數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例_本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))-免費(fèi)閱讀
【正文】 00 xU 內(nèi)可導(dǎo) . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 10 (1)若當(dāng) ),( 00 xxx ??? 時(shí) 0)( ?? xf ,當(dāng) ),( 00 ??? xxx 時(shí) 0)( ?? xf ,則 f 在點(diǎn) 0x取得極小值 . (2)若當(dāng) ),( 00 xxx ??? 時(shí) 0)( ?? xf ,當(dāng) ),( 00 ??? xxx 時(shí) 0)( ?? xf ，則 f 在點(diǎn) 0x取得極大值 . 極值的第二充分條件 ：設(shè) f 在 0x 的某鄰域 )。))((39。39。agbg afbfgf ?????. 例 1．設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0)( ?af ，證明 |)(|m ax2 )(|)(| ],[2 xfabdxxf baxba ??? ?? . 證明：令 |)(|m ax],[ xfM bax ?? ?，由拉格朗日中值定理知 ))(()()()( axfafxfxf ????? ?. 從而 ],[),(|))((||)(| baxaxMaxfxf ?????? ? . 所以 MabdxaxMdxxfdxxf bababa 2 )()(|)(||)(|2????? ? ?? . 例 2. 當(dāng) 0?x 時(shí) ,試證不等式 xxxx ???? )1ln (1 . 證明 :構(gòu)造函數(shù) )1ln()( xxf ?? . 則在區(qū)間 ],0[ x 上滿(mǎn)足拉格朗中值定理 ,且 xxf ??? 1 1)( . 故有 )0)((1ln)1ln( ????? xfx ?, ),0( x?? . 即 ???? 1)1ln( xx. 又 ),0( x?? , 則 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 xxxxx ?????? ?1 1)1ln (1 1 . 即 xxxx ???? )1ln (1 . 例 3. 設(shè) ea? ， 20 ???? yx ，求證 aayxaa xxy ln)c o s( c o s ??? . 證明： 令 tatf ?)( ， ttg cos)( ? , 由題設(shè)條件可知， )(),( tgtf 在 ],[ yx )0( yx?? 上滿(mǎn)足柯西中值定理 )( )()()( )()( 39。)()0( 202020 xfxxfxff ????? ),0( 02 x?? . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 由 (1) (0)ff? 可得 2020020 )1(!2 )(39。( 0?xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0)( 0 ?? xf ， 0)( 0 ??? xf . (1)若 0)( 0 ??? xf ，則 f 在 0x 取得極大值 . (2)若 0)( 0 ??? xf ，則 f 在 0x 取得極小值 . 例 ：當(dāng) 0?x ， n為自然數(shù)時(shí)， )32)(22( 1s in)( 20 2 ????? nntd ttt nx. 證明：構(gòu)造輔助函數(shù) td tttxf nx 20 2 s in)()( ? ?? . 則 xxxxf n22 s in)()( ??? . 當(dāng) 10 ??x 時(shí)， 0)( ?? xf ,當(dāng) 1?x 時(shí)，除 ? ???? ,3,2,1kkx ? 時(shí) 0)( ?? xf 外，均有0)( ?? xf ，故 )( xf 在 10 ??x 時(shí)單調(diào)遞增，在 1?x 時(shí)單調(diào)遞減，因此 )(xf 在 ? ???,0上取最大值 )1(f .于是有 td tttfxf n210 2 s in)()1()( ? ??? dtttt n210 2 )(? ?? ? ?? ?? 10 2212 )( dttt nn 32 122 1 ???? nn )32)(22( 1 ??? nn. 例 2. 設(shè) 1?p ,求證： ]1,0[??x ，都有不等式 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 1)1(2 1 1 ????? ppp xx . 證明 : 令 pp xxxF )1()( ??? . 有 )(xF? = ])1([)1()1( 1111 ???? ?????? pppp xxpxppx . 令 0)( ?xF ，則 21?x . 而 22 )1)(1()1()( ?? ??????? pp xppxppxF . 又因?yàn)?1?p , 故 0])21()21) [ (1()21( 22 ?????? ?? ppppF . 故 )(xF 在 21?x 處取得極小值，又因?yàn)?1)0()1( ?? FF ,121)21( ?? PF. 所以 )(xF 在區(qū)間 [0,1]上的最大值為 1，最小值為121?P. 因此 1)1(2 11 ????? ppp px. 7 利用函數(shù)凹凸性證明不等式 定義 :設(shè) f 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)，若對(duì) I 上的任意兩點(diǎn) 1x ， 2x ，和任 實(shí)數(shù) ? ?1,0?? 總有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2121 11 xfxfxxf ???? ??? , 則稱(chēng) f 為 I 上的 凸函數(shù) .反之，如果總有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2121 11 xfxfxxf ???? ??? , 則稱(chēng) f 為 I 上的 凹函數(shù) . 定理 :設(shè) f 為區(qū)間 I 上的二階可導(dǎo)函 數(shù)，則在 I 上 f 為凸（凹）函數(shù)的充要長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 條件是 0)( ??? xf （ ? ? 0??? xf ）， Ix? . 例 : yyxxyxyx lnln)2ln ()( ???? ),0,0( yxyx ??? . 證明 : 構(gòu)造函數(shù) xxxf ln)( ? ， )0( ?x ，這時(shí) , 01)( ???? xxf ,所以 )(xf 在 (0,+∞ )上是凸函數(shù) .所以 , yxyx ??? ,0,0 時(shí)，有 )2(
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