【正文】 第七章 微積分的數(shù)值計(jì)算方法 ? 傳統(tǒng)方法的困境 ? 數(shù)值積分的基本思想 ? 數(shù)值積分的一般形式 ? 代數(shù)精度問(wèn)題 求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上的定積分 ()baI f x d x? ?是微積分學(xué)中的基本問(wèn)題。 返回章 基本概念 167。?? ba dxxffI )()(對(duì)于積分 公式有則由的原函數(shù)如果知道 L e i b n i zN e w t o nxFxf ?),()(?ba dxxf )( )()()( aFbFxF ba ???但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中 ,常會(huì)見(jiàn)到以下現(xiàn)象 : 的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在 )(,)()1( xfxf不是初等函數(shù)如求不出來(lái)的原函數(shù) )(,)()()2( xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜 ,)()3( xf傳統(tǒng)方法的困境 以上這些現(xiàn)象 ,NewtonLeibniz很難發(fā)揮作用 ! 只能建立積分的近似計(jì)算方法 數(shù)值積分 正是為解決這樣的困難而提出來(lái)的， 不僅如此，數(shù)值積分也是微分方程數(shù)值解法的工具之一。 數(shù)值積分的基本思想 數(shù)值積分 是計(jì)算定積分的具有一定精度的近似值的各種計(jì)算方法。 從 幾何上 看，就是計(jì)算 曲邊梯形面積 的近似值。 最簡(jiǎn)單的辦法，是用許多 小矩形之和 近似曲邊梯形 的面積，如 圖 70所示，這就是 矩形公式 ： 圖 70 矩形規(guī)則 y x a=x0 x1 x2 xi xi+1 xn1 xn =b f0 f1 f2 fi fi+1 fn1 fn f(x) 1000 1 2 1( ) ( )(),0nnbi i iaiinnf x d x f x h A fbaA A A A h An???????? ? ? ? ? ? ????(1) 圖 71 梯形規(guī)則 x a=x0 x1 x2 xi xi+1 xn1 xn =b y f0 f1 f2 fi fi+1 fn1 fn f(x) 如果改用許多小梯形之和近似曲邊梯形的面積，如圖 71，就會(huì)更精確些，這就是 梯形公式 。 0 1 1 2 11010()2 2 22bnnannni i iiif f f f f ff x d x h h hffh h f A f????? ? ?? ? ? ??? ? ????0 1 2 111,22 nnA h A A A h A h?? ? ? ? ? ?(2) 數(shù)值積分的一般形式 數(shù)值積分的一般形式是： 0()nbi i naif x d x A f R?????其中， fi 是函數(shù) f(x)在節(jié)點(diǎn) xi 上的函數(shù)值，它可能以列表形式給出，也可以是由函數(shù)的解析式計(jì)算出的函數(shù)值； Ai 稱為節(jié)點(diǎn) xi 上的權(quán)系數(shù)，也稱求積系數(shù)。 正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。 (3) 記數(shù)值積分公式為 0,ninnniiI A fI I R????? 即 特點(diǎn)： 把求積過(guò)程（極限過(guò)程）轉(zhuǎn)化為有限次的乘法與加法的代數(shù)運(yùn)算。 xi為節(jié)點(diǎn) ， Ai 為求積系數(shù)。 需要做的工作： 1. 確定節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)； 2. 估計(jì)余項(xiàng)； 3. 討論公式的算法設(shè)計(jì)及其數(shù)值穩(wěn)定性。 最常用的一種方法是利用插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式 , 具體步驟如下 : 上取一組節(jié)點(diǎn)在積分區(qū)間 ],[ babxxxa n ????? ?10次插值多項(xiàng)式的作 nxf )(???nkkkn xlxfxL0)()()(為插值基函數(shù)其中： ),1,0)(( nkxl k ??不同的 插值方法 有不同的 基函數(shù) ,不同的表示形式 插值型求積公式 有的近似作為被積函數(shù)用 ,)()( xfxL n?ba dxxf )( ?? ba n dxxL )( ? ??? bankkk dxxlxf0)()(? ???nkba kk dxxlxf0 )()(則，若記 ?? ba kk dxxlA )(?? ba dxxffI )(][ n0( ) = I ( 1 )nkkkA f x?? ? (1)式為數(shù)值求積公式 . Ak為求積系數(shù) , 且僅與積分區(qū)間和求積節(jié)點(diǎn) xk 有關(guān) . 0 [ ] [ ] ( ) = [ ] ( 2 )nk k nkR f I f A f x I f I?? ? ??稱 為 求 積 余 項(xiàng) 。0( 1)1[ ] ( ) [ ]( ) ()1[ ] ( ) ( )( 1 ) !插 值 型 求 積 公 式bnann k kkbkkabnnaI f f x dx I R fI A f xA l x dxR f f x dxn??????? ? ???????? ???????????( 1 )0, [ ] 0( ) ( )nnnbkkakf n f x R ff x dx A f x????? ??若 為 次 數(shù) 的 多 項(xiàng) 式 則 ( )= 0, 從 而 此 時(shí) 也就是說(shuō)，當(dāng)被積函數(shù) f為次數(shù)不超過(guò) n 的多項(xiàng)式時(shí)，其相應(yīng)的插值型求積公式不是近似公式，而是準(zhǔn)確公式。 ——— 當(dāng)然期望公式能對(duì)越多的被積函數(shù)精確成立，并與此作為 判斷求積公式“好”與“差”的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。 判斷求積公式“好”與“差”的標(biāo)準(zhǔn) ———— 代數(shù)精度 因此定義代數(shù)精度的概念 : 定義 1. 若求積公式 ?? ba dxxffI )()( )()(0fIxfA nnkkk ?? ??即都準(zhǔn)確成立次的代數(shù)多項(xiàng)式對(duì)任意次數(shù)不超過(guò) ,))(( mixPm i ?即只要立次多項(xiàng)式卻不能準(zhǔn)確成但對(duì) ,1?m?ba i dxxP )( ???nkkik xPA0)( mi ,1,0 ??? ?ba m dxx 1 ????nkmkk xA01則稱該求積公式具有 m次的代數(shù)精度 . 代數(shù)精度也稱 代數(shù)精確度 可以證明，求積公式 ()ba f x d x?0()nkkkA f x?? ?具 有 次 代 數(shù) 精 度 的 充 要 條 件 是 它 對(duì)m,都 能 準(zhǔn) 確 成 立 但 對(duì)( ) 1 , , , mf x x x?1() mf x x ??不能準(zhǔn)確成立 . 顯然，一個(gè)求積公式的代數(shù)精度越高， 它就能對(duì)更多的被積函數(shù) f(x)準(zhǔn)確成立， 從而具有更好的實(shí)際計(jì)算意義。 結(jié)論： 含有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式 的代數(shù)精度至少為 n. 例 1. 試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高 . )()]()0([)]()0([2)()( 120 fIhffahhffhdxxffI h ???????? ??? h dxxI 0 0解 : 221hI ?]20[2 231 hahhI ???0)( xxf ?對(duì)于 hI ?1h??? h dxxI 0 11)( xxf ?對(duì)于 22h??? h dxxI 0 22)( xxf ?對(duì)于33h? 3)221( ha??1II ?令 121?a]30[2 2241 hahhI ????? h dxxI033)( xxf ?對(duì)于44h? 44h?]40[2 3251 hahhI ????? h dxxI044)( xxf ?對(duì)于55h?65h?3,2,1,0)()( 1 ?? jxIxI jj)()( 414 xIxI ?因此 所以該積分公式具有 3次代數(shù)精確度 ? 1． NewtonCotes公式 ? 2． 常用的 NC公式 ? 3. NewtonCotes公式的穩(wěn)定性 NewtonCotes求積公式 NewtonCotes數(shù)值求積公式 NewtonCotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用 Lagrange插值 多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式 ],[)( baCxf ?設(shè)函數(shù)為插值多項(xiàng)式及余項(xiàng)分別的 L a g r a n g exf )(等份分割為將積分區(qū)間 nba ],[nkkhax k ,1,0, ????為步長(zhǎng)其中 n abh ??各節(jié)點(diǎn)為 ???nkkkn xlxfxL0)()()( )()!1( )()( 1)1(xnfxR nnn ???? ??10( ) ( ) , [ , ]nniix x x a b????? ? ??其中 139。0 1()( ) ,( ) ( )j nkjn k j n k kjkxx xlxx x x x x????? ????????而 )()()( xRxLxfnn ??因此對(duì)于定積分 ?? ba dxxffI )()(? ?? ba nn dxxRxL )]()([有 ?? ba dxxffI )()(? ??? bankkk dxxlxf0)()( ?? ba n dxxR )(???nkkk xfA0)( ?? ba n dxxR )(令 ???nkkkn xfAfI0)()(?? ba nn dxxRIR )()(?? ba dxxffI )()()()()( nn IRfIfI ??即有 ?? ba kk dxxlA )(其中 dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0n階 NewtonCotes求積公式 NewtonCotes公式的余項(xiàng) (誤差 ) )()( fIfI n??? ba kk dxxlA )( dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0:的計(jì)算kA注意是等距節(jié)點(diǎn) thax ??假設(shè) ],[ bax ?由 ],0[ nt ?可知kAdxxxxxbakjnj jkj? ???? ???