20xx高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元練習(xí)--空間向量與立體幾何-wenkub
2022-08-30 20:09:52 本頁面
【正文】 BCD 為正方形， PD⊥平面 ABCD， PD∥ QA， QA＝ AB＝ 12PD. (1)證明：平面 PQC⊥平面 DCQ； (2)求二面角 Q－ BP－ C 的余弦值． 【答案】如圖，以 D 為坐標原點，線段 DA 的長為單位長，射線 OA 為 x 軸的正半軸建立空間直角坐標系 D－ xyz. (1)依題意有 Q(1,1,0)， C(0,0,1)， P(0,2,0)． 則＝ (1,1,0)，＝ (0,0,1)，＝ (1，－ 1,0)． 所以178。 E 為線 段 AB 的中點，將△ ADE 沿直線 DE 翻折成△ A′ DE，使平面 A′ DE⊥平面 BCD， F 為線段 A′ C的中點 . 178。 設(shè) BC=4，作 MG⊥ AB 于 G，則 32121 。 7178。 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角 . ∴ O， E 分別為 DB、 PB 的中點， OEPD， 12OE PD? . 又∵ PD ABCD? 底 面 ， ∴ OE⊥底面 ABCD， OE⊥ AO. 在 Rt△ AOE 中， 1222OE PD AB AO? ? ?， ∴ 45AEO ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 【解法 2】如圖，以 D 為原點建立空間直角坐標系 D xyz? ， 設(shè) ,AB a PD h??則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,A a B a a C a D P h， (Ⅰ）∵ ? ? ? ? ? ?, , 0 , 0 , 0 , , , , 0A C a a D P h D B a a? ? ? ?， ∴ 0 , 0A C D P A C D B? ? ? ?. ∴ AC⊥ DP， AC⊥ BD， AC⊥平面 PDB. 178。 則 sin θ＝＝ 1015 ， 所以直線 AB1 與平面 DA1M 所成角的正弦值為 1015 ． 21．如圖，四棱錐 S－ ABCD 中， SD⊥底面 ABCD， AB∥ CD， AD⊥ CD， AB＝ AD＝ 1， DC＝ SD＝2， E 為棱 SB 上的一點，平面 EDC⊥平面 SBC. (1)證明： SE＝ 2EB； (2)求二面角 A－ DE－ C 的大?。? 【答案】方法一 (1)證明 如圖所示，連結(jié) BD，取 DC的中點 G，連結(jié) BG，由此知 DG＝ GC＝ BG＝ 1，即△ DBC 為直角三角形，故 BC⊥ BD. 又 SD⊥平面 ABCD，故 BC⊥ SD，所以 BC⊥平面 BDS， BC⊥ BK⊥ EC， K 為垂足．因為平面 EDC⊥平面 SBC，故 BK⊥平面 EDC， BK⊥ DE，即 DE 與平面 SBC 內(nèi)的兩條相交直線 BK、 BC都垂直，所以 DE⊥平面 SBC， 所以 DE⊥ EC， DE⊥ SB. 又 DB＝ AD2＋ AB2＝ 2， SB＝ SD2＋ DB2＝ 6， DE＝ SD178。 FG ＝－ 12． 所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 DE ＝ 0， m178。 EC ＝ 0，由此得 EC⊥ DE，向量 F 與 E的夾角等于二面角 A－ DE－ C 的平面角． 于是 cos〈 F， E〉＝FAECFAEC ＝－ 12， 所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 影恰為 AC 的中點 D，又知 BA1⊥ AC1. (1)求證
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