【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 c? ? ? ?所以 sin ,aac?? ? 于是由 c＜ b，得2 2 2 2 ,a c ab a c a c??＜ 即 sin sin ,??＜ 又 0,2???＜ ， ＜ 所以 ,??＜ 10. (2022湖南理 )如圖所示，四棱錐 PABCD的底面 ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形，∠ BCD＝ 60176。， E 是 CD 的中點(diǎn)， PA⊥底面 ABCD， PA＝ 2. （Ⅰ）證明：平面 PBE⊥平面 PAB。 （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（ 銳角）的大小 . 10．解 : 解法一 （Ⅰ）如圖所示，連結(jié) BD，由 ABCD 是菱形且∠ BCD=60176。知， △ BCD 是等邊三角形 .因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 BE⊥ CD,又 AB∥ CD, 所以 BE⊥ PA⊥平面 ABCD， BE? 平面 ABCD，所以 PA⊥ PA? AB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB. （Ⅱ）延 長(zhǎng) AD、 BE 相交于點(diǎn) F，連結(jié) PF. 過(guò)點(diǎn) A 作 AH⊥ PB 于 H，由（Ⅰ）知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ ABF 中，因?yàn)椤?BAF＝ 60176。， 所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△ PAF 中，取 PF 的中點(diǎn) G，連接 AG. 則 AG⊥ HG，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得， PF⊥ ∠ AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（銳角） . 在等腰 Rt△ PAF 中， 2 G P A?? 在 Rt△ PAB 中， 222 2 5 .55A P A B A P A BAH PB A P A B? ? ? ?? 所以，在 Rt△ AHG 中， 25 105si n .52AHAGH AG? ? ? ? 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小是 10arcsin .5 解法二 : 如圖所示，以 A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 .則相關(guān) 各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， 33( , ,0),22C 13( , ,0),22D P（ 0， 0， 2） , 3(1, ,0).2E （Ⅰ）因 為 3(0, ,0)2BE ? ， 平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (0,1,0)n ? ， 所以 0BE n和 共線(xiàn) .從而 BE⊥平面 PAB. 又因?yàn)?BE? 平面 PBE， 故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E? ? ? ， ） ， 13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D? ? ? 設(shè)1 1 1 1( , , )n x y z?是平面 PBE的一個(gè)法向量，則由 110,0n PBn BE? ??????得 1 1 11 2 20 2 0 ,30 0 0.2x y zx y z? ? ? ???? ? ? ? ? ???所以 1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 , 1 ) .y x z n? ? ?故 可 取 設(shè) 2 2 2 2( , , )n x y z? 是平面 PAD的一個(gè)法向量，則由 220,0n PAn AD? ??????得 2 2 22 2 20 0 2 0 ,13 0 0.22x y zx y z? ? ? ? ???? ? ? ? ???所以 2 2 20, 3 .z x y? ? ? 故可取 2 ( 3, 1, 0).n ?? 于是， 1212122 3 1 5c o s , .552nnnnnn? ?? ? ?? 故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（銳角）的大小是 15arccos .5 11． (2022 湖南文 ) 如圖所示，四棱錐 P ABCD? 的底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，060??BCD ， E 是 CD 的中點(diǎn)， PA ? 底面 ABCD， 3?PA 。 （ I）證明：平面 PBE? 平面 PAB； （ II）求二面角 A— BE— P 和的大小。 11．解：解法一 （ I）如圖所示 , 連結(jié) ,BD 由 ABCD 是菱形且 060??BCD 知， BCD△ 是等邊三角形 . 因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn)， 所以 ,BE CD⊥ 又 ,AB CD// 所以 ,BE AB⊥ 又因?yàn)?PA ? 平面 ABCD， BE? 平面 ABCD， 所以 ,BEPA⊥ 而 ,AB A?PA 因此 BE⊥ 平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE? 平面 PAB. （ II）由（ I）知， BE⊥ 平面 PAB, PB? 平面 PAB, 所以 .PB BE? 又 ,BEAB⊥ 所以 PBA? 是二面角 A BE P??的平面角． 在 Rt PAB△ 中 , ta n 3 , 6 0 .PAP B A P B AAB? ? ? ? ?． 故二面角 A BE P??的大小為 60. 解法二：如圖所示 ,以 A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 (000),A ， ， (100),B ， ， 33( 0),22C ， ， 13( 0),22D ， ， (00 3),P ， ， 3(1 0).2E ， ， （ I）因?yàn)?3(0, 0),2BE ? ， 平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (010),n ? ， ， 所以 BE 和 0n 共線(xiàn) . 從而 BE⊥ 平面 PAB. 又 因?yàn)?BE? 平面 PBE，所以平面 PBE? 平面 PAB. （ II）易知 3(1 0 , 3 ) , ( 0 , 0 ) ,2P B B E? ? ?， ，設(shè) 1n 1 1 1()x y z? ， ， 是平面 PBE 的一個(gè)法向量 , 則由 1100n PBn BE? ????????， 得 1 1 11 1 10 3 030 0 02x y zx y z? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???， 所以 1 1 x z?=0， 故可取 1n ( 301).? ， ， 而平面 ABE 的 一個(gè)法向量是 2 (001).n ? ， ， 于是 , 1212 12 1c o s , .2| | | |nnnn nn?? ?? ?． 故二面角 A BE P??的大小為 60. P A B C E D 12． (2022 江蘇 )記動(dòng)點(diǎn) P 是棱長(zhǎng)為 1 的正方體 1 1 1 1ABCD A B C D的 對(duì)角線(xiàn) 1BD 上一點(diǎn)，記11DPDB?? ．當(dāng) APC? 為鈍角時(shí)，求 ? 的取值范圍． 12．解：由題設(shè)可知，以 DA 、 DC 、 1DD 為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ，則有 (1,0,0)A , (1,1,0)B , (0,1,0)C , (0,0,1)D 由 1 (1,1, 1)DB??，得 11 ( , , )D P D B? ? ? ?? ? ?，所以11 ( , , ) ( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , , 1 )P A P D D A ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ( , , ) ( 0 , 1 , 1 ) ( , 1 , 1 )P C P D D C ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 顯然 APC? 不是平角，所以 APC? 為鈍角等價(jià)于 c os c os , 0PA PCAPC PA PCPA PC? ? ? ?? ?， 則等價(jià)于 0PAPC? 即 2( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3 1 ) 0? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 1 13 ??? 因此， ? 的取值范圍是 1( ,1)3 13． (2022 江西文、理 ) 如圖，正三棱錐 O ABC? 的三條側(cè)棱 OA 、 OB 、 OC 兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為 2． E 、 F 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn)， H 是 EF 的中點(diǎn)，過(guò) EF 的 平面與側(cè)棱 OA 、OB 、 OC 或其延長(zhǎng)線(xiàn) 分別相交于 1A 、 1B 、 1C ，已知1 32OA?． （ 1）求證： 11BC ⊥ 面 OAH ； （ 2）求二面角 1 1 1O AB C??的大?。? 13．解 ：（ 1）證明：依題設(shè)， EF 是 ABC? 的中位線(xiàn)， 所以 EF ∥ BC ， 則 EF ∥ 平面 OBC ，所以 EF ∥ 11BC 。 又 H 是 EF 的中點(diǎn)，所以 AH ⊥ EF ， 則 AH ⊥ 11BC 。 因?yàn)?OA ⊥ OB ， OA ⊥ OC ， 所以 OA ⊥ 面 OBC ，則 OA ⊥ 11BC ， 因此 11BC ⊥ 面 OAH 。 （ 2）作 ON ⊥ 11AB 于 N ，連 1CN。 因?yàn)?1OC ⊥ 平面 11OAB ， 根據(jù)三垂線(xiàn)定理知， 1CN⊥ 11AB ， 1ONC? 就是二面角 1 1 1O AB C??的平面角。 作 EM ⊥ 1OB 于 M ，則 EM ∥ OA ，則 M 是 OB 的中點(diǎn)，則 1EM OM??。 xyzCBADD 1 C 1B 1A 1PNMB 1C 1A 1HFECBAO設(shè) 1OB x? ，由 111OB OAMB EM? 得， 312xx ?? ，解得 3x? ， 在 11Rt OAB? 中， 221 1 1 1 3 52A B O A O B? ? ?，則， 111135O A O BON AB???。 所以 11ta n 5OCO N C ON? ? ?，故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 解法二： （ 1）以直線(xiàn) OA OC OB、 、 分別為 xy、 、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， O xyz?則 11( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , , )22A B C E F H 所以 1 1 1 1( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 2 )2 2 2 2A H O H B C? ? ? ? ? 所以 0 , 0A H B C O H B C? ? ? ? 所以 BC? 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 11BC ∥ BC ，故： 11BC? 平面 OAH (2)由已知1 3( ,0,0),2A設(shè) 1(0,0, )Bz 則111( , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 )2A E E B z? ? ? ? ? 由 1AE 與 1EB 共線(xiàn)得 :存在 R?? 有 11AE EB?? 得 11321 ( 1)(0 , 0 , 3)zzB???? ? ?????? ???? 同理 : 1(0,3,0)C 1 1 1 133( , 0 , 3 ) , ( , 3 , 0 )22A B A C? ? ? ? ? 設(shè) 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 1 1 1ABC 的一個(gè)法向量 , 則 令 2x? 得 1yx?? 1 (2,1,1).n?? 又 2 (0,1,0)n ? 是平面 11OAB 的一個(gè)法量 12 16c o s , 64 1 1nn? ? ? ? ??? 所以二面角的大小為 6arccos 6 14． (2022 遼寧文 )如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 AB C D A B C D? ? ? ?? 中， AP=BQ=b（ 0b1），截面 PQEF∥ AD? ，截面 PQGH∥ AD? ． （ Ⅰ ）證明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直； （ Ⅱ ）證明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面積之和是定值， 并求出這個(gè)值； B 1C 1A 1HFECBAOx yzA B C D E F P Q H A? B? C? D? G （ Ⅲ ）若 12b? ，求 DE? 與平面 PQEF 所成角的正弦值． 14．本小題主要考查空間中的線(xiàn)面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿(mǎn)分 12 分． 解法一： （ Ⅰ ）證明：在正方體中， AD AD??? ， AD AB?? ， 又由已知可得 PF AD?∥ ， PH AD?∥ ， PQ AB∥ ， 所以 PH PF? ， PH PQ? ， 所以 PH? 平面 PQEF ． 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直． 4 分 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知 22PF AP PH PA ???， ，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形， 且 PQ=1，所以截面PQEF 和截面 PQGH 面積之和是 ( 2 2 ) 2AP PA PQ?? ? ?，是定值 ．