數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例_本科畢業(yè)論文(設(shè)計)-wenkub.com
2024-08-23 12:02 本頁面
【正文】 Inequation 。 xfxfxf ??? ?? . 又 Axf ??? )( ,所以 20200 )1(2)(39。39。)()1( 202000 xfxxfxff ????? ?)1,( 01 x?? . ,!2 )(39。39。 2 ??? xxf，所以 ? ? xxxf ??1 單調(diào)遞增，于是由 baba ??? 知 )()( bafbaf ??? . 即 b1 ba1 aba1 bba1 aba1 baba1 ba ???????????? ???? ?. 3 利用微分中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 滿足如下條件 : (1)f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； (2)f 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得 ab afbff ??? )()()(39。 ? . 柯西中值定理 : 設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足： (1) 在 [, ]ab 上都連續(xù)； (2) 在 (, )ab 內(nèi)都可導(dǎo)； (3) )(xf? 和 )(xg? 不同時為零； 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 5 (4) ? ? ? ?bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? , 使得 )()( )()()( )(39。??gfygxg yfxf ???. 則 )s in(lnc osc os ?????? aayx aa yx, 20 ?? ???? yx . 故 ?? s in1ln)co s( co s aayxaa xy ???. 由于 20 ???? ， 1sin0 ?? ? , 則 1sin1 ??, 故 xy aa ? aayx ln)c o s(c o s ??? aayx x ln)c o s( c o s ?? . 由此得證 aayxaa xxy ln)c o s( c o s ??? . 4 利用積分中值定理證明不等式 積分第一中值定理：若函數(shù) f 在 ],[ ba 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) ],[ ba?? ，使得 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 ? ????ba baabfdxxf )(),)(()( ??. 積分第二中值定理：設(shè)函數(shù) f 在 ],[ ba 上可積，若 g 為單調(diào)函數(shù)，則 ],[ ba??? ，使得 ? ? ???ba a b dxxfbgdxxfagdxxgxf ? ? )()()()()()( . 例 1．設(shè) )(xf 為 ]1,0[ 上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng) yx? 時，)()( yfxf ? ），證明對于 10 ??? ?? ,有下面的不等式成立 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf . 證明：由積分第一中值定理有 ? ???????? ????????? )(),)(())(()( 11 ffdxxf . ??? )()( 20 fxf ?? , )0( 2 ?? ?? . 從而 ?? ??? ??? ???? dxxffdxxf )(1)()(1 0 . 因此可得 ? ??? ? ???? 0 )()()1( dxxfdxxf . 即 ? ??? ? ?????? 0 )()()1( dxxfdxxf . 又因 10 ??? ?? ,所以 110 ?????,故 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf . 例 2. 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明 dxxfbadxxxf baba ?? ?? )(2)( . 證明：要證該不等式只需證明 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 8 0)()2( ???? dxxfbaxba . 由于 )(xf 單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理，則存在 ],[ ba?? ，使 ??? ???????? baba dxbaxbfdxbaxafdxxfbax ?? )2()()2()()()2( ?? ??????? bba dxbaxafbfdxbaxaf ? )2()]()([)2()( )](22)][()([22 ?? ?????? bbabafbf 0)(2)]()([ ????? abafbf ??. 故 0)()2( ???? dxxfbaxba . 即 dxxfbadxxxf baba ?? ?? )(2)( . 5 利用泰勒公式證明不等式 定理 :若函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上存在直至 n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在 ),( ba 內(nèi)存在 )1( ?n階導(dǎo)函數(shù) ,則對任意給定的 x ， ],[0 bax ? ，至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ,使得 : )(xf )( 0xf? ))(( 00 xxxf ??? 200 )(!2 )( xxxf ???? ????? 10)1( )(! )( ?? ? nn xxnf ? . 例 )(xf 在 ]1,0[ 存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 0)1()0( ?? ff ，并且當(dāng) )1,0(?x 時， Axf ??? )( ，求證： )1,0(2)( ??? xAxf ， . 證明 :由于 ()fx在 [0,1] 上有二階連續(xù)導(dǎo)函，因此對任何 )1,0(0?x ，利用 (1)f和 (0)f 在 0x 點(diǎn)的二階泰勒公式可得 ,)1(!2 )(39。39。!2 )(39。 xxAxf ???. 而 )1,0(0?x 時 , 1)1( 2020 ??? xx ， 故 2)(0 Axf ??. 又由 0x 的任意性知 )1,0(2)( ??? xAxf ， 例 2．設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， |)(|m ax],[ xfM bax ??? ?，證明 3)(24|)2()()(| abMbafabdxxfba ??????. 證明：將 )(xf 在 20 bax ??處泰勒展開 2)2)((21)2)(2()2()( baxfbaxbafbafxf ???????????? ?， ],[ ba?? . 兩邊在 ],[ba 上積分并注意到 ? ???ba dxbax 0)2(，得 ?? ???????? baba d
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