【微積分】泰勒公式(2)(已修改)
2025-08-03 11:20 本頁(yè)面
【正文】 費(fèi)馬 ( fermat )引理 第六節(jié) 微分中值定理 且在 x0處可導(dǎo) ,若 )( ?或證 則 0?0?xyo 0x設(shè) f (x)在點(diǎn) x0 的某鄰域 U(x0) 內(nèi)有定義 , 有 則 例如 , 32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx,]3,1[ 上連續(xù)在 ? ,)3,1( 上可導(dǎo)在 ?,0)3()1( ??? ff且))3,1(1(,1 ????取 .0)( ???f),1(2)( ??? xxf?)(xf],[ ba),( ba)()( bfaf ?),( ba?? 0)( ?? ?f定理 1（ Rolle定理） 如果 滿足 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)， 那末至少有一點(diǎn) 使得 1. 在閉區(qū)間 2. 在開區(qū)間 3. 幾何解釋 : a b1? 2? xyo)( xfy ?.,水平的在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)上至少有一在曲線弧CABC證 ,],[)( 上連續(xù)在 baxf?.],[)(mMbaxf最小值和上必有最大值在?),( ba??? .0)( ???f都有),( afM ?.)(),( Mfba ?? ?? 使,)( 存在??f? (ii) 若 M m , 由于端點(diǎn)值 f (a)= f (b), 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等 , 不妨設(shè) 則至少存在一點(diǎn) 故由費(fèi)馬引理得 .0)( ?? ?f(i) 若 M = m , 則 因此 注意 : 定理?xiàng)l件條件不全具備 , 結(jié)論不一定成立 . 例如 , x1yox1yo1?x1yo使 本定理可推廣為 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 ???)(lim xfax)(lim xfbx ??在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 證明提示 : 設(shè) 證 F(x) 在 [a , b] 上滿足羅爾定理 . 例 1 .10155的正實(shí)根有且僅有一個(gè)小于證明方程 ??? xx證 ,15)( 5 ??? xxxf設(shè) ,],0[)( 連續(xù)在則 xf.3)1(,1)0( ??? ff且由零點(diǎn)定理 , 知 .0)(),1,0( 00 ??? xfx 使 x0 即為方程的小于 1的正實(shí)根 . ,),1,0( 011 xxx ??設(shè)另有 .0)( 1 ?xf使,)( 10 件之間滿足羅爾定理的條在 xxxf?使得之間在至少存在一個(gè) ),( 10 xx?? .0)( ???f)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x , 矛盾 . .0 為唯一實(shí)根x?設(shè)函數(shù) f (x) 在 [ 0, 3 ]上連續(xù) , 在 ( 0, 3 )內(nèi)可導(dǎo) , 且 ,1)3(,3)2()1()0( ???? ffff使,)3,0(?? .0)( ?? ?f分析 : 所給條件可寫為 1)3(,13 )2()1()0( ???? ffff試證必存在 想到找一點(diǎn) c , 使 3)2()1()0()( fffcf ??? 1?例 2 再在 [0, 3]應(yīng)用羅爾定理 . 證 : 因 f
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