【正文】 提出問題 4 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時的鋪法不變，請問第任意個圖案中黒磚塊數(shù)是多少？與圖案序號之間的關(guān)系是什么？理由是什么？學生 1 的解答：第任意個圖案中黒磚塊數(shù)是任意個，與圖案序號之間是相等關(guān)系，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號相等”的規(guī)律不變，即：圖案序號 1 2 3 4 5 6 … 第任意個圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 … 任意個學生 2 的解釋：學生 1 列的表格中的“第任意個圖案”、“任意個”我覺得可以不用文字，但是也不能用具體的數(shù)來說明“第任意個圖案”中黒磚塊數(shù)的任意性，怎么表示呢？學生 3 解釋：用字母表示“任意個”，因為“任意個”可以是 212100 等等，但是一個具體的數(shù)不能表示任意性、一般性，我認為用一個字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一個整數(shù)。學生 3 把表格改寫為：圖案序號 1 2 3 4 5 6 … 第 n 個圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 … n至此，學生初步體會到表示任意性、一般性的問題時需要一個新的表示數(shù)的方法，體會到這類問題不用字母表示不行了，為學生創(chuàng)設(shè)了一個“字母表示數(shù)”的必要性的學習情節(jié)，使學生認識到“字母表示數(shù)”的重要性，從而激發(fā)了學生進一步探索有關(guān)內(nèi)容的欲望，學生自己認為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經(jīng)歷、主動、積極地投入到所要做的事情中來，這樣的學習才是最有效果的。類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通過同類項的定義類比地歸納出同類二次根式的定義，通過類比分數(shù)得到分式的概念，類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)等概念。作這樣的類比更有利于學生理解和區(qū)別概念，在對比之下，既掌握了概念，又可以減少概念的混淆。概念的引入方法很多，設(shè)計時不僅要考慮概念自身的特點，還要結(jié)合學生的認識水平及生活經(jīng)驗，本著有利于突顯概念本質(zhì)的原則。就拿上面提到的平方根概念的教學引入為例，我認為首先要思考為什么要學習這個概念？不學行不行？其次還要弄清這個概念對學生來講產(chǎn)生理解它的困難的原因：以前學生大多接觸的是答案唯一的情況，而正數(shù)的平方根都是兩個，互為相反數(shù)，答案不唯一了，這與學生已有的思維習慣產(chǎn)生了沖突，所以學生非常不習慣，而前面所提到的這位教師所借助的利用已知正方形面積求邊長的問題設(shè)計，并沒有突破這個難點，相反，容易造成平方根與算術(shù)平方根的混亂，實際上，在他所設(shè)置的背景下，應(yīng)該先介紹算術(shù)平方根更好，因為實際生活中，涉及到開方問題的結(jié)果，絕大部分都是非負數(shù)，并不能形象地揭示平方根的兩個結(jié)果，所以，人教版教材就先安排的是算術(shù)平方根，然后，在不限定字母的取值范圍時，再引入平方根的概念，有利于突出兩個概念的區(qū)別，在對比中加深對平方根概念的理解。其實我認為，平方根的概念與其以生活實際為背景引入，不如從平方與開平方互為逆運算的角度引入更有利于突出重點、突破難點。因為學生已學過的加減互為逆運算、乘除互為逆運算，在此基礎(chǔ)上研究乘方的逆運算開方。案例 5 ：設(shè)計如下：教師首先利用競賽的形式，給出兩組練習，要求學生口答后，觀察兩組題目的區(qū)別與聯(lián)系：這種引入概念的方法，是建立在新舊知識的聯(lián)系上，充分考慮學生已有的知識經(jīng)驗，使學生在具體數(shù)值的計算中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一組題已知底數(shù)、指數(shù)，求冪，第二組已知冪、指數(shù)，求底數(shù)，在此基礎(chǔ)上學生能夠從特殊推廣到一般。當學生由具體到抽象得到時，教師可以提出：此時將已知數(shù) a 仍叫做冪、x 叫做底數(shù)合適嗎？學生回憶加減法互逆后以及乘除法互逆后各數(shù)的名稱都發(fā)生了變化，所以中各部分的名稱也應(yīng)相應(yīng)改變。教師可以不急于給出平方根的概念，而讓學生結(jié)合式子的特點給 x 命名，由于 a 是已知數(shù)，此式從形式上看是一元二次方程，而求 x 就相當于求方程中的未知數(shù)，結(jié)合已有知識，學生能夠想到諸如“二次方程的根(解)”“平方的根”等，在此基礎(chǔ)上，教師再規(guī)范成“平方根”，這樣會更有利于學生對平方根的理解，因為在參與命名時，學生就要認真分析式子以及結(jié)果的特點，對理解概念有幫助，在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)生活中的實例，使學生感受到生活中更多的是應(yīng)用平方根中那個非負的，順勢提出非負的平方根如何命名？學生結(jié)合小學學的都是算術(shù)，很容易說出算術(shù)平方根。這也保證與數(shù)學結(jié)果唯一的特性一致了。此外，在分析時，也可以引導學生總結(jié)出，式子中的三個量，知其二，可以求第三個，為后續(xù)高中學習奠定基礎(chǔ)。再比如，前面舉過的“矩形”概念的教學，另一位老師是這樣設(shè)計的： 案例 6 ：首先借助幾何畫板：師：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，那么它的邊、角、對角線有什么性質(zhì)？他有什么樣的對稱性？生（齊答）： 對邊相等、對角相等、對角線互相平分；是中心對稱圖形。師：它具有穩(wěn)定性嗎？那么，若把一個內(nèi)角 A變成一個直角，（如圖，拖動點 A，使角 A變成 90度）。這時，平行四邊形 ABCD是我們熟悉的什么圖形？生：正方形！我知道了，當平行四邊形有一個角是直角時，這個四邊形就是長方形或正方形。從而引入矩形的概念。在這個教學案例中，教師充分考慮了所教內(nèi)容的系統(tǒng)性及學生的已有知識及認知水平，概念的形成給人水到渠成的感覺。此外，函數(shù)概念的教學一直是初中教學中的難點，因其抽象性而令學生“望而卻步”。函數(shù)的特點是什么？學生感到困難的主要原因是什么？我們在進行概念教學時，都要考慮到。函數(shù)從學科角度看，研究對象由定到動，思維方式由靜止到運動，而學生的困難主要源于函數(shù)概念的高度抽象性以及函數(shù)表達形式的多樣性和思維方式的變化。教學時，就要考慮到這些問題，生活中存在大量的函數(shù)實例，在選擇時要注意所選實例不僅應(yīng)該是學生熟悉的、感興趣的，還要考慮到實例中要包含函數(shù)的三種表示形式解析法、列表法、圖像法，使學生從不同的角度，多方位地理解函數(shù)概念從變化、對應(yīng)到形成概念，繼而概念辨析，分層次使學生逐步加深對函數(shù)本質(zhì)的認識。對于三角形中位線概念的教學設(shè)計，有老師可能利用生活中的實例引入，也有的老師利用它與三角形中線的區(qū)別與聯(lián)系引入，其實還可以借助學生動手實驗引入。案例 7 ：事先讓每位學生準備一張三角形紙片和剪刀，課上讓學生思考，只剪一刀，將剪成的兩張紙片拼成一個平行四邊形。學生很樂于參與這種動手操作的活動，根據(jù)生活經(jīng)驗也不難完成活動（如圖），但當教師提出“說說你的裁剪方法”時，學生只能用生活語言，如“沿三角形的中間剪的”，說不出準確的數(shù)學語言。此時教師引導學生觀察裁剪線的端點具有什么樣的特征？有實物模型加上學生動手剪拼，可以得到 D、E 均為各邊的中點。那么，它能叫中線嗎？如果不能，我們可以給它起個什么名字？讓學生嘗試命名，根據(jù)它位置的特殊性，學生在教師的啟發(fā)下，可以得到中位線的概念。這樣的設(shè)計激發(fā)了學生的探究欲望，而且為后續(xù)探究中位線的性質(zhì)埋下了伏筆，可謂一舉多得。由上面的分析可以看出，概念的引入方式?jīng)]有統(tǒng)一的模式，總的原則是通過教師創(chuàng)設(shè)典型、豐富的具體實例（可以讓學生自己舉例），引導學生展開分析、比較、綜合等活動，在此基礎(chǔ)上，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性。為了激發(fā)學生的學習興趣，促進學生的思考，引入的形式應(yīng)該多種多樣，可以是問題導入、游戲?qū)搿⑹吩拰氲鹊?。（二）概念的剖析及辨析概念生成之后，?yīng)用概念解決問題之前，往往要進行概念剖析，即用實例（包括正例與反例）引導學生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達到明確概念、再次認識概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。案例 8 ：函數(shù)定義： 在某一變化過程中有兩個變量 x，y，對于 x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，y叫作 x的函數(shù)，其中 x叫做自變量，y叫做因變量。教師引導學生分析概念中的關(guān)鍵詞： 兩個變量； 對應(yīng)； x 的每一個值； y “每一個 ”、“唯一確定 ”是指對于 x取值范圍內(nèi)的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，不能有兩個或者兩個以上與其對應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，給出一些具體問題，讓學生嘗試利用概念進行辨析練習，進一步加強對概念的理解。如有一位學生的考試情況是這樣的：讓學生分析每次考試的分數(shù)與序號之間是否具有函數(shù)關(guān)系？ 再比如：在中，y 是不是 x 的函數(shù)？那么反過來 x 是不是 y 的函數(shù)呢？還可以給出右圖，讓學生對圖像中 y 與 x 的關(guān)系進行判斷，是否具有函數(shù)關(guān)系然后利用兩個圖像進行對比，從中體會“唯一”的含義。還可以讓學生自己舉出一些例子，大家一起判斷所舉例子是否存在函數(shù)關(guān)系。在概念剖析練習中，進一步體會概念的內(nèi)涵與外延，認識函數(shù)的本質(zhì)。此外，在剖析概念時通常要對概念的多種表示語言進行轉(zhuǎn)化，數(shù)學語言主要是文字敘述、符號表示、圖形表示，要會三者的翻譯，同時更重要的是強調(diào)符號感。三種語言的轉(zhuǎn)換在空間與圖形的教學中體現(xiàn)得較為充分。例如：在講三角形的中位線的概念時，得到定義“聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”后，往往會要求學生根據(jù)定義畫出與之相對應(yīng)的圖形，然后，要求學生嘗試用符號語言來表示定義。即：在△ ABC 中，∵ D 為 AB邊中點，E為 AC邊中點，∴ DE為 △ ABC 的中位線。（三角形中位線定義）反之，已知：∵ DE 為 △ ABC 的中位線，∴ D 為 AB邊中點，E為 AC邊中點。（三角形中位線定義）兩個角度的描述，體現(xiàn)定義的雙重性（性質(zhì)、判定），然后讓學生畫出三角形中所有的中位線，進一步體會它的位置特征。往往還會要求學生將中位線與三角形的中線進行對比，找相同點與差異，在對比中進一步熟悉三角形的中位線。再比如案例 9：全等三角形的概念：引入全等形的概念“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 ”后 ,給出一組判斷題：判斷下列三組圖形是否是全等形：第一組：兩個三角形；第二組：兩面中國國旗第三組：兩個六邊形其中第三組圖片，教師根據(jù)學生回答，利用幾何畫板動態(tài)演示其中一個圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)后是否與另一個圖形重合的過程，從而驗證學生的判斷， ：你認為兩個圖形是全等形應(yīng)具備哪幾個條件？ 教師引導學生歸納總結(jié)出：（1）形狀相同；（2）大小相等。你還能再舉出生活中具有全等形的例子嗎？學生在思考問題的過程中，進一步認識全等形的概念。其中對于概念中所涉及到的圖形，要注意采用圖形變式，加強對概念的理解。比如，圓中直徑的概念，有的教師教學中一般畫出的圖形如圖 1，忽視了其他的情況，造成有些不愛動腦筋的學生的定勢思維，認為只有滿足圖 1的情形，AB才叫直徑，對于變式圖形中的直徑識別不出來。所以在概念教學中圖形的變式訓練，有利于突出概念的本質(zhì)，只要抓住概念的本質(zhì)，就可以保證無論圖形如何改變，都能從中找到研究的對象。（三）相關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，概念教學還應(yīng)該承擔著建立與相關(guān)概念的聯(lián)系的任務(wù)，教學時，要引導學生試著對概念進行適度的聯(lián)系與發(fā)散，努力找出概念間一些體現(xiàn)共性的東西，以使學生形成功能良好的認知結(jié)構(gòu)。案例 10 ：對于三角函數(shù)的教學，我們先對函數(shù)概念的本質(zhì)特征進行逐層剖析，再通過類比，來學習銳角三角函數(shù)： ① 如圖，在銳角（不妨令∠ BAC=）的一邊上任取一點 B，作 BC ⊥ AC，垂足為點 C，當確定時，三個相應(yīng)的比值、隨之確定，與點 B 的位置無關(guān)；而當銳角變化時，三個相應(yīng)的比值隨之變化——”說明變量的存在性——“存在某個變化過程”； ②“在某個變化過程中有兩個變量（不妨令 ③“對于，以此為例）——說明三角函數(shù)同樣是研究兩個變量之間的依存關(guān)系； 在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值”——說明變量的取值是有范圍限制的，即在銳角范疇內(nèi)研究它們；④“ 有唯一確定的值和它對應(yīng)”——說明有唯一確定的對應(yīng)規(guī)律，由以上類比剖析可知，銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)同樣是一種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系不能像一次函數(shù)那樣用解析式表示，只能用特定的符號來表示，這也是它與以前所學代數(shù)函數(shù)的區(qū)別所在。另外，教學中還要使學生明白：①銳角三角函數(shù)概念的建立，是對函數(shù)概念的一種升華，即從對應(yīng)的角度來認識函數(shù)。②對應(yīng)的角度的認識：可以 是一對一，也可以是多對一（如二次函數(shù)），但不能是一對多的，掌握了這一點，我們可以據(jù)此進行一些訓練，概念通過這樣的聯(lián)系與發(fā)散，同學們一定會對三角函數(shù)有進一步的認識。再比如，對于二次函數(shù)的教學，可以類比一次函數(shù)進行定義，此外還要引導學生分析它與二次方程、二次不等式以及二次代數(shù)式四者之間的關(guān)系。使學生對它們有全面的認識，知識點串成線，最后結(jié)成網(wǎng)，必然有利于知識的理解與應(yīng)用。再有，對于梯形的教學，教師首先要認識到，它是一個組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒什么性質(zhì)，而是通過圖形分解，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來解決問題的。其次教師要將這一點傳遞給學生，學生如果明確了，那么也就能自覺地添加輔助線解決問題了。如果進一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對于如何添加輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別困難了。（四）概念的應(yīng)用舉例與訓練鞏固概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運用是一個由一般到個別的過程，它們是學生掌握概念的兩個階段。通過運用概念解決實際問題，可以加深、豐富和鞏固學生對數(shù)學概念的掌握，并且在概念的運用過程中培養(yǎng)學生的實踐能力。因此在數(shù)學教學中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應(yīng)用。根據(jù)不同概念的特點，采用恰當?shù)慕虒W手段，激勵學生實現(xiàn)對概念的理解，才能使學生學得好、學得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學生形成用概念做判斷的具體步驟。例如：在全等三角形的教學中，對于定義不難理解，但是在應(yīng)用定義的性質(zhì)解決問題時，學生往往由于找不準對應(yīng)邊與對應(yīng)角而出現(xiàn)問題，為了突破這個難點，可以安排如下例題：（1）指出對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊和對應(yīng)角；（2）在此圖形中，你還能得到哪些結(jié)論？闡述你的理由。預案 ： AB∥ FD，AC∥ FE，BD=CE等等。（3）教師拖動三角形的一個頂點，學生觀察圖形的變化情況，引導學生得出結(jié)論：兩個三角形形狀雖然改變了，但它們?nèi)鹊年P(guān)系仍舊保持不變。得出結(jié)論后，教師繼續(xù)引導學生觀察對應(yīng)邊、對應(yīng)角的變化，并得出結(jié)論：雖然長度和角度發(fā)生了變化，但對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等這一結(jié)論卻始終保持不變。這一環(huán)節(jié)通過改變?nèi)切?