20xx高考數(shù)學一輪復習單元練習--空間向量與立體幾何(編輯修改稿)
2024-09-24 20:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 BE∥ CD,BE=12 CD. 所以 FG∥ BE,FG=BE. 故四邊形 BEGF 為平 行四邊形 . 所以 BF∥平面 A′ DE. (Ⅱ )在平行四邊形 ABCD 中，因為 AB＝ 2BC，∠ ABC=120176。， 設 BC=4，作 MG⊥ AB 于 G，則 32121 。 ??? MAAMMG . 如圖所示建立空間直角坐標系 M— xyz， 則 )3,27,2 3(),32,0,0(),0,7,3(),0,1,3(),0,1,3( 。 ???? FACED， 所以 )3,27,2 3(),32,1,3(),0,2,32( 39。 ???? MFDADE. 178。 7178。 設平面 A′ DE 的法向量為 ),( zyxn? ，由 ?????????0039。DAnDEn得 ??????????032303zyxyx，所以)0,3,1( ??n . 設直線 FM 與平面 A′ DE 所成角為 ? ，則 21c o s,3,2 342 34|||| ||s in ???????? ???? MFn MFn. 所以直線 FM 與平面 A′ DE 所成角的余弦值為 12 . 19．如圖，四棱錐 P ABCD? 的底面是正方形， PD ABCD? 底 面 ， 點 E 在棱 PB上 . (Ⅰ）求證：平面 AEC PD B? 平 面 ； (Ⅱ）當 2PD AB? 且 E 為 PB的中點時，求 AE 與平面 PDB 所 成的角的大小 . 【答案】（Ⅰ）∵四邊形 ABCD 是正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PD ABCD? 底 面 ，∴ PD⊥ AC. ∴ AC⊥平面 PDB. ∴平面 AEC PD B? 平 面 . (Ⅱ）設 AC∩ BD=O，連接 OE， 178。 8178。 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角 . ∴ O， E 分別為 DB、 PB 的中點， OEPD， 12OE PD? . 又∵ PD ABCD? 底 面 ， ∴ OE⊥底面 ABCD， OE⊥ AO. 在 Rt△ AOE 中， 1222OE PD AB AO? ? ?， ∴ 45AEO ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 【解法 2】如圖，以 D 為原點建立空間直角坐標系 D xyz? ， 設 ,AB a PD h??則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,A a B a a C a D P h， (Ⅰ）∵ ? ? ? ? ? ?, , 0 , 0 , 0 , , , , 0A C a a D P h D B a a? ? ? ?， ∴ 0 , 0A C D P A C D B? ? ? ?. ∴ AC⊥ DP， AC⊥ BD， AC⊥平面 PDB. 178。 9178。 ∴平面 AEC PD B? 平 面 . (Ⅱ）當 2PD AB? 且 E 為 PB的中點時， ? ? 1 1 20 , 0 , 2 , , ,2 2 2P a E a a a??????， 設 AC BD O??，則 11( , ,0)22O a a ，連結(jié) OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O，∴∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所成的角 . ∵1 1 2 2, , , 0 , 0 ,2 2 2
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