數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例_本科畢業(yè)論文(設(shè)計)(存儲版)
【正文】 yxf ? ? 2 )()( yfxf ? . 即 )2ln(2 yxyx ?? ? 2 lnln yyxx ? . 故 yyxxyxyx lnln)2ln ()( ???? ),0,0( yxyx ??? . 例 2：（著名的均值不等式）設(shè) ),2,1( niRai ??? ? 求證： n aaaaaa nnn ????? 2121 . 證明：設(shè) )0(ln)( ?? xxxf ,則 01)(2 ????? xxf. 所以 ( ) lnf x x? 在 ),0( ?? 上為凹函數(shù)，則由凹函數(shù)性質(zhì)可知 n aaan aaa nn ????????? 2121 lnlnlnln. 即 n aaaaaa nnn ?????? 21121 ln)ln ( . 即 n aaaaaa nnn ????? 2121 . 8 利用冪級數(shù)展開式證明不等式 證明方法 :根據(jù)幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，如下： 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 13 ),(,!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??； ),(,)!12( 1)1(!31s i n 1213 ???????????? ?? xxnxxx nn ??； ),(,)!2( 1)1(!41!211c o s 242 ??????????? xxnxxx nn ??； )1,0(,11 1 2 ???????? xxxxx n ??； ]1,1(,)1(3121)1l n ( 132 ?????????? ? xnxxxxx nn ??． 例 )1,0(?x ，證明 xexx 211 ??? . 證明：因 xex 2,11? 分別可寫成冪級數(shù)展開式，有： )1,0(,2221)1)(1(11 22 ???????????????? xxxxxxxxxx nn ???? )1,0(,!2!2221 222 ??????? xxnxxe nnx ??． 則不等式左邊的一般項為 nx2 ，右邊的一般項為 !2nxnn ，而當(dāng) 3?n 時 !22 nn? ， 所以， )1,0(,11 2 ???? xexx x . 9 利用著名不等式證明不等式 柯西不等式：設(shè) iiba, 為任意實數(shù)（ ni ,1?? ）則 ??? ??? ?? ni ini ini ii baba 1 21 221 )( ， 其中當(dāng)且僅當(dāng) iiba, 成比例時等號才成立 . 施瓦茲 不等式：若 ）在（ baxgxf ,)(),( 上可積，則 ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 222． 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 14 若 ）在（ baxgxf ,)(),( 上連續(xù)，其中當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) ??, 使得 )()( xgxf ?? ? 時等號才成立（ ??, 不同時為零） . 詹 森 不等 式： 若 f 為 ],[ ba 上 凸 函數(shù) ，則 對任 意 ],[ baxi? ， 0?i? ),2,1( ni ?? ， 11 ???ni i?，有 ?? ?? ? ni iini ii xfxf 11 )()( ?? . 例 Rai? ， 1?i ， 2 ，…， n ．求證： 2112 )(1 ???? ?ni ini i ana． 證明 ：由柯西不等式 ????? ????? ???? ni inini ini ini i anaaa 1 21 212121 )1()()1()( ． 兩邊同時除以 n 即得證． 例 2. 已知 0)( ?xf ，在 ],[ ba 上連續(xù)， kdxxfba ,1)( ??為任意實數(shù)，求證 1)s in)(()co s)(( 22 ?? ?? k xd xxfk xd xxf baba. 證明 :所要證明的式子左端第一項應(yīng)用施瓦茲不等式 22 )co s)(()()co s)(( ）（ dxkxxfxfkxxf baba ??? ?? dxkxxfdxxf baba ?? ??? 2co s)()( ? ? kxdxxfba 2c os?? ?. 同理可得 dxkxxfdxkxxf baba ?? ? 22 s in)()s in)(( . 兩式相加 得 ???? ??? babababa k x d xdxkxxfk x d xxfk x d xxf 2222 s i nc o s)()s i n)(()c o s)(( ? ?? ba dxxf 1)( . 即得證 . 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 15 例 3. 證明不等式 ,)( 3 cbacba cbaabc ??? 其中 cba, 均為正數(shù) . 證明：設(shè) )0(,ln)( ?? xxxxf .則 11)( ???? xxf . xxfxxf 1)(,1ln)( ?????? 故 xxxf ln)( ? 在 0?x 時為嚴(yán)格凸函數(shù) .依詹森不等式有 ))()()((31)3( cfbfafcbaf ????? . 從而 )lnlnln(313ln3 ccbbaacbacba ??????? . 即 cbacba cbacba ??? ??)3( . 又因 33 cbaabc ??? ,所以 cbacbacba cbacbaa b c ???? ???? )3()( 3 . 即 .)( 3 cbacba cbaabc ??? 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 16 參考文獻(xiàn)： [1] 裴禮文 . 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M]. 北京：高等教育出版社 , 2020. [2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 數(shù)學(xué)分析（上冊） [M].北京：高等教育出版社， 2020. [3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 數(shù)學(xué)分析（下冊） [M].北京：高等教育出版社， 2020. [4] 錢吉林等主編 . 數(shù)學(xué)分析題解精粹 .[M] 武漢：崇文書局， 2020. [5] 蒙詩德 .數(shù)學(xué)分析中證明不等式的常用方法 [J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué) 版）， 2020， 25(9). [6] 賀彰雄 .不等式證明的幾種常見方法 .湖北教育學(xué)報 [J].2020， 10(1). [7]
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