【微積分】泰勒公式(2)-文庫吧
2025-07-07 11:20 本頁面
【正文】 (x) 在 [0, 3]上連續(xù) , 所以在 [ 0, 2 ]上連續(xù) , 且在 [ 0, 2 ]上有最大值 M 與最小值 m, 故 Mfffm ?? )2(),1(),0(Mfffm ???? 3 )2()1()0(由介值定理 , 至少存在一點 使,]2,0[?c3)2()1()0()( fffcf ??? 1?,1)3()( ??? fcf,)3,(,]3,[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在且 ccxf由羅爾定理知 , 必存在 .0)(,)3,0()3,( ???? ?? fc 使).()(, bfaf ?條件中去掉了與羅爾定理相比.0)()()( ????? ab afbff ?],[ ba),( ba),( ba??))(()()( abfafbf ???? ?定理 2（ Lagrange中值定理） 如果 f (x) 滿足 1. 在閉區(qū)間 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)， ，使得 2. 在開區(qū)間 那末至少有一點 注意 : 分析 : 要證 )(???.)()()()( xab afbfxfx ?????a b1? 2? xoy)( xfy ?ABCD幾何解釋 : .,ABCAB線平行于弦在該點處的切上至少有一點在曲線弧作輔助函數(shù) xab afbfxfx ???? )()()()(?.0)(),( ??? ??? 使ba0)()()( ?????? ab afbff即).)(()()( abfafbf ?????或拉格朗日中值公式 注意 :拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 . 證 ,),(,],[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則 babax? 且 )()()()( bab bafafba ?? ????由羅爾定理知至少存在一點 ,),(],[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)，在設(shè) babaxf).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf則有),(, 00 baxxx ???).10()( 0 ??????????? xxxfy也可寫成.的精確表達式增量 y?拉格朗日中值定理又稱 有限增量定理 . 拉格朗日中值公式又稱 有限增量公式 . 微分中值定理 推論 : 若函數(shù) 在閉區(qū)間 [a , b]上連續(xù) , 在開區(qū)間 則 在 [a , b] 上必為常數(shù) . 證 : 在 [a , b] 上任取兩點 在 [x1 , x2] 上應(yīng)用拉格朗日中值公式 , 得 0?由 的任意性知 , 在 [a , b]上為常數(shù) . (a , b)內(nèi) 例 3 ).11(2a r c c o sa r c s in ?????? xxx證明證 ( ) a r c s i n a r c c o s [ 1 , 1 ] ,f x x x? ? ?由 于 在 上 連 續(xù)0)11(11)(,)1,1(22????????xxxf內(nèi)在]1,1[,)( ???? xCxf0ar c c os0ar c s in)0( ??f?又 20 ??? ,2??.2??C即.2a r c c o sa r c s in ???? xx例 4 .)
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