【正文】 ；當l=1 時，級數(shù)的斂散性不能確定。證明見P289 例判別下列級數(shù)的斂散性（如果收斂，是絕對收斂，還是條件收斂）第七章npsin165。165。165。165。n!5n5n1n1[1] 229。[3][4](p1)[2] 229。(1)229。(1)n1229。(1)nn=1npn=1nn=1n5n=11[5]ln(n+1)P289例〔6〕P290例4 例5 npsin解：[1]un=np5163。1=1，而npnp1是 p 1的p級數(shù)，收斂 229。pnn=1165。因此級數(shù)絕對收斂。[2] 229。165。n=1|(1)n1n!nn|=229。n!nn(n+1)!(n+1)n+1u230。1246。Qlimn+1=lim=lim231。1+247。n!n174。165。unn174。165。n174。165。232。n248。nnn=e11所以原級數(shù)絕對收斂。[3] Q229。|(1)n1n=1165。5nn5|=229。5nn55n+1且n174。165。un5 (n+1)5u230。n246。limn+1=lim=lim5231。247。=51n174。165。5nn174。165。232。n+1248。n5故原級數(shù)發(fā)散 [4] 11 |=229。229。|(1)n1ln(n+1)ln(n+1)n=1165。 而 ln(n+1)ln(n+2)un+1lim=lim=lim=limn+1=11n174。165。unn174。165。n174。165。ln(n+2)n174。165。1ln(n+1)n+2165。165。1111但發(fā)散 179。 且229。發(fā)散229。ln(n+1)nn=0nn=0ln(n+1)165?？?29。(1)n1n=11滿足萊布尼茲定理收斂，因此原級數(shù)條件收斂。ln(n+1)三、小結(jié)任意項級數(shù)和交錯級數(shù)的概念交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法任意項級數(shù)的條件收斂與絕對收斂四、作業(yè)：P310 5167。 冪級數(shù)第七章主要教學(xué)內(nèi)容(1)冪級數(shù)的相關(guān)概念；(2)冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)；(3)冪級數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的及要求: 掌握冪級數(shù)的相關(guān)概念，會求收斂半徑及收斂區(qū)間重點難點及解決措施: 重點:求收斂半徑和收斂區(qū)間 難點:收斂區(qū)間的求解解決措施: : ：2課時一、冪級數(shù)冪級數(shù)的相關(guān)概念1）、定義：形如a+a(xx)+a(xx0)+...+a(xx0)+...（1）2n0102n的級數(shù)稱為(xx0)的冪級數(shù)，其中a0，a1，L叫做冪級數(shù)的系數(shù) 我們規(guī)定當x=x0時，（1）總收斂于a0(1)式可簡記為229。an(xx0)nn=1165。2）當x0=0時（1）式變?yōu)?29。anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...（2）n=1165。稱為x的冪級數(shù)3）由于做變換X=xx0（1）式可以轉(zhuǎn)化為（2）式的形式，所以今后我們主要研究的是形如（2）時的級數(shù)4）分析冪級數(shù)收斂與數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系對于冪級數(shù)來說，我們?nèi)匀魂P(guān)注的是它的斂散性問題。即變量x在實數(shù)范圍內(nèi)取哪些值時，級數(shù)（2）是收斂的當x=0時，任何一個冪級數(shù)都收斂于a0。當x185。0時，給定一個x的值，冪級數(shù)成為一個數(shù)項級數(shù)。隨著x取不同的值，冪級數(shù)就成為一族數(shù)項級數(shù)。為此，我們可以用前面介紹的判別定理來探討冪級數(shù)的斂散性。uu由定理6知，當limn+11時級數(shù)絕對收斂，limn+11時，級數(shù)發(fā)散n174。165。unn174。165。un如果liman+1n174。165。anuaxn+1=l則limn+1=limn+1=lxn174。165。unn174。165。anxn第七章11=R時，（2）發(fā)散lllx=1即x==R，x=177。R時，（2）可能收斂可能發(fā)散l(2)絕對收斂，lx1即x當l185。0時，lx1即x =R 時，當l=0時，lx=01，則級數(shù)（2）對任何x都收斂從上面的討論知，冪級數(shù)收斂的范圍是實數(shù)軸上一個以原點為中心，從R到R的區(qū)間，這個區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間，其中R=1/l叫做冪級數(shù)的收斂半徑。在收斂區(qū)間以外，冪級數(shù)（2）發(fā)散。在收斂區(qū)間上，對于每一個點，級數(shù)都收斂于一個確定的和s，對于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函數(shù)，稱為和函數(shù)，記為s(x)。求收斂半徑、收斂區(qū)間的步驟1）定理7 如果級數(shù)（2）的系數(shù)滿足條件liman+1n174。165。an=l則當0l+165。時，R=1/l，當l=+165。時，R=0；當l=0時，R=+165。 2)求收斂區(qū)間的步驟首先求出收斂半徑R，如果0R+165。，再判斷x=177。R時級數(shù)(2)的斂散性，最后寫出收斂區(qū)間。例求下列級數(shù)的收斂區(qū)間165。xnn1n[1]229。[3] x[2] 229。(1)nn!2n=1n=1165。nx+x22+x33+x44+...=229。165。xnn=1nn+1n+11230。1246。1a解：[1]l=limn+1=lim2=lim231。1+247。=則R=2n248。2n174。165。ann174。165。nn174。165。2232。2n當x=2時，冪級數(shù)成為229。n這是發(fā)散的n=1165。當x=2時，冪級數(shù)成為229。(1)n也發(fā)散 165。nn=1故級數(shù)的收斂區(qū)間為（2，2）。(1)n(n+1)!=lima[2] l=limn+1=limn174。165。ann174。165。(1)nn!1=0則R=+∞ n+1n174。165。收斂區(qū)間為（∞，+∞）1na=則R=1 [3] l=limn+1=limn+1=lim1n174。165。ann174。165。n174。165。n+1n第七章當x=1時，級數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級數(shù)229。n，發(fā)散。n=1165。1(1)n當x=1時，級數(shù)變?yōu)榻诲e級數(shù)229。，收斂nn=1165。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為[1,1) 例[1]求級數(shù) 229。2n 的收斂半徑x2n=0(n!)165。(2n)![2]求級數(shù)229。n=0165。(x+1)n4n的收斂區(qū)間2(n+1)!解；[1]分析：n174。165。limun+1un=lim[(n+1)!](n!)122n+1x2()n174。165。(2n)!2nx2=4x21時，級數(shù)發(fā)散 21當4x21時，x2即x時級數(shù)收斂，當4x21即x故級數(shù)的收斂半徑R=1/2 165。14[2]分析 令X=x+1則229。n=0(x+1)n4n=165。Xna Qlimn+1229。n174。165。ann=04nn+11=lim4=4n174。165。14n165。n所以R=4,當x=4時，級數(shù)變?yōu)?29。1發(fā)散；當x=4時，級數(shù)變?yōu)?29。(1)發(fā)散165。n=1n=1165。Xn 的收斂區(qū)間為（4，4）故229。，即4二、冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)229。anxn+229。bnxn=229。(an+bn)xnn=0n=0n=0165。165。165。性質(zhì)如果冪級數(shù)f(x)=續(xù)函數(shù)。性質(zhì)在冪級數(shù)f(x)=a229。=n0165。nxn的收斂半徑為R0，則在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)，它的和函數(shù)為s(x)是連a229。=n0165。n的收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)任意一點x，有 xn第七章242。x0f(x)dx=242。(229。ant)dt=229。242。0n=0n=0x165。n165。x0atnndt=229。xn=0n+1n165。an+1即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，并且積分后級數(shù)的收斂半徑也是R。性質(zhì)在冪級數(shù)f(x)=a229。=n0165。nxn的收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)任意一點x，有/165。165。n230。246。f162。(x)=231。229。anx247。=229。232。n=0248。n=0(an)/n1n=nx229。anxn=1165。即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項微分，并且微分后級數(shù)的收斂半徑也是R。165。165。nn1n例3 求冪級數(shù)229。x的收斂區(qū)間和和函數(shù)，并求級數(shù)229。的和。（見書P296）n=1n=12n1230。2246。n例求冪級數(shù)229。的和函數(shù)并利用所得結(jié)果求級數(shù)229。231。247。 =1n=1n232。3248。165。xn165。x解：令s(x)=229。165。n=1nn則s162。(x)=(229。x)162。=229。x165。165。n=1nn1nn=1=1+x+x+x+...=x21x（|x|01t1230。2246。n22229。231。247。=s()=ln(1)=ln333n=1n232。3248。165。例5 求冪級數(shù) f(x)=xx33+x55...+(1)n1n1x2n12n1+...的和函數(shù)，而 解：因f/(x)=1x+x...+(1)24x2n2+...=x11+x22242。x0f162。(t)dt=f(x)f(0)，所以 f(x)=f(0)+242。dt1+t0=0+arctanx=arctanx它的收斂半徑R＝1?？梢则炞C，當x=1時，級數(shù)收斂，當x=1時，級數(shù)也收斂，因此，所給級數(shù)的收斂域為［－１，１］三、小結(jié)冪級數(shù)的相關(guān)概念冪級數(shù)收斂區(qū)間、和函數(shù)的求法四、作業(yè)：P311 6第七章167。 泰勒公式與泰勒級數(shù)主要教學(xué)內(nèi)容(1)泰勒公式與泰勒級數(shù)；(2)函數(shù)的冪級數(shù)展開教學(xué)目的及要求: 理解泰勒、馬克勞林級數(shù)的概念，了解函數(shù)的冪級數(shù)展開的間接法重點難點及解決措施: 重點: 馬克勞林級數(shù) 難點: 函數(shù)的冪級數(shù)展開解決措施: : ：2課時一、泰勒級數(shù)我們已經(jīng)知道，函數(shù)n1n123=1x+xx+...+(1)x+...，那么一般的函數(shù)f(x)是否也可以展1+x開成冪級數(shù)的形式呢？即f(x)=229。anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...（1）n=1165。這里a0,a1,a2,...為待定系數(shù)。如果能，那么系數(shù)怎么確定，按照一定方法確定出的系數(shù)決定的冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上是否收斂于f(x)? 我們先看第一個問題設(shè)f(x)具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故可對（1）兩邊逐次求一階到n階導(dǎo)數(shù)。令x=0則有f(0)=a0，f162。(0)=a1，f162。162。(0)=2!a2，L，f(n)(0)=n!anf162。162。(0)2f(n)(0)nx+L+x+L 于是（1）式為 f(x)=f(0)+f162。(0)x+2!n!(n)165。我們稱級數(shù)229。f(0)xn為函數(shù)f(x)在x=0的馬克勞林級數(shù)。n=0n!關(guān)于馬克勞林級數(shù)是否收斂于f(x)的問題，看書P320。第七章另外我們還可以證明，如果函數(shù)f(x)能夠表達為x的冪級數(shù)229。anxn，則這個冪級數(shù)與f(x)的馬克勞林級n=0165。數(shù)是一樣的。因此我們通常用馬克勞林級數(shù)來將一個初等函數(shù)展開成冪級數(shù)。例1 將f(x)=ex展開成冪級數(shù)。解：f(n)(x)=ex，即 f(n)(0)=1(n)165。165。所以 f(x)=ex的馬克勞林級數(shù)為229。f(0)xn=229。1xn，收斂區(qū)間為(165。,+165。)。n!n=0n!n=03．兩個重要函數(shù)的冪級數(shù)展式(1)ex=229。(2)165。n=01xn，收斂區(qū)間為n!(165。,+165。)；165。1=229。xn，收斂區(qū)間為(1,1)1xn=04．一般函數(shù)的冪級數(shù)展式的間接法 例（1）將函數(shù)f(x)=2 展開成x的冪級數(shù)x（2）將lnx展開成(x2)的冪級數(shù) 解：（1）xx2(n)xn162。162。() x=ln2，f(x)=2(ln2)，Lf(x)=2(ln2)f2/2即f162。(0)=ln2，f162。162。(0)=(ln2)，L，f(n)(0)=(ln2)n則有229。n=0165。f(n)(0)n!xn(ln2)=229。165。n=0nn!xn(ln2)n+1a顯然limn+1=limn174。165。an(n+1)!(ln2)nn!n174。165。=limln2=0其收斂半徑R=+165。n174。165。n+1+165。)即收斂區(qū)間為(165。，n+12qx(ln2)(0q1)又因為對任何x，余項 Rn(x)=xn+1 (n+1)!n+1(ln2)n+1n+12qx(ln2)n+1qx=0（級數(shù)收斂，一般項趨于0）因此級數(shù)而limRn(x)=limx =2limxn174。165。n174。165。(n+1)!n174。165。(n+1)!229。n=0165。(ln2)nn!xn在(165。，+165。)內(nèi)收斂于2x第七章165。(ln2)nxxn 即2=229。n=0n!(今后可以省略判斷收斂區(qū)間和余項趨于0的步驟)（2）令f(x)=lnx，則f162。(x)=112(n1)!，f162。162。(x)=2，f162。162。162。(x)=3，L，f(n)(x)=(1)n1nxxxx112(n1)!(n)n1從而在x=2處，f162。(2)=2，f162。162。(2)=4，f162。162。162。(2)=23，L，f(2)=(1)nn11故229。165。f()(x0)n165。)(n1)!n165。nnnn=0n!(xx0)=229。(1n=0n!n(x2)=229。(1)n=0n2(x2) 2即lnx展成(x2)的冪級數(shù)為229。165。(1)n1n=0n2n(x2)n二、小結(jié)泰勒公式與泰勒級數(shù)函數(shù)用間接法展開成冪級數(shù)三、作業(yè)：P312 102n第二篇：微積分教案微積分數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用微分模型一、光纖收費標準模型某地有多家有線電視公司。有