【正文】 kkkkfxA d x b aCAba????? ? ????? ???一 般 求 積 公 式 對 準 確 成 立 因 此即()3 . 0 0 ( 0 , , )nkC k n? ? ? ?k當 A()1 . ( ) , ( 0 , , )nkkA b a C k n? ? ?Cotes系數(shù)的性質(zhì) : 三、 NewtonCotes公式的穩(wěn)定性 (舍入誤差 ) dtjtknknCnkjnjknnk ? ???????????00)( )()!(!)1(考察 Cotes系數(shù) [ , ] , ( )ja b x f x只 與 積 分 區(qū) 間 的 節(jié) 點 的 劃 分 有 關(guān) 與 函 數(shù) 無 關(guān) ,因此用 NewtonCotes公式計算積分的舍入誤差主要由 的計算引起函數(shù)值 )( kxf其值可以精確給定。0 1()( ) ,( ) ( )j nkjn k j n k kjkxx xlxx x x x x????? ????????而 )()()( xRxLxfnn ??因此對于定積分 ?? ba dxxffI )()(? ?? ba nn dxxRxL )]()([有 ?? ba dxxffI )()(? ??? bankkk dxxlxf0)()( ?? ba n dxxR )(???nkkk xfA0)( ?? ba n dxxR )(令 ???nkkkn xfAfI0)()(?? ba nn dxxRIR )()(?? ba dxxffI )()()()()( nn IRfIfI ??即有 ?? ba kk dxxlA )(其中 dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0n階 NewtonCotes求積公式 NewtonCotes公式的余項 (誤差 ) )()( fIfI n??? ba kk dxxlA )( dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0:的計算kA注意是等距節(jié)點 thax ??假設(shè) ],[ bax ?由 ],0[ nt ?可知kAdxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0dthhjkhjtnkjnj??????????????? ? ????00 )()(dtjtknkh nkjnjkn? ???????????00)()!(!)1(dtjtknknabnkjnjkn? ?????????????00)()!(!)1()()()(? nkk CabA ??????nkkkn xfAfI0)()( ????nkknk xfCab0)( )()(所以 NewtonCotes公式化為 () a,bnkC C o t e s稱 為 系 數(shù) , 獨 立 于 區(qū) 間 [] 和 被 積 函 數(shù) ,只 與 等 分 區(qū) 間 數(shù) n 有 關(guān) ， 從 而 與 求 積 問 題 本 身 沒 有 關(guān) 系 .NowtonCotes型求積公式的誤差分析 定理 NewtonCotes求積公式的余項可表示為： ( ) [ , ] ,n+1（ 1 ） 對 n 為 奇 數(shù) 的 情 形 ， 設(shè) 函 數(shù) 則f x C a b?2 ( 1 )R [ ] ( ) [ , ]n ，nnnf r h f a b??????01r ( 1 ) ( )( 1 ) !nn ndn ? ? ? ?? ? ?? ?其中 ( ) [ , ] ,f x C a b? n+2（ 2 ） 對 n 為 偶 數(shù) 的 情 形 ， 設(shè) 函 數(shù) 則3 ( 2 )R [ ] ( ) [ , ]n ，nnnf r h f a b??????其中 201r ( 1 ) ( )( 2 ) !nn ndn ? ? ? ?? ? ?? ?低階 NewtonCotes公式及其余項 在 NewtonCotes公式中 ,n=1,2,4時的公式是最常用也 最重要三個公式 ,稱為低階公式 (1). 梯形公式及其余項 abhbxaxn ????? ,1 10則取dtt? ??? 10 )1()1(0CCotes系數(shù)為 21?dtt?? 10)1(1C 21?求積公式為 )(1 fI ????10)1( )()(kkk xfCab)]()([2 10 xfxfab ???)]()([2 bfafab ???)(1 fI即上式稱為 梯形求積公式 ,也稱 兩點公式 ，記為 0 1 01234)]()([2 )( bfafab ???)(1 fIT ?梯形公式的余項為 )()( 1IRTR ? ?? ba dxxR )(1dxbxaxfTR ba? ????? ))((2 )()( ?dxbxaxf ba? ????? ))((2 )(?],[ ba??第二積分 中值定理 6)(2)( 3abf ????? ?( 1)1()( ) ( )( 1 ) ! ，與 有 關(guān)nnnfR x xnx? ????? ?)(12 )(3?fab ?????2312)(|)(| MabTR ??|)(|m a x ],[2 xfM bax ??? ?梯形公式具有 1次代數(shù)精度 故 (2). Simpson公式及其余項 2,2,2 210abhbxabxaxn ??????? 則取Cotes系數(shù)為 dtttC ? ??? 20)2(0 )2)(1(41 61?dtttC ? ??? 20)2(1 )2(2 1 64?dtttC ? ?? 20)2(2 )1(41 61?求積公式為 )(2 fI ????20)2( )()(kkk xfCab)](61)(64)(61)[( 210 xfxfxfab ????)]()2(4)([6 bfbafafab ?????)(2 fI 0 1 01234上式稱為 Simpson求積公式 ，也稱 三點公式或拋物線公式 記為 )(2 fIS ?Simpson公式的余項為 )()( 2IRSR ? ?? ba dxxR )(2)()2(1 8 0 )4(4 ?fabab ????Simpson公式具有 3次代數(shù)精度 (3). Cotes公式及其余項 4,4,1,0,4abhkkhaxnk?????? ?則取Cotes系數(shù)為 dtttttC )4)(3()2)(1(!44 1 40)4(0 ?????? ? 907?dtttttC )4)(3()2(!34 1 40)4(1 ?????? ? 9032?dtttttC )4)(3()1(!2!24 1 40)4(2 ?????? ? 9012?dtttttC )4)(2()1(!34 1 40)4(3 ?????? ? 9032?dtttttC )3)(2()1(!44 1 40)4(4 ?????? ? 907?求積公式為 )(4 fI ????40)4( )()(kkk xfCab)](907)(9032)(9012)(9032)(907)[( 43210 xfxfxfxfxfab ??????)](7)(32)(12)(32)(7[90 43210 xfxfxfxfxfab ??????上式稱為 Cotes求積公式 ，也稱 五點公式 記為 )(4 fIC ?Cotes公式的余項為 )()( 4IRCR ? ?? ba dxxR )(4 )()4(9 4 5 )(2 )6(6 ?fabab ????Cotes公式具有 5次代數(shù)精度 常用的 NC公式： 10203015( 4 )0 1 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 122 ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 3 90 xxxxnhhf x dx f f fn S im ps onhhf x dx f f f f?????? ? ??? ? ? ???梯 形30405( 4 )0 1 2 30 1 2 3 47( 6 )3 ( 3 8 ) 33 ( ) ( 3 3 ) ( )8 804 ( ) 2 ( ) ( 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )458 (945xxxxn S imps onhhf x dx f f f f fn C ot e shf x dx f x f x f x f x f xhf????? ? ? ? ??? ? ? ? ????) () , , ( ) ( 0, 1 , , ) i i ibah x a ih f f x i nn?? ? ? ? ?其 中 ： 常用的 NC公式 觀察這些公式的代數(shù)精度階數(shù)，自然會得出結(jié)論： 1. 梯形規(guī)則簡單，有 1階代數(shù)精度； 2. 再增加一個節(jié)點，就是具有 3階代數(shù)精度的Simpson公式； 3. 而 Simpson38公式又增加一個節(jié)點，精度卻沒有提高。 判斷求積公式“好”與“差”的標準 ———— 代數(shù)精度 因此定義代數(shù)精度的概念 : 定義 1. 若求積公式 ?? ba dxxffI )()( )()(0fIxfA nnkkk ?? ??即都準確成立次的代數(shù)多項式對任意次數(shù)不超過 ,))(( mixPm i ?即只要立次多項式卻不能準確成但對 ,1?m?ba i dxxP )( ???nkkik xPA0)( mi ,1,0 ??? ?ba m dxx 1 ????nkmkk xA01則稱該求積公式具有 m次的代數(shù)精度 . 代數(shù)精度也稱 代數(shù)精確度 可以證明，求積公式 ()ba f x d x?0()nkkkA f x?? ?具 有 次 代 數(shù) 精 度 的 充 要 條 件 是 它 對m,