【正文】 數(shù)學(xué)問題，如果已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引進(jìn)一些尚待確定的系數(shù)來表示這種結(jié)果，通過已知條件建立起給定的算式和結(jié)果之間的恒等式，得到以待定系數(shù)為元的方程或方程組，解之即 得待定的系數(shù) 。下面證明 P=Q，為此，我們作如 下變形： 2 2 2 2 2 21 2 2 3 11 2 2 3 11 2 2 3 1......nnna a a a a aPQa a a a a aa a a a a a ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 而 2 2 2 2 2 21 2 2 3 11 2 2 3 1... nna a a a a aPQa a a a a a? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 根據(jù)基本不等式 22, 22a b a ba b R ? ????變形為 22 2a b a bab???? ，我們有 1 2 2 3 1.. . 12 2 2 na a a a a aPQ ? ? ?? ? ? ? ? ? 由上面的結(jié)論有 121 2P Q P P? ? ? ? ?.這樣就證明了這個(gè)不等式。 上面兩種證法各有千秋 —— 第一種方法充滿奇思妙想，讓人耳目一新；第二種方法簡潔明了，一氣呵成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的變化之美。 11 4 1 5 11 5 2nna a a?? ? ? ? ? 即 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )3 5 2 1 2nn ?? ? ? ?? 證畢。 觀察知道 1x? 是（ 1）的一個(gè)根，因此判別式 2[ 2( 2 ) ] 12( 2 ) ( ) 0b a c a b c a c? ? ? ? ? ? ? 即 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? 等號成立的條件是 2( 2 ) 23( )b a cac?????，即 2a b c?? 。 綜上所述，有 ( , ) ( , )L x y G x y? 成立。則 ( ) =2( 1lnt)g t t? 作函數(shù) ( )= 1lnh t t t ，則 1 1( ) =1 = tht tt? ，由此可以看出 =1 ( )t h t是 的 極 小 值 點(diǎn)，因此有 ? ? (1)=0h t h? 所以 ?? 0gt?? 。 證畢 從總體上看，數(shù)列型不等式是相當(dāng)廣泛的。 有 ( ) l n ( ) ( ) ( 1 ) 0f m n m n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n???? ? ? ?成立 ? 1 1 1...l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )1 1 2 1[ ] [ ] . . .( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()m m m nn n n nm m n m m n m m n m m n m mnm m n? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 例 ： 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ? ??? ??，對任意的正整數(shù)恒成立。 反過來有 命題 3 若 ( ) ( 1 ) ,na f n f n n N? ? ? ?， 0, (0) 0naf??，則1 ()nkk a f n? ?? 命題 4 若 ()( 1)n fna fn? ?， 0, (0) 1naf??，則1 ( ),nkk a f n n N? ??? 前兩個(gè)命題的證明很簡單，命題 1 用反證法，命題 2 在一直不等式兩邊取對數(shù)即化歸為命題 1,。但是在一個(gè)較小的范圍之內(nèi)，這是有希望的。逆向構(gòu)造，不按常理出牌，向著原命題的相反方向思考，通過構(gòu)造對立的數(shù)學(xué)形式解決問題。首先是背景構(gòu)造，所為背景構(gòu)造，就是當(dāng)所面臨的問題比較孤立，無從下手時(shí)，我們往往把問題放在一個(gè)更大的或熟知的背景上，逼近問題的實(shí)質(zhì)，使問題或的解決；最常用的構(gòu)造過程應(yīng)該是相似構(gòu)造了，數(shù)學(xué)解題時(shí)， 我們大多時(shí)候是用已知知識去解決未知問題，所以我們面對一個(gè)不等式時(shí)，通常會“比比看看”，和我們已知的公式，定理聯(lián)系起來察覺出問題與已知之間形式、結(jié)構(gòu)的相似性，很可能問題獲解。常見有構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、對偶式、幾何圖形、復(fù)數(shù)、向量、二項(xiàng)式。運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式，主要有以下步驟： （ 1） 仔細(xì)審題。 構(gòu)造法解題遵循的原則 構(gòu)造法具有簡明、精巧、新穎等特點(diǎn)，使思維突破常規(guī)，獲得發(fā)展，富有創(chuàng)造性。即以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派，以德國數(shù)學(xué)家希爾伯特為代表的形式主義派和以荷蘭數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家布勞威爾為代表的直覺主義派。換言之，公設(shè)在上述前提下是可自由選擇的，即存在很大的構(gòu)造性。接著他構(gòu)造了一個(gè)數(shù) 1 1 2 ... 1nnp p p p? ? ? ? 如果 1np? 是素?cái)?shù)，很明顯，這個(gè)素?cái)?shù)不同于已知的 n 個(gè)素?cái)?shù)中的任何一個(gè)，而 12, ,..., np p p 將所有的素?cái)?shù)囊括盡凈，這說明我們假設(shè)是錯誤的；如果 1np? 是合數(shù)，則它可以被小于它自身的素?cái)?shù)整除，由假設(shè)可知，這樣的素?cái)?shù)必然是 12, ,..., np p p 中的某一個(gè) ip 。我國因研究機(jī)械證明而享譽(yù)國際的數(shù)學(xué)家吳文俊院士指出，中國古代數(shù)學(xué)是構(gòu)造性數(shù)學(xué)，在每一個(gè)問題中都力圖給出構(gòu)造性解答（張 景中《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》）。從宏觀方面來說數(shù)學(xué)構(gòu)造法就是 數(shù)學(xué) 中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個(gè)步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。第一章對構(gòu)造法進(jìn)行概述，即講述了構(gòu)造思想及構(gòu)造法的歷史和目前國內(nèi)外對這一思想與方法的研究現(xiàn)狀，指出構(gòu)造法解題所應(yīng)遵循的規(guī)則。寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） I 編號： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題目： 構(gòu)造法證明不等式 Constructing method to prove inequality 摘 要 【 摘要 】 1978 年，《參考消息》第四版 刊載了當(dāng)年在布加勒斯特舉行的第二十屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題。 本文一共分為四章章。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） III 英文題目 Constructing method to prove inequality Abstract 【 ABSTRACT】 In 1978, the fourth edition of the references published in those days the twentieth international mathematical Olympiad in Bucharest contest ,Domestic mathematics education to know for the first time, there are of the international Olympic petition in the world (Chen meter, Ye Zhonghao the frontiers of elementary mathematics). Combined with the age factor, by the small message as a start, formed a wave study maths at home, the climax of elementary mathematics research. For more than forty years, the study of the two prolonged, just. As a kind of innovative method, structure method is widely used different parts of the secondary school mathematics petition. And constructing method to prove inequality in terms of its originality and clever tend to surprise. Just at home, every year hundreds of papers about construction method of problem solving, visible appeal of this method. This article altogether is divided into three chapters. First chapter is to outline of construction method, which tells the structure thought and method of history and the study of the thought and method at home and abroad present situation, points out that the construction should follow the rules to solve problems. The second chapter is the key, of constructing method to prove inequality of basic mathematical model, and bining the math petition, the university entrance exam of many examples, to experience the enchantment of the construction method from them to see the beauty of math. The third chapter is epilogue. Contrast to nearly three decades of literature, the innovation of this paper lies in that will strengthen the proposition to prove inequality as a new model of constructing method to prove inequality ma