20xx高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元練習(xí)--空間向量與立體幾何(存儲(chǔ)版)
【正文】 BC＝ 4， AA1＝ 4，點(diǎn) M 是棱 D1C1 的中點(diǎn)．求直線 AB1 與平面 DA1M 所成角的正弦值． 【答案】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為 D(0,0,0)， A(4,0,0)， B(4,2,0)， C(0,2,0)， A1(4,0,4)， B1(4,2,4)， C1(0,2,4)， D1(0,0,4)． 于是， M(0,1,4).＝ (0,1,4)，＝ (4,0,4)，＝ (0,2,4)． 設(shè)平面 DA1M 的法向量為 n＝ (x， y， z)， 則，即????? y＋ 4z＝ 04x＋ 4z＝ 0 ． 取 z＝－ 1，得 x＝ 1， y＝ 4. 所以平面 DA1M 的一個(gè)法向量為 n＝ (1,4，－ 1)． 設(shè)直線 AB1 與平面 DA1M 所成角為θ， 178。 S＝ 0， n178。 AC＝ BC＝ 2， A1 在底面 ABC 上的射 178。 |n|＝－ 77 ．因?yàn)槎娼?A－ A1B－ C 為銳角，所以可知二面角 A－ A1B－ C的余弦值為 77 ． 。 EC ＝ 0，由此得 EC⊥ DE，向量 F 與 E的夾角等于二面角 A－ DE－ C 的平面角． 于是 cos〈 F， E〉＝FAECFAEC ＝－ 12， 所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 FG ＝－ 12． 所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角 . ∴ O， E 分別為 DB、 PB 的中點(diǎn)， OEPD， 12OE PD? . 又∵ PD ABCD? 底 面 ， ∴ OE⊥底面 ABCD， OE⊥ AO. 在 Rt△ AOE 中， 1222OE PD AB AO? ? ?， ∴ 45AEO ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 【解法 2】如圖，以 D 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ， 設(shè) ,AB a PD h??則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,A a B a a C a D P h， (Ⅰ）∵ ? ? ? ? ? ?, , 0 , 0 , 0 , , , , 0A C a a D P h D B a a? ? ? ?， ∴ 0 , 0A C D P A C D B? ? ? ?. ∴ AC⊥ DP， AC⊥ BD， AC⊥平面 PDB. 178。 設(shè) BC=4，作 MG⊥ AB 于 G，則 32121 。 三、解答題 17．如圖，四邊形 ABCD 為正方形， PD⊥平面 ABCD， PD∥ QA， QA＝ AB＝ 12PD. (1)證明：平面 PQC⊥平面 DCQ； (2)求二面角 Q－ BP－ C 的余弦值． 【答案】如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段 DA 的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線 OA 為 x 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 D－ xyz. (1)依題意有 Q(1,1,0)， C(0,0,1)， P(0,2,0)． 則＝ (1,1,0)，＝ (0,0,1)，＝ (1，－ 1,0)． 所以178。 A． DB B． AD C． DA D． AC 【答案】 C 7．以下命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)為 ( ) ①已知 A、 B、 C、 D 是空間任意四點(diǎn)，則 A＋ B＋ C＋
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