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正文內(nèi)容

[高一數(shù)學(xué)]空間向量與立體幾何典型例題(編輯修改稿)

2025-02-05 10:12 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 c? ? ? ?所以 sin ,aac?? ? 于是由 c< b,得2 2 2 2 ,a c ab a c a c??< 即 sin sin ,??< 又 0,2???< , < 所以 ,??< 10. (2022湖南理 )如圖所示,四棱錐 PABCD的底面 ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形,∠ BCD= 60176。, E 是 CD 的中點(diǎn), PA⊥底面 ABCD, PA= 2. (Ⅰ)證明:平面 PBE⊥平面 PAB。 (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角( 銳角)的大小 . 10.解 : 解法一 (Ⅰ)如圖所示,連結(jié) BD,由 ABCD 是菱形且∠ BCD=60176。知, △ BCD 是等邊三角形 .因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn),所以 BE⊥ CD,又 AB∥ CD, 所以 BE⊥ PA⊥平面 ABCD, BE? 平面 ABCD,所以 PA⊥ PA? AB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ)延 長(zhǎng) AD、 BE 相交于點(diǎn) F,連結(jié) PF. 過(guò)點(diǎn) A 作 AH⊥ PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ ABF 中,因?yàn)椤?BAF= 60176。, 所以, AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△ PAF 中,取 PF 的中點(diǎn) G,連接 AG. 則 AG⊥ HG,由三垂線(xiàn)定理的逆定理得, PF⊥ ∠ AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(銳角) . 在等腰 Rt△ PAF 中, 2 G P A?? 在 Rt△ PAB 中, 222 2 5 .55A P A B A P A BAH PB A P A B? ? ? ?? 所以,在 Rt△ AHG 中, 25 105si n .52AHAGH AG? ? ? ? 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(銳角)的大小是 10arcsin .5 解法二 : 如圖所示,以 A 為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系 .則相關(guān) 各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A( 0, 0, 0), B( 1, 0, 0), 33( , ,0),22C 13( , ,0),22D P( 0, 0, 2) , 3(1, ,0).2E (Ⅰ)因 為 3(0, ,0)2BE ? , 平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (0,1,0)n ? , 所以 0BE n和 共線(xiàn) .從而 BE⊥平面 PAB. 又因?yàn)?BE? 平面 PBE, 故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E? ? ? , ) , 13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D? ? ? 設(shè)1 1 1 1( , , )n x y z?是平面 PBE的一個(gè)法向量,則由 110,0n PBn BE? ??????得 1 1 11 2 20 2 0 ,30 0 0.2x y zx y z? ? ? ???? ? ? ? ? ???所以 1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 , 1 ) .y x z n? ? ?故 可 取 設(shè) 2 2 2 2( , , )n x y z? 是平面 PAD的一個(gè)法向量,則由 220,0n PAn AD? ??????得 2 2 22 2 20 0 2 0 ,13 0 0.22x y zx y z? ? ? ? ???? ? ? ? ???所以 2 2 20, 3 .z x y? ? ? 故可取 2 ( 3, 1, 0).n ?? 于是, 1212122 3 1 5c o s , .552nnnnnn? ?? ? ?? 故平面 PAD和平面 PBE所成二面角(銳角)的大小是 15arccos .5 11. (2022 湖南文 ) 如圖所示,四棱錐 P ABCD? 的底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的菱形,060??BCD , E 是 CD 的中點(diǎn), PA ? 底面 ABCD, 3?PA 。 ( I)證明:平面 PBE? 平面 PAB; ( II)求二面角 A— BE— P 和的大小。 11.解:解法一 ( I)如圖所示 , 連結(jié) ,BD 由 ABCD 是菱形且 060??BCD 知, BCD△ 是等邊三角形 . 因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn), 所以 ,BE CD⊥ 又 ,AB CD// 所以 ,BE AB⊥ 又因?yàn)?PA ? 平面 ABCD, BE? 平面 ABCD, 所以 ,BEPA⊥ 而 ,AB A?PA 因此 BE⊥ 平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE,所以平面 PBE? 平面 PAB. ( II)由( I)知, BE⊥ 平面 PAB, PB? 平面 PAB, 所以 .PB BE? 又 ,BEAB⊥ 所以 PBA? 是二面角 A BE P??的平面角. 在 Rt PAB△ 中 , ta n 3 , 6 0 .PAP B A P B AAB? ? ? ? ?. 故二面角 A BE P??的大小為 60. 解法二:如圖所示 ,以 A 為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 (000),A , , (100),B , , 33( 0),22C , , 13( 0),22D , , (00 3),P , , 3(1 0).2E , , ( I)因?yàn)?3(0, 0),2BE ? , 平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (010),n ? , , 所以 BE 和 0n 共線(xiàn) . 從而 BE⊥ 平面 PAB. 又 因?yàn)?BE? 平面 PBE,所以平面 PBE? 平面 PAB. ( II)易知 3(1 0 , 3 ) , ( 0 , 0 ) ,2P B B E? ? ?, ,設(shè) 1n 1 1 1()x y z? , , 是平面 PBE 的一個(gè)法向量 , 則由 1100n PBn BE? ????????, 得 1 1 11 1 10 3 030 0 02x y zx y z? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???, 所以 1 1 x z?=0, 故可取 1n ( 301).? , , 而平面 ABE 的 一個(gè)法向量是 2 (001).n ? , , 于是 , 1212 12 1c o s , .2| | | |nnnn nn?? ?? ?. 故二面角 A BE P??的大小為 60. P A B C E D 12. (2022 江蘇 )記動(dòng)點(diǎn) P 是棱長(zhǎng)為 1 的正方體 1 1 1 1ABCD A B C D的 對(duì)角線(xiàn) 1BD 上一點(diǎn),記11DPDB?? .當(dāng) APC? 為鈍角時(shí),求 ? 的取值范圍. 12.解:由題設(shè)可知,以 DA 、 DC 、 1DD 為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ,則有 (1,0,0)A , (1,1,0)B , (0,1,0)C , (0,0,1)D 由 1 (1,1, 1)DB??,得 11 ( , , )D P D B? ? ? ?? ? ?,所以11 ( , , ) ( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , , 1 )P A P D D A ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ( , , ) ( 0 , 1 , 1 ) ( , 1 , 1 )P C P D D C ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 顯然 APC? 不是平角,所以 APC? 為鈍角等價(jià)于 c os c os , 0PA PCAPC PA PCPA PC? ? ? ?? ?, 則等價(jià)于 0PAPC? 即 2( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3 1 ) 0? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,得 1 13 ??? 因此, ? 的取值范圍是 1( ,1)3 13. (2022 江西文、理 ) 如圖,正三棱錐 O ABC? 的三條側(cè)棱 OA 、 OB 、 OC 兩兩垂直,且長(zhǎng)度均為 2. E 、 F 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn), H 是 EF 的中點(diǎn),過(guò) EF 的 平面與側(cè)棱 OA 、OB 、 OC 或其延長(zhǎng)線(xiàn) 分別相交于 1A 、 1B 、 1C ,已知1 32OA?. ( 1)求證: 11BC ⊥ 面 OAH ; ( 2)求二面角 1 1 1O AB C??的大?。? 13.解 :( 1)證明:依題設(shè), EF 是 ABC? 的中位線(xiàn), 所以 EF ∥ BC , 則 EF ∥ 平面 OBC ,所以 EF ∥ 11BC 。 又 H 是 EF 的中點(diǎn),所以 AH ⊥ EF , 則 AH ⊥ 11BC 。 因?yàn)?OA ⊥ OB , OA ⊥ OC , 所以 OA ⊥ 面 OBC ,則 OA ⊥ 11BC , 因此 11BC ⊥ 面 OAH 。 ( 2)作 ON ⊥ 11AB 于 N ,連 1CN。 因?yàn)?1OC ⊥ 平面 11OAB , 根據(jù)三垂線(xiàn)定理知, 1CN⊥ 11AB , 1ONC? 就是二面角 1 1 1O AB C??的平面角。 作 EM ⊥ 1OB 于 M ,則 EM ∥ OA ,則 M 是 OB 的中點(diǎn),則 1EM OM??。 xyzCBADD 1 C 1B 1A 1PNMB 1C 1A 1HFECBAO設(shè) 1OB x? ,由 111OB OAMB EM? 得, 312xx ?? ,解得 3x? , 在 11Rt OAB? 中, 221 1 1 1 3 52A B O A O B? ? ?,則, 111135O A O BON AB???。 所以 11ta n 5OCO N C ON? ? ?,故二面角 1 1 1O AB C??為 arctan 5 。 解法二: ( 1)以直線(xiàn) OA OC OB、 、 分別為 xy、 、 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系, O xyz?則 11( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , , )22A B C E F H 所以 1 1 1 1( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 2 )2 2 2 2A H O H B C? ? ? ? ? 所以 0 , 0A H B C O H B C? ? ? ? 所以 BC? 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 11BC ∥ BC ,故: 11BC? 平面 OAH (2)由已知1 3( ,0,0),2A設(shè) 1(0,0, )Bz 則111( , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 )2A E E B z? ? ? ? ? 由 1AE 與 1EB 共線(xiàn)得 :存在 R?? 有 11AE EB?? 得 11321 ( 1)(0 , 0 , 3)zzB???? ? ?????? ???? 同理 : 1(0,3,0)C 1 1 1 133( , 0 , 3 ) , ( , 3 , 0 )22A B A C? ? ? ? ? 設(shè) 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 1 1 1ABC 的一個(gè)法向量 , 則 令 2x? 得 1yx?? 1 (2,1,1).n?? 又 2 (0,1,0)n ? 是平面 11OAB 的一個(gè)法量 12 16c o s , 64 1 1nn? ? ? ? ??? 所以二面角的大小為 6arccos 6 14. (2022 遼寧文 )如圖,在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 AB C D A B C D? ? ? ?? 中, AP=BQ=b( 0b1),截面 PQEF∥ AD? ,截面 PQGH∥ AD? . ( Ⅰ )證明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; ( Ⅱ )證明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面積之和是定值, 并求出這個(gè)值; B 1C 1A 1HFECBAOx yzA B C D E F P Q H A? B? C? D? G ( Ⅲ )若 12b? ,求 DE? 與平面 PQEF 所成角的正弦值. 14.本小題主要考查空間中的線(xiàn)面關(guān)系和面面關(guān)系,解三角形等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力與邏輯思維能力.滿(mǎn)分 12 分. 解法一: ( Ⅰ )證明:在正方體中, AD AD??? , AD AB?? , 又由已知可得 PF AD?∥ , PH AD?∥ , PQ AB∥ , 所以 PH PF? , PH PQ? , 所以 PH? 平面 PQEF . 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. 4 分 (Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知 22PF AP PH PA ???, ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形, 且 PQ=1,所以截面PQEF 和截面 PQGH 面積之和是 ( 2 2 ) 2AP PA PQ?? ? ?,是定值 .
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