【正文】 提出問(wèn)題 4 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時(shí)的鋪法不變，請(qǐng)問(wèn)第任意個(gè)圖案中黒磚塊數(shù)是多少？與圖案序號(hào)之間的關(guān)系是什么？理由是什么？學(xué)生 1 的解答：第任意個(gè)圖案中黒磚塊數(shù)是任意個(gè)，與圖案序號(hào)之間是相等關(guān)系，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號(hào)相等”的規(guī)律不變，即：圖案序號(hào) 1 2 3 4 5 6 … 第任意個(gè)圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 … 任意個(gè)學(xué)生 2 的解釋：學(xué)生 1 列的表格中的“第任意個(gè)圖案”、“任意個(gè)”我覺得可以不用文字，但是也不能用具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明“第任意個(gè)圖案”中黒磚塊數(shù)的任意性，怎么表示呢？學(xué)生 3 解釋：用字母表示“任意個(gè)”，因?yàn)椤叭我鈧€(gè)”可以是 212100 等等，但是一個(gè)具體的數(shù)不能表示任意性、一般性，我認(rèn)為用一個(gè)字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一個(gè)整數(shù)。學(xué)生 3 把表格改寫為：圖案序號(hào) 1 2 3 4 5 6 … 第 n 個(gè)圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 … n至此，學(xué)生初步體會(huì)到表示任意性、一般性的問(wèn)題時(shí)需要一個(gè)新的表示數(shù)的方法，體會(huì)到這類問(wèn)題不用字母表示不行了，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“字母表示數(shù)”的必要性的學(xué)習(xí)情節(jié)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“字母表示數(shù)”的重要性，從而激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索有關(guān)內(nèi)容的欲望，學(xué)生自己認(rèn)為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經(jīng)歷、主動(dòng)、積極地投入到所要做的事情中來(lái)，這樣的學(xué)習(xí)才是最有效果的。類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通過(guò)同類項(xiàng)的定義類比地歸納出同類二次根式的定義，通過(guò)類比分?jǐn)?shù)得到分式的概念，類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)等概念。作這樣的類比更有利于學(xué)生理解和區(qū)別概念，在對(duì)比之下，既掌握了概念，又可以減少概念的混淆。概念的引入方法很多，設(shè)計(jì)時(shí)不僅要考慮概念自身的特點(diǎn)，還要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平及生活經(jīng)驗(yàn)，本著有利于突顯概念本質(zhì)的原則。就拿上面提到的平方根概念的教學(xué)引入為例，我認(rèn)為首先要思考為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念？不學(xué)行不行？其次還要弄清這個(gè)概念對(duì)學(xué)生來(lái)講產(chǎn)生理解它的困難的原因：以前學(xué)生大多接觸的是答案唯一的情況，而正數(shù)的平方根都是兩個(gè)，互為相反數(shù)，答案不唯一了，這與學(xué)生已有的思維習(xí)慣產(chǎn)生了沖突，所以學(xué)生非常不習(xí)慣，而前面所提到的這位教師所借助的利用已知正方形面積求邊長(zhǎng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)，并沒(méi)有突破這個(gè)難點(diǎn)，相反，容易造成平方根與算術(shù)平方根的混亂，實(shí)際上，在他所設(shè)置的背景下，應(yīng)該先介紹算術(shù)平方根更好，因?yàn)閷?shí)際生活中，涉及到開方問(wèn)題的結(jié)果，絕大部分都是非負(fù)數(shù)，并不能形象地揭示平方根的兩個(gè)結(jié)果，所以，人教版教材就先安排的是算術(shù)平方根，然后，在不限定字母的取值范圍時(shí)，再引入平方根的概念，有利于突出兩個(gè)概念的區(qū)別，在對(duì)比中加深對(duì)平方根概念的理解。其實(shí)我認(rèn)為，平方根的概念與其以生活實(shí)際為背景引入，不如從平方與開平方互為逆運(yùn)算的角度引入更有利于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。因?yàn)閷W(xué)生已學(xué)過(guò)的加減互為逆運(yùn)算、乘除互為逆運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上研究乘方的逆運(yùn)算開方。案例 5 ：設(shè)計(jì)如下：教師首先利用競(jìng)賽的形式，給出兩組練習(xí)，要求學(xué)生口答后，觀察兩組題目的區(qū)別與聯(lián)系：這種引入概念的方法，是建立在新舊知識(shí)的聯(lián)系上，充分考慮學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在具體數(shù)值的計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一組題已知底數(shù)、指數(shù)，求冪，第二組已知冪、指數(shù)，求底數(shù)，在此基礎(chǔ)上學(xué)生能夠從特殊推廣到一般。當(dāng)學(xué)生由具體到抽象得到時(shí)，教師可以提出：此時(shí)將已知數(shù) a 仍叫做冪、x 叫做底數(shù)合適嗎？學(xué)生回憶加減法互逆后以及乘除法互逆后各數(shù)的名稱都發(fā)生了變化，所以中各部分的名稱也應(yīng)相應(yīng)改變。教師可以不急于給出平方根的概念，而讓學(xué)生結(jié)合式子的特點(diǎn)給 x 命名，由于 a 是已知數(shù)，此式從形式上看是一元二次方程，而求 x 就相當(dāng)于求方程中的未知數(shù)，結(jié)合已有知識(shí)，學(xué)生能夠想到諸如“二次方程的根(解)”“平方的根”等，在此基礎(chǔ)上，教師再規(guī)范成“平方根”，這樣會(huì)更有利于學(xué)生對(duì)平方根的理解，因?yàn)樵趨⑴c命名時(shí)，學(xué)生就要認(rèn)真分析式子以及結(jié)果的特點(diǎn)，對(duì)理解概念有幫助，在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)生活中的實(shí)例，使學(xué)生感受到生活中更多的是應(yīng)用平方根中那個(gè)非負(fù)的，順勢(shì)提出非負(fù)的平方根如何命名？學(xué)生結(jié)合小學(xué)學(xué)的都是算術(shù)，很容易說(shuō)出算術(shù)平方根。這也保證與數(shù)學(xué)結(jié)果唯一的特性一致了。此外，在分析時(shí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，式子中的三個(gè)量，知其二，可以求第三個(gè)，為后續(xù)高中學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。再比如，前面舉過(guò)的“矩形”概念的教學(xué)，另一位老師是這樣設(shè)計(jì)的： 案例 6 ：首先借助幾何畫板：師：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，那么它的邊、角、對(duì)角線有什么性質(zhì)？他有什么樣的對(duì)稱性？生（齊答）： 對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分；是中心對(duì)稱圖形。師：它具有穩(wěn)定性嗎？那么，若把一個(gè)內(nèi)角 A變成一個(gè)直角，（如圖，拖動(dòng)點(diǎn) A，使角 A變成 90度）。這時(shí)，平行四邊形 ABCD是我們熟悉的什么圖形？生：正方形！我知道了，當(dāng)平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是長(zhǎng)方形或正方形。從而引入矩形的概念。在這個(gè)教學(xué)案例中，教師充分考慮了所教內(nèi)容的系統(tǒng)性及學(xué)生的已有知識(shí)及認(rèn)知水平，概念的形成給人水到渠成的感覺。此外，函數(shù)概念的教學(xué)一直是初中教學(xué)中的難點(diǎn)，因其抽象性而令學(xué)生“望而卻步”。函數(shù)的特點(diǎn)是什么？學(xué)生感到困難的主要原因是什么？我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，都要考慮到。函數(shù)從學(xué)科角度看，研究對(duì)象由定到動(dòng)，思維方式由靜止到運(yùn)動(dòng)，而學(xué)生的困難主要源于函數(shù)概念的高度抽象性以及函數(shù)表達(dá)形式的多樣性和思維方式的變化。教學(xué)時(shí)，就要考慮到這些問(wèn)題，生活中存在大量的函數(shù)實(shí)例，在選擇時(shí)要注意所選實(shí)例不僅應(yīng)該是學(xué)生熟悉的、感興趣的，還要考慮到實(shí)例中要包含函數(shù)的三種表示形式解析法、列表法、圖像法，使學(xué)生從不同的角度，多方位地理解函數(shù)概念從變化、對(duì)應(yīng)到形成概念，繼而概念辨析，分層次使學(xué)生逐步加深對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。對(duì)于三角形中位線概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，有老師可能利用生活中的實(shí)例引入，也有的老師利用它與三角形中線的區(qū)別與聯(lián)系引入，其實(shí)還可以借助學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)引入。案例 7 ：事先讓每位學(xué)生準(zhǔn)備一張三角形紙片和剪刀，課上讓學(xué)生思考，只剪一刀，將剪成的兩張紙片拼成一個(gè)平行四邊形。學(xué)生很樂(lè)于參與這種動(dòng)手操作的活動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)也不難完成活動(dòng)（如圖），但當(dāng)教師提出“說(shuō)說(shuō)你的裁剪方法”時(shí)，學(xué)生只能用生活語(yǔ)言，如“沿三角形的中間剪的”，說(shuō)不出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察裁剪線的端點(diǎn)具有什么樣的特征？有實(shí)物模型加上學(xué)生動(dòng)手剪拼，可以得到 D、E 均為各邊的中點(diǎn)。那么，它能叫中線嗎？如果不能，我們可以給它起個(gè)什么名字？讓學(xué)生嘗試命名，根據(jù)它位置的特殊性，學(xué)生在教師的啟發(fā)下，可以得到中位線的概念。這樣的設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，而且為后續(xù)探究中位線的性質(zhì)埋下了伏筆，可謂一舉多得。由上面的分析可以看出，概念的引入方式?jīng)]有統(tǒng)一的模式，總的原則是通過(guò)教師創(chuàng)設(shè)典型、豐富的具體實(shí)例（可以讓學(xué)生自己舉例），引導(dǎo)學(xué)生展開分析、比較、綜合等活動(dòng)，在此基礎(chǔ)上，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生的思考，引入的形式應(yīng)該多種多樣，可以是問(wèn)題導(dǎo)入、游戲?qū)?、史話?dǎo)入等等。（二）概念的剖析及辨析概念生成之后，應(yīng)用概念解決問(wèn)題之前，往往要進(jìn)行概念剖析，即用實(shí)例（包括正例與反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對(duì)概念特性的考察，可以達(dá)到明確概念、再次認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會(huì)概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問(wèn)題的方法，這是最基本、最重要的方法。案例 8 ：函數(shù)定義： 在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x，y，對(duì)于 x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，y叫作 x的函數(shù)，其中 x叫做自變量，y叫做因變量。教師引導(dǎo)學(xué)生分析概念中的關(guān)鍵詞： 兩個(gè)變量； 對(duì)應(yīng)； x 的每一個(gè)值； y “每一個(gè) ”、“唯一確定 ”是指對(duì)于 x取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，不能有兩個(gè)或者兩個(gè)以上與其對(duì)應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，給出一些具體問(wèn)題，讓學(xué)生嘗試?yán)酶拍钸M(jìn)行辨析練習(xí)，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)概念的理解。如有一位學(xué)生的考試情況是這樣的：讓學(xué)生分析每次考試的分?jǐn)?shù)與序號(hào)之間是否具有函數(shù)關(guān)系？ 再比如：在中，y 是不是 x 的函數(shù)？那么反過(guò)來(lái) x 是不是 y 的函數(shù)呢？還可以給出右圖，讓學(xué)生對(duì)圖像中 y 與 x 的關(guān)系進(jìn)行判斷，是否具有函數(shù)關(guān)系然后利用兩個(gè)圖像進(jìn)行對(duì)比，從中體會(huì)“唯一”的含義。還可以讓學(xué)生自己舉出一些例子，大家一起判斷所舉例子是否存在函數(shù)關(guān)系。在概念剖析練習(xí)中，進(jìn)一步體會(huì)概念的內(nèi)涵與外延，認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)。此外，在剖析概念時(shí)通常要對(duì)概念的多種表示語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要是文字?jǐn)⑹觥⒎?hào)表示、圖形表示，要會(huì)三者的翻譯，同時(shí)更重要的是強(qiáng)調(diào)符號(hào)感。三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換在空間與圖形的教學(xué)中體現(xiàn)得較為充分。例如：在講三角形的中位線的概念時(shí)，得到定義“聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線”后，往往會(huì)要求學(xué)生根據(jù)定義畫出與之相對(duì)應(yīng)的圖形，然后，要求學(xué)生嘗試用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示定義。即：在△ ABC 中，∵ D 為 AB邊中點(diǎn)，E為 AC邊中點(diǎn)，∴ DE為 △ ABC 的中位線。（三角形中位線定義）反之，已知：∵ DE 為 △ ABC 的中位線，∴ D 為 AB邊中點(diǎn)，E為 AC邊中點(diǎn)。（三角形中位線定義）兩個(gè)角度的描述，體現(xiàn)定義的雙重性（性質(zhì)、判定），然后讓學(xué)生畫出三角形中所有的中位線，進(jìn)一步體會(huì)它的位置特征。往往還會(huì)要求學(xué)生將中位線與三角形的中線進(jìn)行對(duì)比，找相同點(diǎn)與差異，在對(duì)比中進(jìn)一步熟悉三角形的中位線。再比如案例 9：全等三角形的概念：引入全等形的概念“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形 ”后 ,給出一組判斷題：判斷下列三組圖形是否是全等形：第一組：兩個(gè)三角形；第二組：兩面中國(guó)國(guó)旗第三組：兩個(gè)六邊形其中第三組圖片，教師根據(jù)學(xué)生回答，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示其中一個(gè)圖形通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)后是否與另一個(gè)圖形重合的過(guò)程，從而驗(yàn)證學(xué)生的判斷， ：你認(rèn)為兩個(gè)圖形是全等形應(yīng)具備哪幾個(gè)條件？ 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：（1）形狀相同；（2）大小相等。你還能再舉出生活中具有全等形的例子嗎？學(xué)生在思考問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)全等形的概念。其中對(duì)于概念中所涉及到的圖形，要注意采用圖形變式，加強(qiáng)對(duì)概念的理解。比如，圓中直徑的概念，有的教師教學(xué)中一般畫出的圖形如圖 1，忽視了其他的情況，造成有些不愛動(dòng)腦筋的學(xué)生的定勢(shì)思維，認(rèn)為只有滿足圖 1的情形，AB才叫直徑，對(duì)于變式圖形中的直徑識(shí)別不出來(lái)。所以在概念教學(xué)中圖形的變式訓(xùn)練，有利于突出概念的本質(zhì)，只要抓住概念的本質(zhì)，就可以保證無(wú)論圖形如何改變，都能從中找到研究的對(duì)象。（三）相關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，概念教學(xué)還應(yīng)該承擔(dān)著建立與相關(guān)概念的聯(lián)系的任務(wù)，教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生試著對(duì)概念進(jìn)行適度的聯(lián)系與發(fā)散，努力找出概念間一些體現(xiàn)共性的東西，以使學(xué)生形成功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。案例 10 ：對(duì)于三角函數(shù)的教學(xué)，我們先對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)特征進(jìn)行逐層剖析，再通過(guò)類比，來(lái)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)： ① 如圖，在銳角（不妨令∠ BAC=）的一邊上任取一點(diǎn) B，作 BC ⊥ AC，垂足為點(diǎn) C，當(dāng)確定時(shí)，三個(gè)相應(yīng)的比值、隨之確定，與點(diǎn) B 的位置無(wú)關(guān)；而當(dāng)銳角變化時(shí)，三個(gè)相應(yīng)的比值隨之變化——”說(shuō)明變量的存在性——“存在某個(gè)變化過(guò)程”； ②“在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量（不妨令 ③“對(duì)于，以此為例）——說(shuō)明三角函數(shù)同樣是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系； 在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值”——說(shuō)明變量的取值是有范圍限制的，即在銳角范疇內(nèi)研究它們；④“ 有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)”——說(shuō)明有唯一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)律，由以上類比剖析可知，銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)同樣是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系不能像一次函數(shù)那樣用解析式表示，只能用特定的符號(hào)來(lái)表示，這也是它與以前所學(xué)代數(shù)函數(shù)的區(qū)別所在。另外，教學(xué)中還要使學(xué)生明白：①銳角三角函數(shù)概念的建立，是對(duì)函數(shù)概念的一種升華，即從對(duì)應(yīng)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)。②對(duì)應(yīng)的角度的認(rèn)識(shí)：可以 是一對(duì)一，也可以是多對(duì)一（如二次函數(shù)），但不能是一對(duì)多的，掌握了這一點(diǎn)，我們可以據(jù)此進(jìn)行一些訓(xùn)練，概念通過(guò)這樣的聯(lián)系與發(fā)散，同學(xué)們一定會(huì)對(duì)三角函數(shù)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。再比如，對(duì)于二次函數(shù)的教學(xué)，可以類比一次函數(shù)進(jìn)行定義，此外還要引導(dǎo)學(xué)生分析它與二次方程、二次不等式以及二次代數(shù)式四者之間的關(guān)系。使學(xué)生對(duì)它們有全面的認(rèn)識(shí)，知識(shí)點(diǎn)串成線，最后結(jié)成網(wǎng)，必然有利于知識(shí)的理解與應(yīng)用。再有，對(duì)于梯形的教學(xué)，教師首先要認(rèn)識(shí)到，它是一個(gè)組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒(méi)什么性質(zhì)，而是通過(guò)圖形分解，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來(lái)解決問(wèn)題的。其次教師要將這一點(diǎn)傳遞給學(xué)生，學(xué)生如果明確了，那么也就能自覺地添加輔助線解決問(wèn)題了。如果進(jìn)一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對(duì)于如何添加輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別困難了。（四）概念的應(yīng)用舉例與訓(xùn)練鞏固概念的形成是一個(gè)由個(gè)別到一般的過(guò)程，而概念的運(yùn)用是一個(gè)由一般到個(gè)別的過(guò)程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個(gè)階段。通過(guò)運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運(yùn)用過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意概念的形成過(guò)程，也要注意概念的應(yīng)用。根據(jù)不同概念的特點(diǎn)，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，激勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理解，才能使學(xué)生學(xué)得好、學(xué)得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡(jiǎn)單例子，使學(xué)生形成用概念做判斷的具體步驟。例如：在全等三角形的教學(xué)中，對(duì)于定義不難理解，但是在應(yīng)用定義的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往由于找不準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角而出現(xiàn)問(wèn)題，為了突破這個(gè)難點(diǎn)，可以安排如下例題：（1）指出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；（2）在此圖形中，你還能得到哪些結(jié)論？闡述你的理由。預(yù)案 ： AB∥ FD，AC∥ FE，BD=CE等等。（3）教師拖動(dòng)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，學(xué)生觀察圖形的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：兩個(gè)三角形形狀雖然改變了，但它們?nèi)鹊年P(guān)系仍舊保持不變。得出結(jié)論后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的變化，并得出結(jié)論：雖然長(zhǎng)度和角度發(fā)生了變化，但對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等這一結(jié)論卻始終保持不變。這一環(huán)節(jié)通過(guò)改變?nèi)切?