【正文】 得出結論后，教師繼續(xù)引導學生觀察對應邊、對應角的變化，并得出結論：雖然長度和角度發(fā)生了變化，但對應邊相等、對應角相等這一結論卻始終保持不變。預案 ： AB∥ FD，AC∥ FE，BD=CE等等。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學生形成用概念做判斷的具體步驟。因此在數(shù)學教學中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應用。（四）概念的應用舉例與訓練鞏固概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運用是一個由一般到個別的過程，它們是學生掌握概念的兩個階段。其次教師要將這一點傳遞給學生，學生如果明確了，那么也就能自覺地添加輔助線解決問題了。使學生對它們有全面的認識，知識點串成線，最后結成網(wǎng)，必然有利于知識的理解與應用。②對應的角度的認識：可以 是一對一，也可以是多對一（如二次函數(shù)），但不能是一對多的，掌握了這一點，我們可以據(jù)此進行一些訓練，概念通過這樣的聯(lián)系與發(fā)散，同學們一定會對三角函數(shù)有進一步的認識。案例 10 ：對于三角函數(shù)的教學，我們先對函數(shù)概念的本質(zhì)特征進行逐層剖析，再通過類比，來學習銳角三角函數(shù)： ① 如圖，在銳角（不妨令∠ BAC=）的一邊上任取一點 B，作 BC ⊥ AC，垂足為點 C，當確定時，三個相應的比值、隨之確定，與點 B 的位置無關；而當銳角變化時，三個相應的比值隨之變化——”說明變量的存在性——“存在某個變化過程”； ②“在某個變化過程中有兩個變量（不妨令 ③“對于，以此為例）——說明三角函數(shù)同樣是研究兩個變量之間的依存關系； 在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值”——說明變量的取值是有范圍限制的，即在銳角范疇內(nèi)研究它們；④“ 有唯一確定的值和它對應”——說明有唯一確定的對應規(guī)律，由以上類比剖析可知，銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)同樣是一種對應關系，這種對應關系不能像一次函數(shù)那樣用解析式表示，只能用特定的符號來表示，這也是它與以前所學代數(shù)函數(shù)的區(qū)別所在。所以在概念教學中圖形的變式訓練，有利于突出概念的本質(zhì)，只要抓住概念的本質(zhì)，就可以保證無論圖形如何改變，都能從中找到研究的對象。其中對于概念中所涉及到的圖形，要注意采用圖形變式，加強對概念的理解。再比如案例 9：全等三角形的概念：引入全等形的概念“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 ”后 ,給出一組判斷題：判斷下列三組圖形是否是全等形：第一組：兩個三角形；第二組：兩面中國國旗第三組：兩個六邊形其中第三組圖片，教師根據(jù)學生回答，利用幾何畫板動態(tài)演示其中一個圖形通過平移、旋轉后是否與另一個圖形重合的過程，從而驗證學生的判斷， ：你認為兩個圖形是全等形應具備哪幾個條件？ 教師引導學生歸納總結出：（1）形狀相同；（2）大小相等。（三角形中位線定義）兩個角度的描述，體現(xiàn)定義的雙重性（性質(zhì)、判定），然后讓學生畫出三角形中所有的中位線，進一步體會它的位置特征。即：在△ ABC 中，∵ D 為 AB邊中點，E為 AC邊中點，∴ DE為 △ ABC 的中位線。三種語言的轉換在空間與圖形的教學中體現(xiàn)得較為充分。在概念剖析練習中，進一步體會概念的內(nèi)涵與外延，認識函數(shù)的本質(zhì)。如有一位學生的考試情況是這樣的：讓學生分析每次考試的分數(shù)與序號之間是否具有函數(shù)關系？ 再比如：在中，y 是不是 x 的函數(shù)？那么反過來 x 是不是 y 的函數(shù)呢？還可以給出右圖，讓學生對圖像中 y 與 x 的關系進行判斷，是否具有函數(shù)關系然后利用兩個圖像進行對比，從中體會“唯一”的含義。教師引導學生分析概念中的關鍵詞： 兩個變量； 對應； x 的每一個值； y “每一個 ”、“唯一確定 ”是指對于 x取值范圍內(nèi)的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，不能有兩個或者兩個以上與其對應。（二）概念的剖析及辨析概念生成之后，應用概念解決問題之前，往往要進行概念剖析，即用實例（包括正例與反例）引導學生分析關鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達到明確概念、再次認識概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會概念中所呈現(xiàn)的轉化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。由上面的分析可以看出，概念的引入方式?jīng)]有統(tǒng)一的模式，總的原則是通過教師創(chuàng)設典型、豐富的具體實例（可以讓學生自己舉例），引導學生展開分析、比較、綜合等活動，在此基礎上，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性。那么，它能叫中線嗎？如果不能，我們可以給它起個什么名字？讓學生嘗試命名，根據(jù)它位置的特殊性，學生在教師的啟發(fā)下，可以得到中位線的概念。學生很樂于參與這種動手操作的活動，根據(jù)生活經(jīng)驗也不難完成活動（如圖），但當教師提出“說說你的裁剪方法”時，學生只能用生活語言，如“沿三角形的中間剪的”，說不出準確的數(shù)學語言。對于三角形中位線概念的教學設計，有老師可能利用生活中的實例引入，也有的老師利用它與三角形中線的區(qū)別與聯(lián)系引入，其實還可以借助學生動手實驗引入。函數(shù)從學科角度看，研究對象由定到動，思維方式由靜止到運動，而學生的困難主要源于函數(shù)概念的高度抽象性以及函數(shù)表達形式的多樣性和思維方式的變化。此外，函數(shù)概念的教學一直是初中教學中的難點，因其抽象性而令學生“望而卻步”。從而引入矩形的概念。師：它具有穩(wěn)定性嗎？那么，若把一個內(nèi)角 A變成一個直角，（如圖，拖動點 A，使角 A變成 90度）。此外，在分析時，也可以引導學生總結出，式子中的三個量，知其二，可以求第三個，為后續(xù)高中學習奠定基礎。教師可以不急于給出平方根的概念，而讓學生結合式子的特點給 x 命名，由于 a 是已知數(shù)，此式從形式上看是一元二次方程，而求 x 就相當于求方程中的未知數(shù)，結合已有知識，學生能夠想到諸如“二次方程的根(解)”“平方的根”等，在此基礎上，教師再規(guī)范成“平方根”，這樣會更有利于學生對平方根的理解，因為在參與命名時，學生就要認真分析式子以及結果的特點，對理解概念有幫助，在此基礎上，創(chuàng)設生活中的實例，使學生感受到生活中更多的是應用平方根中那個非負的，順勢提出非負的平方根如何命名？學生結合小學學的都是算術，很容易說出算術平方根。案例 5 ：設計如下：教師首先利用競賽的形式，給出兩組練習，要求學生口答后，觀察兩組題目的區(qū)別與聯(lián)系：這種引入概念的方法，是建立在新舊知識的聯(lián)系上，充分考慮學生已有的知識經(jīng)驗，使學生在具體數(shù)值的計算中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一組題已知底數(shù)、指數(shù)，求冪，第二組已知冪、指數(shù)，求底數(shù)，在此基礎上學生能夠從特殊推廣到一般。其實我認為，平方根的概念與其以生活實際為背景引入，不如從平方與開平方互為逆運算的角度引入更有利于突出重點、突破難點。概念的引入方法很多，設計時不僅要考慮概念自身的特點，還要結合學生的認識水平及生活經(jīng)驗，本著有利于突顯概念本質(zhì)的原則。例如：可以通過同類項的定義類比地歸納出同類二次根式的定義，通過類比分數(shù)得到分式的概念，類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)等概念。提出問題 3 ：請同學們思考，如何使圖案序號與黒磚塊數(shù)之間的關系一目了然呢？（學生思考，最后達成共識：列一個圖案序號為第一行，黒磚塊數(shù)為第二行的表格，學生順便體會到了在處理大量數(shù)字或者相關問題時的處理方法）圖案序號 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 提出問題 4 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時的鋪法不變，請問第任意個圖案中黒磚塊數(shù)是多少？與圖案序號之間的關系是什么？理由是什么？學生 1 的解答：第任意個圖案中黒磚塊數(shù)是任意個，與圖案序號之間是相等關系，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號相等”的規(guī)律不變，即：圖案序號 1 2 3 4 5 6 … 第任意個圖案 黒磚塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 … 任意個學生 2 的解釋：學生 1 列的表格中的“第任意個圖案”、“任意個”我覺得可以不用文字，但是也不能用具體的數(shù)來說明“第任意個圖案”中黒磚塊數(shù)的任意性，怎么表示呢？學生 3 解釋：用字母表示“任意個”，因為“任意個”可以是 212100 等等，但是一個具體的數(shù)不能表示任意性、一般性，我認為用一個字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一個整數(shù)。提出問題 1 ：觀察圖案 1 至 4，用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時黒磚塊數(shù)與圖案序號之間的數(shù)量關系是什么？學生答案是：圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號相等。例如：在講線線垂直的概念時，先讓學生觀察教室或生活中的各種實例，再模擬出線線垂直的模型，抽象出其本質(zhì)特征，概括出線線垂直的定義，并畫出直觀圖，即沿著實例、模型、圖形直至想像的順序抽象成正確的概念，再比如對于一元一次方程的概念，可以借助一些簡單的實例，讓學生列方程，然后觀察這些具體方程的共同點，從具體到抽象歸納概括出一元一次方程的定義。數(shù)學概念有具體性和抽象性雙重特性。例如：在平面幾何平行線的教學中，可以讓學生觀察單線練習本中的一組平行線，分析這組線的位置特點，再利用相交線作對比，然后概括出平行線的定義；在圓的概念的教學時，讓學生動手做實驗，取一條定長的細繩，把它的一端固定，另一端栓一支鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是什么？學生通過動手實踐，觀察所畫出來的圖形，歸納總結出圓的定義。下面介紹概念引入的三種想法：。這樣學生們在運用概念時不但“知其然”也“知其所以然”，同時還能培養(yǎng)他們的探究精神，激發(fā)學生的潛能。在引入過程中教師要積極地為學生創(chuàng)設有利于他們理解數(shù)學概念的各種情境，給學生提供廣闊的思維空間，讓他們逐漸養(yǎng)成主動探究的習慣，從而實現(xiàn)新課程標準中提出的通過主動探究來獲取知識，使學生的學習活動不再單純地依賴于教師的講授，教師努力成為學習的參與者、協(xié)作者、促進者和組織者。課程標準中提出“ 抽象數(shù)學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式”。（一）概念的引入概念的引入是概念課教學的起始步驟，是形成概念的基礎。概念的課堂教學大致經(jīng)歷以下幾個環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關概念的聯(lián)系與區(qū)別、概念應用舉例、概念的鞏固練習。三、初中數(shù)學課堂概念教學的一些想法從教育與發(fā)展心理學的角度出發(fā)，概念教學的核心就是“概括”：將凝結在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維活動打開，以若干典型事例為載體，引導學生分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念等思維活動而獲得概念。長此以往，必將使學生成為并不優(yōu)秀的“做題機器”，數(shù)學雙基也無法落實。在我們的日常教學中，類似于以上的概念教學并不是少數(shù)，我們將目前部分教師的概念教學模式進行簡單的歸納，可以分為以下幾類：（一）開門見山，教師直接給出定義，歸納注意事項、舉例讓學生反復練習；（二）認為概念教學 = 解題教學，所以通過大容量訓練，使學生逐步認識概念；（三）創(chuàng)設情境，但情境的選擇并不能揭示概念的本質(zhì)，只是為了設計情境而刻意安排的，讓人感到前后不夠協(xié)調(diào)；（四）注意到讓學生參與概念的形成過程，但在概念的分析過程中，缺乏與學生已有知識的聯(lián)系，總感覺每個概念都是孤零零的，沒有形成系統(tǒng)。教材把“矩形”安排在平行四邊形之后，就是因為它是特殊的平行四邊形，因此完全可以用概念同化的方法進行矩形概念的教學，這與以前學過的平行四邊形和將要學習的菱形、正方形在研究思路、方法上一脈相承，這樣的設計充分尊重學生的實際情況，可以使學生在獲得知識的同時，培養(yǎng)其類比思維的能力。生(嘩然）：這不是小學的長方形嗎？教師在學生的疑惑聲中，畫出圖形，板書課題及矩形定義。（眾生疑惑）師：你能說一下這個平行四邊形一個內(nèi)角的特點嗎？ 生 2：每個角都是直角。（學生分組討論）生 1：我們這組認為，可以擺成無數(shù)個平行四邊形，他們的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。案例 3：“矩形”概念的教學：首先采用合作學習：用 6根火柴棒首尾順次相接擺成一個平行四邊形。這樣的教學只是揭示了“同類項是什么”，而沒有揭示“為什么提出同類項的概念，為什么教學中這樣定義同類項概念”。表面上看，教師似乎讓學生經(jīng)歷了從特殊到一般的抽象概括的過程，但實質(zhì)上，教師的設計只是形式化的，并沒有使學生真正的參與到平方根的發(fā)生與形成過程中，沒有使學生真正弄清楚為什么 叫做 的平方根，所以可以想到學生只是機械的接受概念，在此基礎上照貓畫虎式進行解題練習，這種做法一定會造成學生后期將平方根與算術平方根混淆。由于邊長都非負，所以學生的第一反應說出的都是這組數(shù)的算術平方根，因為教師設計要講平方根，所以要求學生寫出計算過程，并強調(diào)平方根的定義：即，然后取正舍負，再由這四個例子進行抽象概括出平方根與算數(shù)時，我們把叫做 的平方根，其中正值又叫做 的算術平方根。案例 1 ：前不久聽一位教師關于“平方根”的概念教學課，上課開始，教師呈現(xiàn)一組面積不同的正方形，要求學生求邊長 x。對于概念教學這個問題，在新課程實施以來，廣大教師都有了一定的認識，加強了對概念教學的重視程度。為什么學生對數(shù)學概念的理解總是停留在表層，往往知其然，并不知其所以然？教學中如何進行有效地概念教學，以使學生真正的理解概念？這是每名教師都在思考的問題。它是進行數(shù)學推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。一、什么是數(shù)學概念？概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。許多事實例證了正確地理解 數(shù)學概念是牢固掌握數(shù)學知識，靈活運用數(shù)學知識解決問題的金鑰匙。我認為只有利用這種方法，在學生方面才能非形式化的理解并掌握所學到的東西。希望我們大家一起努力，使小小的概念教學中，能折射出我們教師大大的智慧。，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力對數(shù)學概念的深刻理解，是提高學生的解題能力的基礎；反之，也只有通過解題，學生才能加深對概念的認識，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延．課本中直接運用概念解題的例子很多，教學中要充分利用．同時，對學生在理解方面易出錯誤的概念，要設計一些有針對性的題目，通過練習、講評，使學生對概念的理解更深刻、更透徹．三、初中數(shù)學概念的教學的幾點注意事項：（特別是核心概念）教學中，要把“認識數(shù)學對象的基本套路”作為核心目標之一；，決定了其認識過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個螺旋上升，在已有認知基礎上再概括的過程；，因此學習像函數(shù)這樣的核心概念時，需要區(qū)分不同年齡階段的 概括層次（如變量說、關系說、對應說等），這也是“教學要與學生認知水平相適應” 的原因所在；，教師要重視讓學生能夠自己舉例，“一個好