20xx高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元練習(xí)--空間向量與立體幾何(參考版)
2024-08-23 20:09本頁面
【正文】 |n|＝－ 77 ．因為二面角 A－ A1B－ C 為銳角，所以可知二面角 A－ A1B－ C的余弦值為 77 ． 。＝－ 3＋ t2＝ 0，得 t＝ 3． 設(shè)平面 A1AB 的法向量為 n＝ (x， y， z)， ＝ (0,1， 3)，＝ (2,2,0)， 所以 { y＋ 3z＝ 0， 2x＋ 2y＝ 0， 設(shè) z＝ 1，則 n＝ ( 3，－ 3， 1)． 再設(shè)平面 A1BC 的法向量為 m＝ (u， v， w)， ＝ (0，－ 1， 3)，＝ (2,0,0)， 所以 ??? － v＋ 3w＝ 0，2u＝ 0， 設(shè) w＝ 1，則 m＝ (0， 3， 1)． 故 cos〈 m， n〉＝ m178。 影恰為 AC 的中點 D，又知 BA1⊥ AC1. (1)求證： AC1⊥平面 A1BC； (2)求二面角 A－ A1B－ C 的余弦值． 圖 14－ 2 【答案】 (1)如圖，設(shè) A1D＝ t(t0)，取 AB 的中點 E， 則 DE∥ BC，因為 BC⊥ AC， 所以 DE⊥ AC，又 A1D⊥平面 ABC， 以 DE， DC， DA1 分別為 x， y， z 軸建立空間直 角坐標系， 則 A(0，－ 1,0)， C(0,1,0)， B(2,1,0)， A1(0,0， t)， C1(0,2， t)， ＝ (0,3， t)，＝ (－ 2，－ 1， t)， ＝ (2,0,0)，由 1178。 AC＝ BC＝ 2， A1 在底面 ABC 上的射 178。 EC ＝ 0，由此得 EC⊥ DE，向量 F 與 E的夾角等于二面角 A－ DE－ C 的平面角． 于是 cos〈 F， E〉＝FAECFAEC ＝－ 12， 所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 n＝ 0,2－λ＝ 0，λ＝ SE＝ 2EB. (2)解 由 (1)知 DE ＝ ?? ??23， 23， 23 ， 取 DE 中點 F，則 F?? ??13， 13， 13 ， FA ＝ ?? ??23，－ 13，－ 13 ，故 FA 178。 DE ＝ 0， m178。 S＝ 0， n178。 FG ＝－ 12． 所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 11178。 則 sin θ＝＝ 1015 ， 所以直線 AB1 與平面 DA1M 所成角的正弦值為 1015 ． 21．如圖，四棱錐 S－ ABCD 中， SD⊥底面 ABCD， AB∥ CD， AD⊥ CD， AB＝ AD＝ 1， DC＝ SD＝2， E 為棱 SB 上的一點，平面 EDC⊥平面 SBC. (1)證明： SE＝ 2EB； (2)求二面角 A－ DE－ C 的大?。? 【答案】方法一 (1)證明 如圖所示，連結(jié) BD，取 DC的中點 G，連結(jié) BG，由此知 DG＝ GC＝ BG＝ 1，即△ DBC 為直角三角形，故 BC⊥ BD. 又 SD⊥平面 ABCD，故 BC⊥ SD，所以 BC⊥平面 BDS， BC⊥ BK⊥ EC， K 為垂足．因為平面 EDC⊥平面 SBC，故 BK⊥平面 EDC， BK⊥ DE，即 DE 與平面 SBC 內(nèi)的兩條相交直線 BK、 BC都垂直，所以 DE⊥平面 SBC， 所以 DE⊥ EC， DE⊥ SB. 又 DB＝ AD2＋ AB2＝ 2， SB＝ SD2＋ DB2＝ 6， DE＝ SD178。 ∴平面 AEC PD B? 平 面 . (Ⅱ）當(dāng) 2PD AB? 且 E 為 PB的中點時， ? ? 1 1
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