù)問題的典型特征，或選擇具有相容性的，不言自明的公設(shè)，推導(dǎo)出一整套數(shù)學(xué)；或是以問題所給條件，結(jié)論為元件，發(fā)現(xiàn)問題各個環(huán)節(jié)的聯(lián)系，從而形成數(shù)學(xué)模型，達到解決問題的目的。我國因研究機械證明而享譽國際的數(shù)學(xué)家吳文俊院士指出，中國古代數(shù)學(xué)是構(gòu)造性數(shù)學(xué)，在每一個問題中都力圖給出構(gòu)造性解答（張 景中《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》）。隨后，在希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得之前，人們并不知道素數(shù)是否有無窮多個。接著他構(gòu)造了一個數(shù) 1 1 2 ... 1nnp p p p? ? ? ? 如果 1np? 是素數(shù)，很明顯，這個素數(shù)不同于已知的 n 個素數(shù)中的任何一個，而 12, ,..., np p p 將所有的素數(shù)囊括盡凈，這說明我們假設(shè)是錯誤的；如果 1np? 是合數(shù)，則它可以被小于它自身的素數(shù)整除，由假設(shè)可知，這樣的素數(shù)必然是 12, ,..., np p p 中的某一個 ip 。 據(jù)說，在西方，除了《圣經(jīng)》之外，出版次數(shù)最多，流傳最廣的書就是歐幾里得的《幾何原本》，這是體現(xiàn)公理化思想的典范。換言之，公設(shè)在上述前提下是可自由選擇的，即存在很大的構(gòu)造性。 19 世紀(jì)末， 20 世紀(jì)早期，人們竟然發(fā)現(xiàn)可以從被數(shù)學(xué)家廣泛接受的，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的康托集合論推出矛盾。即以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派，以德國數(shù)學(xué)家希爾伯特為代表的形式主義派和以荷蘭數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家布勞威爾為代表的直覺主義派。布勞威爾在自己觀點的指導(dǎo)下建立了構(gòu)造性數(shù)學(xué)，構(gòu)造性，構(gòu)造性實數(shù)，構(gòu)造性集合，構(gòu)造性微 積分。 構(gòu)造法解題遵循的原則 構(gòu)造法具有簡明、精巧、新穎等特點，使思維突破常規(guī)，獲得發(fā)展，富有創(chuàng)造性。構(gòu)造法并不是萬能的。運用構(gòu)造法證明不等式，主要有以下步驟： （ 1） 仔細審題。 12 （ 4） 求解。常見有構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、對偶式、幾何圖形、復(fù)數(shù)、向量、二項式。清晰地給出數(shù)學(xué)模型在我們頭腦中產(chǎn)生的過程，是非常困難的。首先是背景構(gòu)造，所為背景構(gòu)造，就是當(dāng)所面臨的問題比較孤立，無從下手時，我們往往把問題放在一個更大的或熟知的背景上，逼近問題的實質(zhì)，使問題或的解決；最常用的構(gòu)造過程應(yīng)該是相似構(gòu)造了，數(shù)學(xué)解題時， 我們大多時候是用已知知識去解決未知問題，所以我們面對一個不等式時，通常會“比比看看”，和我們已知的公式，定理聯(lián)系起來察覺出問題與已知之間形式、結(jié)構(gòu)的相似性，很可能問題獲解。歷史上，羅素的層次論就因為過于復(fù)雜，龐大，與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的簡明性不符，不能為數(shù)學(xué)家們所接受，只好遺憾地“束之高閣，并不實行”。逆向構(gòu)造，不按常理出牌，向著原命題的相反方向思考，通過構(gòu)造對立的數(shù)學(xué)形式解決問題。 下面讓我們通過實例來領(lǐng) 略構(gòu)造法在證明不等式中的運用，體會巧妙之處，增強創(chuàng)新能力。但是在一個較小的范圍之內(nèi)，這是有希望的。通常，我們把形如 “10 , ( , ) ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ? ? ??” “10 , ( , ) ( ) ,nnkka a f n n N?? ? ? ? ??”稱為為數(shù)列不等式。 反過來有 命題 3 若 ( ) ( 1 ) ,na f n f n n N? ? ? ?， 0, (0) 0naf??，則1 ()nkk a f n? ?? 命題 4 若 ()( 1)n fna fn? ?， 0, (0) 1naf??，則1 ( ),nkk a f n n N? ??? 前兩個命題的證明很簡單，命題 1 用反證法，命題 2 在一直不等式兩邊取對數(shù)即化歸為命題 1,。 分析：當(dāng)把 m 固定時，就是關(guān)于 n 的不等式，符合命題 1 的條件。 有 ( ) l n ( ) ( ) ( 1 ) 0f m n m n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n???? ? ? ?成立 ? 1 1 1...l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )1 1 2 1[ ] [ ] . . .( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()m m m nn n n nm m n m m n m m n m m n m mnm m n? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 例 ： 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ? ??? ??，對任意的正整數(shù)恒成立。于是我們將變形為 33 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ??????。 證畢 從總體上看，數(shù)列型不等式是相當(dāng)廣泛的。利用對勾函數(shù)的單調(diào)性知道 1x? 時， 11()( 2 ) ( 2 )fxgg??? ，即 222 1 1 2 1 1,02 1 2 1xx? ? ? ?? ? ? ??? 1x? 時， (1) 0f ? 綜上所述 22 1 1 2 12 1 2xx? ? ?? ? ?? 下面的這道例題選自《代數(shù)不等式》： 例 4 對于正數(shù) ,xy， ( , )=ln lnxyL x y xy xy? ( , )=Lxx x =xy 叫做 x,y 的對數(shù)平均數(shù)， +( , )= 2xyM x y 叫做算術(shù)平均數(shù)， ( , )=G xy xy 叫做幾何平均數(shù)。則 ( ) =2( 1lnt)g t t? 作函數(shù) ( )= 1lnh t t t ，則 1 1( ) =1 = tht tt? ，由此可以看出 =1 ( )t h t是 的 極 小 值 點，因此有 ? ? (1)=0h t h? 所以 ?? 0gt?? 。 接下來證明 ( , ) ( , )L x y M x y? 即 當(dāng) xy? 時，有 18 +ln ln 2x y x yxy? （ 1） 當(dāng) +x=y =2xx 時 ， x 不妨設(shè) xy 欲證不等式（ 1）成立只需證明 1 +1 2lnxxyyxy (2) 在（ 2）中令 = , 1xtty，即 1 +1ln 2ttt （ 3） 作函數(shù) (t)=tlnt+lnt2t+2? 。 綜上所述，有 ( , ) ( , )L x y G x y? 成立。歷史上，著名的柯西不等式就是運用構(gòu)造方程的方法解決的。 觀察知道 1x? 是（ 1）的一個根，因此判別式 2[ 2( 2 ) ] 12( 2 ) ( ) 0b a c a b c a c? ? ? ? ? ? ? 即 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? 等號成立的條件是 2( 2 ) 23( )b a cac?????，即 2a b c?? 。但除此而外，也可以 20 構(gòu)造數(shù)列進行證明。 11 4 1 5 11 5 2nna a a?? ? ? ? ? 即 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )3 5 2 1 2nn ?? ? ? ?? 證畢。 例 8 已知 a， b， C∈ R? 求證： 22 3cyc cyca b ab a? ? ??? 分析：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，不等式左邊每一項根號下都據(jù)有余弦定理的形式，因此考慮構(gòu)造三角形。 上面兩種證法各有千秋 —— 第一種方法充滿奇思妙想，讓人耳目一新；第二種方法簡潔明了，一氣呵成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的變化之美。 2 2 2 22 2 2 2, ( 1 )( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )A E x y D E x yB E x y C E x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 略加分析，容易看出 ,A E C E A C D E B E B D? ? ? ? 22A E B E C E D E A C B D? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅 當(dāng) 11,22xy??取“ ? ” 證畢 評注：此題也可以構(gòu)造復(fù)數(shù)獲證。下面證明 P=Q，為此，我們作如 下變形： 2 2 2 2 2 21 2 2 3 11 2 2 3 11 2 2 3 1......nnna a a a a aPQa a a a a aa a a a a a ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 而 2 2 2 2 2 21 2 2 3 11 2 2 3 1... nna a a a a aPQa a a a a a? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 根據(jù)基本不等式 22, 22a b a ba b R ? ????變形為 22 2a b a bab???? ，我們有 1 2 2 3 1.. . 12 2 2 na a a a a aPQ ? ? ?? ? ? ? ? ? 由上面的結(jié)論有 121 2P Q P P? ? ? ? ?.這樣就證明了這個不等式。則 2 2 2121 2 3 2 11 2 2 3 1122 2 212121 2 2 3 1[ ( ) ] [ (