屆高三數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)試卷_第單元立體幾何與空間向量(參考版)
2025-01-12 11:37本頁面
【正文】 n＝ 2xcos θ＋ 2ysin θ＝ 0， 得 x＝－ sin θ， y＝ cos θ， 所以 n＝ (－ sin θ， cos θ， 1)． 又因?yàn)槠矫?ABCD的一個(gè)法向量 m＝ (0,0,1)， 所以 cos〈 n， m〉＝ n2sin θ＝ 6，所以 a＝ 2sin θ. 從而 C(2cos θ， 2sin θ， 0)， A1( 4sin θ， 0,4)， 所以 DC→ ＝ (2cos θ， 2sin θ， 0)， DA1→ ＝ ( 4sin θ， 0,4)， 設(shè)平面 A1DC的一個(gè)法向量 n＝ (x， y,1)， 由??? DA1→ dd＝ 13ahd， VQ－ ABCD＝ 132 aAC→|n||AC→ |＝ 43 2＝ 23， 由圖可知，二面角 A－ PB－ C為銳角， 所以二面角 A－ PB－ C的余弦值為 23. 22． (1)證明 因?yàn)?BQ∥ AA1， BC∥ AD， BC∩ BQ＝ B， AD∩ AA1＝ A， 所以平面 QBC∥ 平面 A1AD. 從而平面 A1CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行， 即 QC∥ A1D. 故 △ QBC與 △ A1AD 的對應(yīng)邊相互平行， 于是 △ QBC∽△ A1AD. 所以 BQBB1＝ BQAA1＝ BCAD＝ 12，即 Q為 BB1的中點(diǎn) ． (2)解 如圖 (1)，連接 QA， QD，設(shè) AA1＝ h，梯形 ABCD 的高為 d，四棱柱被平面 α 所分成上下兩部分的體積分別為 V 上 和 V 下 ， BC＝ a，則AD＝ (1)VQ－ A1AD＝ 13b3＋ 1(a3， b3，－ c) ＝ caPB→ ＝ 0，即????? 2ax0－ by0＝ 0，by0－ 2cz0＝ 0. 不妨設(shè) z0＝ 1，則有 y0＝ 2cb， x0＝ ca， 所以 n＝ (ca， 2cb， 1)． 因?yàn)?nOP→|n||OP→ ||＝ 13. ∴ 二面角 N－ CM－ B的余弦值等于 13. 21． (1)證明 因?yàn)?PA⊥ 平面 ABC， AC? 平面 ABC， 所以 PA⊥ AC. 又因?yàn)?AB⊥ AC，且 PA∩ AB＝ A， 所以 AC⊥ 平面 PAB. 又因?yàn)?PB? 平面 PAB， 所以 AC⊥ PB. (2)證明 因?yàn)?PA⊥ 平面 ABC，所以 PA⊥ AB， PA⊥ AC. 又因?yàn)?AB⊥ AC，所以以 A為原點(diǎn)， 分別以 AC， AB， AP 所在直線為 x軸， y軸， z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 AC＝ 2a， AB＝ b， PA＝ 2c，則 A(0,0,0)， B(0， b,0)，C(2a,0,0)， P(0,0,2c)， D(0,0， c)， O(a,0,0)， 又因?yàn)?OG→ ＝ 13(OA→ ＋ OB→ )， 所以 G(a3， b3， 0)， 于是 DG→ ＝ (a3， b3，－ c)， BC→ ＝ (2a，－ b,0)， PB→ ＝ (0， b，－ 2c)． 設(shè)平面 PBC的一個(gè)法向量 n＝ (x0， y0， z0)， 則有????? nn＝ 3x＋ 3y＝ 0，MN→ 即 DC1⊥ DC. 又 ∵ DC∩ BC＝ C， ∴ DC1⊥ 平面 BDC. 又 ∵ DC1? 平面 BDC1， ∴ 平面 BDC1⊥ 平面 BDC. (2)解 設(shè)棱錐 B－ DACC1的體積為 V1， AC＝ 1. 由題意得 V1＝ 13 1＋ 22 1 1＝ 12. ∵ 三棱柱 ABC－ A1B1C1的體積 V＝ 1， ∴ (V－ V1)∶ V1＝ 1∶ 1. ∴ 平面 BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為 1∶ 1. 20． (1)證明 取 AC的中點(diǎn) O，連接 OP， OB. ∵ PA＝ PC， AB＝ CB， ∴ AC⊥ PO， AC⊥ OB. 又 ∵ 平面 PAC⊥ 平面 ABC，且 AC是平面 PAC與平面 ABC的交線， PO? 平面 PAC， ∴ PO⊥ 平面 坐標(biāo)系 Oxyz， 由已知得 A(2,0,0)， B(0,2 3， 0)， C(－ 2,0,0)， P(0,0,2 2)， M(1， 3， 0)， N(0， 3， 2)． ∴ AC→ ＝ (－ 4,0,0)， PB→ ＝ (0,2 3，－ 2 2)， ∴ AC→ BQ ＝ 28＋ 28－ 642 2 7 2 7＝－ 170， 所以所求角為 π－ ∠ AQB，所以 cos(π－ ∠ AQB)＝ 17， 因此平面 PBC與平面 PAD所成銳二面角的余弦值為 17. 方法二 以 O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． 則 P(0,0,4)， B(－ 4,0,0)， A(4,0,0)，
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