【正文】 … 18 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 1 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例 摘要 ： 不等式不僅是數(shù)學(xué)分析中非常重要的工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析研究的主要問題之一，然而不等式的證明方法卻是復(fù)雜多變的，因此，對(duì)于不等式的證明方法進(jìn)行系統(tǒng)的分類與總結(jié)仍具有很大的現(xiàn)實(shí)意義 . 本文首先簡(jiǎn)單介紹了不等式的研究背景，然后主要討論了數(shù)學(xué)分析中證明不等式的若干方法，并對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行歸類 .同時(shí)，通過(guò)精選典型例題的證明 ，滲透了解不等式問題的多種解題技巧，深化了對(duì)不等式證明方法的認(rèn)識(shí)，最終達(dá)到靈活應(yīng)用的目的，以便于可以站在更高的角度來(lái)研究不等式 . 關(guān)鍵字 ： 數(shù)學(xué)分析 不等式 證明方法 . 前言 不等式在數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)、研究過(guò)程中都是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它涉及了初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的許多方面，在數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用 . 在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程遲的多 .直到 1934年 , 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究才正式粉墨登場(chǎng) , 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科 , 從 此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合 , 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分 . 20世紀(jì) 80年代以來(lái)在中國(guó)大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮 .目前我國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也取得了較豐富的成果 .由于這些結(jié)果在理論和實(shí)際運(yùn)用方面都有重要意義，引起了一系列廣泛研究 . 綜上所述 , 數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機(jī)、興旺發(fā)達(dá) . 1 構(gòu)造變限積分證明不等式 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 2 定義：設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上可積，對(duì) 任何 ],[ bax? , )(xf 在 ],[ xa 上也可積，于是，由 dtfx xa??? (x))( ， ],[ bax? ， 定義了一個(gè)以積分上限 x 為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分 .類似地，又可以定義變下限的定積分： dtxfx bx )()( ???, ],[ bax? , ? 與 ? 統(tǒng)稱為變限積分 . 定理：若 f 在 ],[ ba 上連續(xù)，則其變限積分作為關(guān)于 x 的函數(shù)，在 ],[ ba 上處處可導(dǎo)，且 )())(()())(( xfdttfdxdxfdttfdxd bxxa ??? ?? ，, 更一般的有 )()]([)()]([)()()( xhxhfxgxgfdttfdxdxgxh ?????. 例 ??? ? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222. 證明： 構(gòu)造變上限輔助函數(shù) ??? ?? uauaua dxxgdxxfdxxgxfu )()(])()([)( 222?. 顯然 )(u? 在 ],[ ba 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，且 ??? ???? uauaua dxxfugdxxgufdxxgxfuguf )()()()()()()()(2( u ) 2222? ??? ??? uauaua dxugxfdxxgufdxxgxfuguf )()()()()()()()(2 2222 ? ???? ua dxugxfxgxfugufxguf )]()()()()()(2)()([ 2222 ? ???? ua dxugxfxguf 0)]()()()([ 2. 所以 )(u? 在 ],[ ba 上單調(diào)減少，則 0)()( ?? ab ?? ，即 0)()(])()([)( 222 ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxfb?. 得到 ? ? ??ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222. 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 例 2. 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)( . 證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù)： dxxftadxxxftF tata ?? ??? )(2)()( . 顯然 0)( ?aF ，對(duì) ],[ bat?? ， )(2)(21)()( tftadxxfttftF ta ????? ? dxxftfat ta???? )(21)(2 ? ?dxxftfta? ?? )()(21, ),( tax? . 因?yàn)?)(xf 單調(diào)遞增，則 0)( ??tF ，則 )(tF 單調(diào)遞增，所以 0)()( ?? aFbF , )( ab? . 因此 ?? ?? baba xfbadxxxf )(2)(. 2 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 定理 :設(shè)函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù) ,在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) ,則有 (1) 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ,那么 ,函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上單調(diào)增加 . (2) 如果在 ),( ba 內(nèi) 0)( ?? xf ,那么 ,函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上單調(diào)減少 . 例 1. 證明不等式： xex ??1 ， 0?x . 證明： 設(shè) ,1)( xexf x ??? 則 1)( ??? xexf ，故當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ， )(xf嚴(yán)格遞增；當(dāng) 0?x ， 0)( ?? xf ， )(xf 嚴(yán)格遞減 .又因?yàn)?)(xf 在 0?x 處連續(xù)，則當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)0()( ?? fxf . 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 即 01 ??? xex . 故得證 0,1 ??? xxex . 例 2. 證明b1 ba1 aba1 ba ?????? ?. 證明：記 ? ? xxxf ??1 ，則 ? ? ? ? 01 139。39。39