【正文】 數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。 ? 所以 樣本觀測(cè)值的 觀測(cè)誤差 隨著解釋變量觀測(cè)值的不同而不同，往往引起異方差性。 76 例 ， 以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型： Yi=Ai?1 Ki?2 Li?3e?i 被解釋變量：產(chǎn)出量 Y 解釋變量：資本 K、 勞動(dòng) L、 技術(shù) A， 那么： 每個(gè)企業(yè)所處的 外部環(huán)境 對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中 。 77 每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同 ， 造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性 。 這時(shí) ， 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化 ， 呈現(xiàn)復(fù)雜型 。 78 四、異方差性的后果 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用 OLS估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果： 1. 參數(shù)估計(jì)量非有效 OLS估計(jì)量 仍然具有 無(wú)偏性 ，但 不具有 有效性 因?yàn)樵谟行宰C明中利用了 E(??’)=?2I 而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計(jì)量 具有 一致性 ，但仍然 不具有 漸近有效性 。 79 2. 變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義 變量的顯著性檢驗(yàn)中， 構(gòu)造了 t統(tǒng)計(jì)量 其他檢驗(yàn)也是如此。 80 3. 模型的預(yù)測(cè)失效 一方面 ， 由于上述后果 ， 使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)； 所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù) OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對(duì) Y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)功能失效。 81 五、異方差性的檢驗(yàn) ? 檢驗(yàn)思路： 由于 異方差性 就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么： 檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。 82 ? 問(wèn)題在于用什么來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差 一般的處理方法： 首先采用 O L S 法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的估計(jì)量 （注意，該估計(jì)量是不嚴(yán)格的），我們稱之為 “ 近似估計(jì)量 ”，用~ei 表示。于是有V a r E ei i i( ) ( ) ~? ?? ?2 2~ ( ? )e y yi i i ls? ? 083 幾種異方差的檢驗(yàn)方法： 1. 圖示法 （ 1）用 XY的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷 看是否存在明顯的 散點(diǎn)擴(kuò)大 、 縮小 或 復(fù)雜型趨勢(shì) （即不在一個(gè)固定的帶型域中） 84 (2) X ~e i 2 的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷看是否形成一斜率為零的直線 ~ei2 ~ei2 X X 同方差 遞增異方差~ei2 ~ei2 X X 遞減異方差 復(fù)雜型異方差85 2. 帕克 (Park)檢驗(yàn)與戈里瑟 (Gleiser)檢驗(yàn) 基本思想 : 償試建立方程： ijii Xfe ??? )(~ 2 或 ijii Xfe ??? )(|~| 選擇關(guān)于變量 X的不同的函數(shù)形式，對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說(shuō)明原模型存在異方差性。 如： 帕克檢驗(yàn)常用的函數(shù)形式： 86 ieXXf jiji ??? 2)( ?或 ijii Xe ??? ??? lnln)~l n ( 22若 ?在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明存在異方差性 。 3. 戈德菲爾德 匡特 (GoldfeldQuandt)檢驗(yàn) GQ檢驗(yàn)以 F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。 87 GQ檢驗(yàn)的思想 ： 先將樣本一分為二，對(duì)子樣 ① 和子樣 ② 分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。 由于該統(tǒng)計(jì)量服從 F分布，因此假如存在遞增的異方差，則 F遠(yuǎn)大于 1；反之就會(huì)等于 1（同方差）、或小于 1（遞減方差）。 88 GQ檢驗(yàn)的步驟： ① 將 n對(duì)樣本觀察值 (Xi,Yi)按觀察值 Xi的大小排隊(duì)； ② 將序列中間的 c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本 ， 每個(gè)子樣樣本容量均為 (nc)/2； ③ 對(duì)每個(gè)子樣分別進(jìn)行 OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和； 89 ④ 在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足 F分布的統(tǒng)計(jì)量 )12,12(~)12(~)12(~2122???????????????kkFkekeFii90 ⑤ 給定顯著性水平 ?，確定臨界值 F?(v1,v2)， 若 F F?(v1,v2)， 則拒絕同方差性假設(shè)，表明 存在異方差 。 當(dāng)然，還可根據(jù)兩個(gè)殘差平方和對(duì)應(yīng)的子樣的順序判斷是 遞增型異方差 還是 遞減異型方差 。 91 4. 懷特（ White）檢驗(yàn) 懷特檢驗(yàn)不需要排序，且適合任何形式的異方差。 懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟 （以二元為例）： iiii XXY ???? ???? 22110然后做如下輔助回歸 92 iiiiiiii XXXXXXe ??????? ??????? 215224213221102~ 可以證明，在同方差假設(shè)下： (*) R2為 (*)的可決系數(shù)， h為 (*)式解釋變量的個(gè)數(shù)， 表示漸近服從某分布。 93 注意： 輔助回歸仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。 如果存在異方差性 ， 則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性 ， 這時(shí)往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的 t檢驗(yàn)值較大 。 當(dāng)然 ， 在多元回歸中 ， 由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量 ， 從而使自由度減少 ， 有時(shí)可去掉交叉項(xiàng) 。 94 六、異方差的修正 模型檢驗(yàn)出存在異方差性，可用 加權(quán)最小二乘法 （ Weighted Least Squares, WLS） 進(jìn)行估計(jì)。 ? 加權(quán)最小二乘法的基本思想： 加權(quán)最小二乘法 是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用 OLS估計(jì)其參數(shù)。 21102 )]???([? ? ?????kkiiii XXYWeW ??? ?95 ? 例如 ， 如果對(duì)一多元模型 ， 經(jīng)檢驗(yàn)知： 222 )()()( ???? jiiii XfEV a r ??? 在采用 OLS方法時(shí) : 對(duì)較小的殘差平方 ei2賦予較大的權(quán)數(shù)； 對(duì)較大的殘差平方 ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。 96 新模型中，存在 222 )()(1))(1())(1( ???? ???ijiijiijiEXfXfEXfVa r即滿足同方差性 ，可用 OLS法估計(jì)。 ?????ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1??? ijikijikXfXXf??)(1)(1?? 97 ? 一般情況下 : 對(duì)于模型 Y=X?+? 存在 ： Wμμμμ2)()(0)(?????EC o vEW ?????????????www n12? 即存在 異方差性 。 W是一對(duì)稱正定矩陣 ， 存在一可逆矩陣 D使得 W=DD’ 98 用 D1左乘 Y=X?+? 兩邊，得到一個(gè)新的模型： μDX βDYD 111 ??? ??*** μβXY ??該模型具有同方差性。因?yàn)? 1211211111 )()()(????????????????????DDDDDΩDDμμDDμμDμμ **??EEEI2??99 **1*** )(? YXXXβ ??? ?YWXXWXYDDXXDDX11111111)()(???????????????? 這就是原模型 Y=X?+?的 加權(quán)最小二乘估計(jì)量 ，是無(wú)偏、有效的估計(jì)量。 這里權(quán)矩陣為 D1，它來(lái)自于 原模型殘差項(xiàng)?的方差 協(xié)方差矩陣 ?2W 。 100 ? 如何得到 ?2W ？ 從前面的推導(dǎo)過(guò)程看，它來(lái)自于原模型殘差項(xiàng) ?的方差 — 協(xié)方差矩陣。因此仍對(duì)原模型進(jìn)行 OLS估計(jì)，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量 ěi，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計(jì)量，即 ???????????2212~~?nee?W?這時(shí)可直接以 |}~|/1,|,~|/1|,~|/1{ 211 neeedi ag ???D作為權(quán)矩陣。 101 ? 注意： 在實(shí)際操作中 人們通常采用如下的經(jīng)驗(yàn)方法： 不對(duì)原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。 如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了； 如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。 102 七、案例 —— 中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù) 例 中國(guó)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來(lái)決定。 農(nóng)村人均純收入包括： (1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入；(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營(yíng)性收入 (3)工資性收入； (4)財(cái)產(chǎn)收入； (4)轉(zhuǎn)移支付收入。 考察 從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)的收入 (X1)和 其他收入(X2)對(duì)中國(guó) 農(nóng)村居民消費(fèi)支出 (Y)增長(zhǎng)的影響 : ???? ???? 22110 lnlnln XXY103 表 4 . 1 . 1 中國(guó) 2020 年各地區(qū)農(nóng)村居民家庭人 均純收入與消費(fèi)支出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：元） 地區(qū) 人均消費(fèi) 支出 Y 從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng) 的收入 1X 其他收入 2X 地區(qū) 人均消費(fèi) 支出 Y 從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng) 的收入 1X 其他收入 2X 北 京 3 5 5 2 . 1 4 4 4 6 .