【正文】 a)來(lái)計(jì)算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。設(shè)F162。(x)=f(x)則在[a,b]上，⊿y=F(b)F(a)將[a,b]分成n 等份，在第i個(gè)區(qū)間[xi1,xi]上，記⊿yi=F(xi)F(xi1),則⊿y=∑⊿yi 如下圖，因?yàn)楱Shi=f(xi1)⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi1)⊿x 故⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi1)⊿x= 即242。baf(x)dx242。baf(x)dx=F(b)F(a)所以有微積分基本定理：如果函數(shù)F(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，則242。242。bbaf(x)dx=F(b)F(a)242。bbaf(x)dx（此處并不要求學(xué)生理解證明的過(guò)程）為了方便起見(jiàn)，還常用F(x)|a表示F(b)F(a)，即af(x)dx=F(x)|ba=F(b)F(a)該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。⑶應(yīng)用舉例例1．計(jì)算下列定積分：311（1）242。dx；（2）242。(2x2)dx。1x1x1解：（1）因?yàn)?lnx)39。=，x212所以242。dx=lnx|1=ln2ln1=ln2。1x11（2））因?yàn)?x2)39。=2x,()39。=2，xx33311所以242。(2x2)dx=242。2xdx242。2dx111xx131223。=x2|1+|1=(91)+(1)=x332練習(xí)：計(jì)算解：由于242。xdx01213x是x2的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 3113113131242。x2dx=x|0=10=03333例2．計(jì)算下列定積分：242。p0sinxdx,242。sinxdx,242。sinxdx。p039。2p2p由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)?cosx)=sinx，所以242。ppsinxdx=(cosx)|=(cos2p)(cosp)=2，p242。pppsinxdx=(cosx)|=(cos2p)(cos0)==(cosx)|p0=(cosp)(cos0)=2，可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:(l）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積； 一 3(2）（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 一 4)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；(3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 一 5)，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積．例3．汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度a=，問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車開(kāi)始到停車經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度v0=32公里/小時(shí)32180。1000米/秒187。,剎車后汽車減速行駛,其速度為v(t)=v0at=,速度v(t)=0,故從v(t)==0解得t=187。=于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過(guò)的距離是s=(t)dt=()dt=(180。t2)187。,即在剎車后,，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來(lái)，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說(shuō)，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．⑷課堂練習(xí)課本p55練習(xí)⑴⑻四：課堂小結(jié)：，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來(lái)多復(fù)習(xí)！五：教學(xué)后記：從教以來(lái)，一直困惑于一個(gè)問(wèn)題：課堂上如何突出重點(diǎn)并突破難點(diǎn)。當(dāng)然，理論方面自己早已爛熟于心，關(guān)鍵是缺乏實(shí)踐方面的體驗(yàn)及感悟。在今天的課堂上，本來(lái)一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可在課堂上卻花費(fèi)了大量時(shí)間，更嚴(yán)重的是學(xué)生卻聽(tīng)得更為糊涂。一個(gè)主要原因在于，對(duì)相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)理解不到位，眉毛胡子一把抓，而難點(diǎn)又無(wú)法解決。第五篇：高職微積分教案第一節(jié)函數(shù)引入1．引例例1圓的面積與它的半徑之間存在著相依關(guān)系，這種關(guān)系由公式A=pR2(0R+165。)給定，當(dāng)半徑R在區(qū)間(0,+165。)內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，由上式就可以確定圓面積A的相應(yīng)數(shù)值。例2 某物體以10m/s的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則該物體走過(guò)的路程S和時(shí)間t有如下關(guān)系：S=10t(0163。t+165。)對(duì)變量t和S，當(dāng)t在[0,+165。)內(nèi)每取一定值t0，S就有唯一確定的值S0=10t0與之對(duì)應(yīng)。抽去上面兩個(gè)例子中所考慮的量的實(shí)際意義，它們都表達(dá)了兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，這種相依關(guān)系給出了一種對(duì)應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有確定的值與之對(duì)應(yīng)。兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)。新授：一、函數(shù)的概念定義1設(shè)D為一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，若存在確定的對(duì)應(yīng)法則f，使得對(duì)于數(shù)集D中的任意一個(gè)數(shù)x，按照法則f都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y為變量x的函數(shù)，記作y=f(x)這里x稱為自變量，y稱為因變量或函數(shù)。f是函數(shù)符號(hào)，它表示y與x的對(duì)應(yīng)規(guī)則，D叫做函數(shù)的定義域。當(dāng)x取數(shù)值x0206。D時(shí)，與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作f(x0)。當(dāng)x取遍D中的各個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值全體組成的數(shù)集W={yy=f(x),x206。D}稱為函數(shù)的值域。定義域D與對(duì)應(yīng)法則f唯一確定函數(shù)y=f(x)，故定義域與對(duì)應(yīng)法則叫做函數(shù)的兩要素。如果函數(shù)的兩個(gè)要素相同，那么它們就是相同的函數(shù)，否則，就是不同的函數(shù)。函數(shù)y=f(x)的對(duì)應(yīng)法則f也可以用j,h,g,F等表示，相應(yīng)的函數(shù)就記作j(x),h(x),g(x),F(x)。2．函數(shù)的定義域通常求函數(shù)的定義域應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)函數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，定義域?yàn)?165。,+165。)（2）分式函數(shù)的分母不能為零（3）偶次根式的被開(kāi)方式必須大于等于零（4）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零（5）反正弦函數(shù)與反余弦函數(shù)的定義域?yàn)閇1,1]（6）如果函數(shù)表達(dá)式中含有上述幾種函數(shù)，則應(yīng)取各部分定義域的交集。例3 判斷下列函數(shù)是否是相同的函數(shù)x（2）y=x 與 y=x2 xx解（1）函數(shù)y=1的定義域?yàn)?165。,+165。)，而函數(shù)y=的定義域?yàn)?165。,0)U(0,+165。)，x（1）y=1 與 y=故不是同一函數(shù)。（2）兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同，故是同一函數(shù)。例4求下列函數(shù)的定義域(1)f(x)=1(2)f(x)=x+3+ln(x2)25x+2x(3)y=lg(4x3)arcsin(2x1)解(1)在分式12中，分母不能為零，所以5x+2x185。0，解得25x+2x22246。230。2246。230。x185。且x185。0。即定義域?yàn)?31。165。,247?！?31。,0247。∪(0,+165。)。55248。232。5248。232。（2）該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組236。x+3179。0 237。x20238。的x值的全體，解此不等式組，得x2，即定義域?yàn)?2,+165。)。（3）該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組236。4x30 237。1163。2x1163。1238。的x值的全體，解此不等式組，在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的不同范圍內(nèi)，用不同的解析式表示的情況，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。例5 設(shè)符號(hào)函數(shù) 3230。3249。x163。1，即定義域?yàn)?31。,14232。4236。1,x0239。sgnx=f(x)=237。0,x=0239。1,x0238。求f(2),f(0),f(4)及函數(shù)的定義域、值域（如圖11）。解因?yàn)?206。(0,+165。),0206。{0},4206。(165。,0)，所以，f(2)=1,f(0)=0,f(4)=1，f(x)的定義域?yàn)?165。,+165。)，值域?yàn)閧1,0,1}。分段函數(shù)在整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)的圖形在每個(gè)區(qū)間段圖11 上與相應(yīng)解析式函數(shù)的圖形相同；求分段函數(shù)的數(shù)值時(shí)，應(yīng)把自變量的值代入相應(yīng)取值范圍的表達(dá)式中進(jìn)行計(jì)算。4．反函數(shù)定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸。對(duì)于任意數(shù)值y206。M，在D中都有唯一確定的值x，使x=j(y)，則得到一個(gè)以y為自變量，x為因變量的新的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f1(y)，其定義域?yàn)镸，值域?yàn)镈。由于人們習(xí)慣用x表示自變量，而用y表示因變量，因此我們將函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)x=f1(y)用y=f1(x)表示。y=f(x)與y=f1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。如圖12。求反函數(shù)的過(guò)程可以分為兩步：第一步從y=f(x)解出x=f母x和y。反函數(shù)一定要指明其定義域。二、函數(shù)的幾種特性1．有界性若存在正數(shù)M，使得在區(qū)間I上恒有f(x)163。M，則稱f(x)在I上有界，否則稱f(x)在I上無(wú)界。例如，函數(shù)y=2．單調(diào)性1(y)；第二步交換字1在區(qū)間(0,1)內(nèi)無(wú)界，但在區(qū)間(1,2)內(nèi)有界。x若對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2，當(dāng)x1x2時(shí)有f(x1)f(x2)，則稱f(x)在I上單調(diào)增加，區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間；若f(x1)f(x2)，則稱f(x)在I上單調(diào)減少，區(qū)間I稱為單調(diào)減區(qū)間。單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像隨著自變量x的增大而上升，在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的圖像隨著自變量x的增大而下降。例如，y=x2在區(qū)間[0,+165。)內(nèi)是單調(diào)增加的，在區(qū)間(165。,0]內(nèi)是單調(diào)減少的，在區(qū)間(165。,+165。)函數(shù)y=x2不是單調(diào)函數(shù)。3．奇偶性設(shè)I為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，若對(duì)于任意的x206。I，都有f(x)=f(x)，則f(x)叫做偶函數(shù)；若f(x)=f(x)，則f(x)叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖13；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖14。若f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，那么f(x)叫做非奇非偶函數(shù)。例如，y=x在區(qū)間(165。,+165。)內(nèi)是奇函數(shù)，y=x+1在區(qū)間(165。,+165。)內(nèi)是偶函數(shù)。34y=sinx+cosx在區(qū)間(165。,+165。)是非奇非偶函數(shù)。4．周期性若存在不為零的數(shù)T，使得對(duì)于定義域I內(nèi)的任意的x206。I，都有x+T206。I，且f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，其中T叫做函數(shù)的周期，通常所說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期。例如，y=sinx,y=cosx都是以2p為周期的周期函數(shù)。三、基本初等函數(shù)冪函數(shù)y=xa（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)y=ax（a0,a185。1,a為常數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a0,a185。1,a為常數(shù)）三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx，y=cscx反三角函數(shù)y=arcsix,ny=arccox,sy=arctax,ny=arcoxt以上五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)，常用的基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)見(jiàn)附表2。四、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)在函數(shù)y=sin2x中，我們不難看出，這個(gè)函數(shù)值不是直接由自變量x來(lái)確定的，而是通過(guò)2x來(lái)確定的，如果用u表示2x，那么函數(shù)y=sin2x就可以表示成y=sinu，而u=2x，這也就說(shuō)明了y與x的函數(shù)關(guān)系是通過(guò)變量u來(lái)確定的。定義3如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，y=f(u),u=j(x)，通過(guò)u將y表示成x的函數(shù)，那么y叫做x的復(fù)合函數(shù)，即y=f[j(x)]其中u叫做中間變量。注意函數(shù)j(x)的值域應(yīng)該取在函數(shù)y=f(u)的定義域內(nèi)。例6試求由函數(shù)y=u,u=sinx構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)33解將u=sinx代入y=u中，即為所求的復(fù)合函數(shù)y=sinx2注意并非任意兩個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。例如y=arcsinu與u=x+2便不能3復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，因?yàn)閡的值域?yàn)閇2,+165。)，不包含在y=arcsinu的定義域[1,1]內(nèi)，因而不能復(fù)合。有時(shí)，一個(gè)復(fù)合函數(shù)可能由三個(gè)或更多的函數(shù)復(fù)合而成。例如，由函數(shù)2y=2u,u=sinv,v=x2+1可以復(fù)合成函數(shù)y=2sin(x+1)，其中u和v都是中間變量。例7指出下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)：（1）y=(2x+1)；（2）y=解（1）y=u9,u=2x+1（2）y=u,u=logav,v=cosx+4u（3）y=10u=sinv,v=9loga(cosx+4)；（3）y=10xsin1x；x1 x對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解時(shí)，每個(gè)層次都應(yīng)是基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算式；當(dāng)分解到基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算時(shí)，就不再分解了。定義4由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)。例如y=1+x,y=sinx,y=等都是初等函數(shù)。初等函數(shù)是最常見(jiàn)的函數(shù)，它是微積分學(xué)研究的主要對(duì)象。23loga3x小結(jié)：1． 函數(shù)定義2．函數(shù)性質(zhì)3．初等函數(shù)4．復(fù)合函數(shù)作業(yè)：P9，5 板書設(shè)計(jì)：（一）引例函數(shù)（二）定義 函數(shù)定義 函數(shù)性質(zhì)（三）初等函數(shù)初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù)（四）小結(jié)