【正文】 )nn!2n=1n=1165。R時(shí)級(jí)數(shù)(2)的斂散性，最后寫出收斂區(qū)間。時(shí)，R=1/l，當(dāng)l=+165。在收斂區(qū)間上，對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)，級(jí)數(shù)都收斂于一個(gè)確定的和s，對(duì)于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函數(shù)，稱為和函數(shù)，記為s(x)。anxn第七章11=R時(shí)，（2）發(fā)散lllx=1即x==R，x=177。anuaxn+1=l則limn+1=limn+1=lxn174。unn174。隨著x取不同的值，冪級(jí)數(shù)就成為一族數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。稱為x的冪級(jí)數(shù)3）由于做變換X=xx0（1）式可以轉(zhuǎn)化為（2）式的形式，所以今后我們主要研究的是形如（2）時(shí)的級(jí)數(shù)4）分析冪級(jí)數(shù)收斂與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系對(duì)于冪級(jí)數(shù)來說，我們?nèi)匀魂P(guān)注的是它的斂散性問題。 冪級(jí)數(shù)第七章主要教學(xué)內(nèi)容(1)冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念；(2)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)；(3)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的及要求: 掌握冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念，會(huì)求收斂半徑及收斂區(qū)間重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn):求收斂半徑和收斂區(qū)間 難點(diǎn):收斂區(qū)間的求解解決措施: : ：2課時(shí)一、冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念1）、定義：形如a+a(xx)+a(xx0)+...+a(xx0)+...（1）2n0102n的級(jí)數(shù)稱為(xx0)的冪級(jí)數(shù)，其中a0，a1，L叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù) 我們規(guī)定當(dāng)x=x0時(shí)，（1）總收斂于a0(1)式可簡(jiǎn)記為229。ln(n+1)nn=0nn=0ln(n+1)165。165。165。165。n5故原級(jí)數(shù)發(fā)散 [4] 11 |=229。5nn174。limn+1=lim=lim5231。5nn55n+1且n174。nnn=e11所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。n174。n!n174。n!nn(n+1)!(n+1)n+1u230。因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。(1)n1229。165。unulimn+1=l則當(dāng)l1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)l1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)l=1 時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性不能確定。（為什么要引進(jìn)絕對(duì)值，出現(xiàn)絕對(duì)收斂，條件收斂的問題呢？）為此我們有定理、如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)229。11++1n而un=n+1n=1n+1+n179。n+1n=lim)1n+1+nn174。1[3] Qlimun=limn174。1nn174。n解：[1]n174。(1)n1165。(1)n1n=1165。則級(jí)數(shù)收斂，且和s163。n=1165。=lim2=01∴級(jí)數(shù)收斂 2n+1n174。(n+1)un+1n52n[3] Qlimun+1n174。unn174。n174?！?〕P285例4例5 11u解：[1]Qlimn+1=limn!=lim=0∴級(jí)數(shù)收斂1n174。un則（1）當(dāng)l1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)l1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散（3）當(dāng)l=1時(shí)，此方法失效 例判別下列級(jí)數(shù)的斂散性165。vn2）達(dá)朗貝爾比值判別法：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)229。vn=v1+v2+..n=1165。n=1n165。2是p=2的p級(jí)數(shù)，收斂 (n+1)(n+4)nn=1n故原級(jí)數(shù)收斂Qy162。n=112n是q=1/2的等比級(jí)數(shù)，收斂故原級(jí)數(shù)收斂。n=1ln(n+1)165。[2] n=0n!165。2+...+vn+...（2）滿足關(guān)系式un163。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法 1）比較判別法：2）如果兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)229。0（n=1,2,..），則此級(jí)數(shù)稱為n=1165。四、作業(yè)：P309 1第七章167。165。165。n=16n=15248。+247。3）由于229。n=1第七章165。np發(fā)散n174。1n=12n1是等比級(jí)數(shù)且公比q=1/2,則是收斂的由性質(zhì)3知，原級(jí)數(shù)是收斂的。232。+247。230。165。165。165。cun也收斂，n=1165。165。229。229。un=S1,229。165。165。232。n174。230。35248。247。1247。230。2248。231。165。1的斂散性。1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散這些結(jié)論要記住。1pn=1n237。這章中，除了等比級(jí)數(shù)之外，還有調(diào)和級(jí)數(shù)229。 231。2246。230。5n=1232。比如229。165。237。當(dāng)q=1時(shí)，sn=a+aq+aq2+aq3+...aqn1=a+a+a+a+...+a=na則limsn=165。當(dāng)|q|1時(shí)，limsn=165。247。并規(guī)定q=0時(shí)，級(jí)數(shù)等于a.)的斂散性。n=1165。若極限存在且極限值為s，則級(jí)數(shù)229。un的前n項(xiàng)和Sn=u1+u2+L+un=229。亦即無窮級(jí)數(shù)的和為s，記為s=229。2．說明我們把一個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和sn稱為第n次部分和，所有部分和構(gòu)成數(shù)列{sn}：s1,s2,s3,Lsn,L，若數(shù)列{sn}極限存在，即limsn=s，則稱無窮級(jí)數(shù)229。un是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。165。165。第七章其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)。什么是無窮級(jí)數(shù)呢？二、新課設(shè)計(jì)1．定義：設(shè)給定數(shù)列{un}： u1，u2，L，un，L 式子u1+u2+L+un+L（1）叫做無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)（1）式簡(jiǎn)記為229。(100+1)=50502234n2+2+2+2+...+2=1180。第一篇：微積分電子教案第七章第七章無窮級(jí)數(shù)167。(12)12n=21n以及特殊的無窮遞縮等比數(shù)列的和 例如11111++++...==2124812但當(dāng)一般的 1+2+3+4+5+6+…2+4+8+16+…就不會(huì)了。un即：229。229。165。12=1+122+132165。n=1若一般項(xiàng)un是（與n有關(guān)的）函數(shù)，則229。un收斂，且收斂于s，n174。un；否則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散，此時(shí)無窮級(jí)數(shù)的和不存在。ukn=1k=1165。un收斂，s為級(jí)數(shù)的和；n=1165。3．舉例例1 討論幾何級(jí)數(shù)（等比級(jí)數(shù)）n=1229。解：當(dāng)|q|≠1時(shí)，由于第七章nn230。qaq23n1a232。級(jí)數(shù)發(fā)散。n174。n為偶數(shù) 238。綜上所述，當(dāng)|q|當(dāng)|q|≥1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。231。3248。6246。n165。 247。p –級(jí)數(shù)229。236。例判定級(jí)數(shù)229。()nn+1n=1165。4．練習(xí)：(1)判定級(jí)數(shù)1246。247。n〔由于211(n=1,2,...)所以 =(2n1)(2n+1)2n12n+1第七章sn=22221246。11246。+231。=1(2n1)(2n+1)232。232。故limsn=lim231。165。2n+1248。165。5．級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)如果級(jí)數(shù)229。vn=S2，則229。(un177。vn=S1177。性質(zhì)如果級(jí)數(shù)229。229。性質(zhì)如果一個(gè)級(jí)數(shù)收斂，加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)也收斂，且與原級(jí)數(shù)有相同的和。165。n=122）229。(1)n1246。4）229。5248。165。165。165。n與229。是收斂的231。165。n174。n+1+121+32+43+...+()()()即原級(jí)數(shù)發(fā)散。 正項(xiàng)級(jí)數(shù)主要教學(xué)內(nèi)容(1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念。正項(xiàng)級(jí)數(shù)。un=u1+u2+...+un+...（1）n=1165。kvn（n=1,2…k0的常數(shù)）則，當(dāng)級(jí)數(shù)（2）收斂時(shí)，級(jí)數(shù)（1）也收斂當(dāng)級(jí)數(shù)（1）發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)（2）也發(fā)散（俗話稱大收小收，小發(fā)大發(fā)）證明見P28利用此判別法可證明調(diào)和級(jí)數(shù)、P－級(jí)數(shù)的斂散性。1[3] 229。第七章解：[1]Q11111=163。165。=[3]令y=ln(x+1)x 1x1= x+1x+1當(dāng)x1時(shí)，y162。11ln(n+1)n對(duì)于比較判別法，我們還有個(gè)極限形式： 對(duì)于兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)229。若limun=k不等于0，則它們有相同的斂散性。un=u1+u2+...+un+...滿足條件limun+1=l165。5n2221232n11++++...++...[1] 229。165。165。165。165。165。(1)n1u=uu+uun1234+...+u2k1u2k+...．萊布尼茲定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)（1）滿足條件[1]un179。u1，余項(xiàng)Rn的絕對(duì)值Rn163。1n [2] 229。(n+1n)111Qlimun=lim=0且un=179。165。165。165。165。1n+1+n+2=n+1n+2=n+2n+1=un+1(n+1)(n+2)故原級(jí)數(shù)收斂 注意：利用萊布尼茲收斂法不能解決所有交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法問題，萊布尼茲判別法只是充分條件，如果條件不滿足，不能說級(jí)數(shù)發(fā)散，只能說不能判定其斂散性。un=u1+u2+...+un+...滿足條件n=1165。證明見P289 例判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（如果收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂）第七章npsin165。n!5n5n1n1[1] 229。(1)nn=1npn=1nn=1n5n=11[5]ln(n+1)P289例〔6〕P290例4 例5 npsin解：[1]un=np5163。[2] 229。1246。165。165。[3] Q229。165。247。165。229。unn174。ln(n+2)n174。1111但發(fā)散 179?？?29。an(xx0)nn=1165。即變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取哪些值時(shí)，級(jí)數(shù)（2）是收斂的當(dāng)x=0時(shí)，任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)都收斂于a0。為此，我們可以用前面介紹的判別定理來探討冪級(jí)數(shù)的斂散性。165。165。R時(shí)，（2）可能收斂可能發(fā)散l(2)絕對(duì)收斂，lx1即x當(dāng)l185。求收斂半徑、收斂區(qū)間的步驟1）定理7 如果級(jí)數(shù)（2）的系數(shù)滿足條件liman+1n174。時(shí)，R=0；當(dāng)l=0時(shí)，R=+165。例求下列級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間165。nx+x22+x33+x44+...=229。1a解：[1]l=limn+1=lim2=lim231。165。165。當(dāng)x=2時(shí)，冪級(jí)數(shù)成為229。165。165。165。n，發(fā)散。故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[1,1) 例[1]求級(jí)數(shù) 229。(x+1)n4n的收斂區(qū)間2(n+1)!解；[1]分析：n174。(2n)!2nx2=4x21時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 21當(dāng)4x21時(shí)，x2即x時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)4x21即x故級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1/2 165。n174。14n165。n=1n=1165。bnxn=229。性質(zhì)如果冪級(jí)數(shù)f(x)=續(xù)函數(shù)。=n0165。ant)dt=229。x0atnndt=229。=n0165。246。anx247。n=0(an)/n1n=nx229。165。（見書P296）n=1n=12n1230。231。165。n=1nn則s162。x165。n22229。3248。(t)dt=f(x)f(0)，所以 f(x)=f(0)+242。anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...（1）n=1165。(0)=a1，f162。(0)2f(n)(0)nx+L+x+L 于是（1）式為 f(x)=f(0)+f162。n=0n!關(guān)于馬克勞林級(jí)數(shù)是否收斂于f(x)的問題，看書P320。因此我們通常用馬克勞林級(jí)數(shù)來將一個(gè)初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。所以 f(x)=ex的馬克勞林級(jí)數(shù)為229。)。,+165。162。(0)=(ln2)，L，f(n)(0)=(ln2)n則有229。n=0nn!xn(ln2)n+1a顯然limn+1=limn174。=limln2=0其收斂半徑R=+165。)即收斂區(qū)間為(165。165。n=0165。(ln2)nxxn 即2=229。(x)=2，f162。(2)=2，f162。162。)(n1)!n165。165。某位投資顧問預(yù)測(cè)，若公司每月降低1元的光纖收費(fèi)，則可以增加5000個(gè)新用戶。(x)=2000010000x令P(x)=0，得駐點(diǎn)x=2。(x)=360002000x令P(x)=0，得駐點(diǎn)x=18。平均每天的存貯噸數(shù)180。200180。每隔T天訂貨Q噸，允許缺貨，每天每噸貨物的缺貨損失費(fèi)為C3．缺貨時(shí)貯存量q(t)視作負(fù)值，則q(t)的圖形如圖10－2．貨物在t=T1時(shí)售完，但每天需求量仍為r，在[T1,T]這段時(shí)間內(nèi)缺貨，可視存貯量q(t)為負(fù)值，于是在t=T時(shí)下一次訂貨量Q一次到達(dá)，且Q=rT1．圖10－2 一個(gè)訂貨周期內(nèi)總費(fèi)用C：訂貨費(fèi)C1，貯存費(fèi)C2__242。Q(10T1t1)dt=C2QT1． T12tdt(T1T)T1 缺貨損失費(fèi)＝C3 ＝C3＝242。C182。C182。165。C2(C2+C3)C2允許缺貨的情形又回到了不允許缺貨的情形，顯然這是符合實(shí)際的．例2 有一酒類批發(fā)商，以每天150瓶的速度供應(yīng)零售商，根據(jù)合同如缺貨。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。180。==1200(瓶)，C2(C2+C3)180。已知魚塘中現(xiàn)有魚10000公斤，問10+x2000(x0).10+x假設(shè)塘中現(xiàn)有魚量為A公斤，需要捕撈的魚量為T公斤。=2t130，23所以，t=8是生產(chǎn)利潤(rùn)的最大值點(diǎn)．這樣，生產(chǎn)利潤(rùn)的最大值為242。x0例1 計(jì)算極限limxarcsinxx174。0,當(dāng)nma0xm+a1xm1+L+am1x+am239。165。165。+165。f(x)174。0x174。xf(x)實(shí)質(zhì)：外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒例4 計(jì)算極限：⑴ lim(1+2x)⑵ lim(1sinx)x174。165。0 ①羅必達(dá)法則例5 計(jì)算極限：x174。0x174。0x174。(x)=limf(x0+Dx)f(x0)=limf(x)f(x0)Dx174。0x174。x0+Dxxx0 實(shí)質(zhì)：差商的極限。(x)；例3設(shè)f(x)=1sinx+arctanxcscx，求f162。確定的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為dy=y162。x=ln(1+t)例7 設(shè)237。； 例9 設(shè)y=ex+xn，求y(n)； 四 微分重點(diǎn)