新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式-資料下載頁(yè)
2024-12-08 08:44本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】當(dāng)α是實(shí)數(shù)并且0<α<1時(shí)，有___________.如果n個(gè)正數(shù)a1,a2,…本節(jié)內(nèi)容主要是認(rèn)知如何用數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)n的不等式.中經(jīng)常應(yīng)用到的綜合性數(shù)學(xué)方法，觀(guān)察是解決問(wèn)題的前提條件，需要進(jìn)行合理的試驗(yàn)和歸納，視對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí).法證不等式的重中之重的問(wèn)題了.命題的成立不成立都。預(yù)先需要?dú)w納與探索，而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況下入手，得到一個(gè)結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論不一定正確，因?yàn)檫@是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，納不出正確的結(jié)論，那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無(wú)法進(jìn)行了.a3>b3，就此歸納出n2>2n就是錯(cuò)。到“放縮尺度”，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu).對(duì)任意n∈N+，試指出f與g的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且Tn=1-21bn.1與Sn+1的大小，并說(shuō)明理由.∴{bn}是首項(xiàng)為32,公比為31的等比數(shù)列，
【正文】 分類(lèi)） . ① 若 x∈ (0,+∞)，顯然有 PnQn。 ② 若 x=0，則 Pn=Qn。 ③ 若 x∈ (1,0), 則 P3Q3=x30,所以 P3Q3。 P4Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以 P4Q4。 假設(shè) PkQk(k≥3), 則 Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk(運(yùn)用歸納假設(shè) ) =1+ 2 )1( 2xkk ? +x+kx2+ 2 )1( 3xkk ? =1+(k+1)x+ 2 )1( ?kk x2+ 2 )1( ?kk x3 =Qk+1+ 2 )1( ?kk x3Qk+1， 即當(dāng) n=k+1時(shí)，不等式成立 . 所以當(dāng) n≥3,且 x∈ (1,0)時(shí)， PnQn. 綠色通道： 本題除對(duì) n 的不同取值會(huì)有 Pn與 Qn之間的大小變化，變量 x也影響 Pn與 Qn的大小關(guān)系，這就要求我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí)，不能只顧 “n”，而忽視其他變量（參數(shù)）的作用 . 【變式訓(xùn)練】 已知 f(x)=nnnn xx xx???? ,對(duì) n∈ N+,試比較 f( 2 )與 1122??nn 的大小，并說(shuō)明理由 . 思路分析： 利用分析法探求需 要推理證明的關(guān)系，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 解：設(shè) F(n)=1211 2111 22222 ????????? nnnnn, f( 2 )=1122?n, 因而只需比較 2n與 n2的大小 . n=1 時(shí)， 2112。n=2 時(shí)， 22=22。n=3 時(shí) ,2332,n=4 時(shí) ,24=42,n=5 時(shí) ,2552,猜想 n≥5時(shí) ,2nn2,簡(jiǎn)證2kk2(k≥5),則當(dāng) n=k+1時(shí) , 2k+1=22k2k2 =k2+k2+2k+12k1 =(k+1)2+(k1)22 (k+1)2. 綜上所述， n=1或 n≥5時(shí)， f( 2 ) 1122??nn 。 n=2或 4時(shí) ,f( 2 )= 1122??nn 。n=3時(shí)， f( 2 ) 1122??nn . 問(wèn)題探究 問(wèn)題：有兩堆棋子，數(shù)目相同，兩人游戲的規(guī)則是：兩人輪流取棋子，每人可以從一堆中任意取棋，但 不能同時(shí)從兩堆取，取得最后一顆棋子的人獲勝，求證后取棋子者一定可以獲勝 . 設(shè)每堆棋子數(shù)目為 n，你可以先試試能證明上述結(jié)論嗎？ 導(dǎo)思： 分析題設(shè)中的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而本問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 探究： 下面用第二數(shù)學(xué)歸納法證明 . 證明：設(shè)每堆棋子數(shù)目為 n. （ 1）當(dāng) n=1時(shí)，先取棋子者只能從一堆里取 1顆，這樣另一堆里留下的 1顆就被后取棋子者取得，所以結(jié)論是正確的 . (2)假設(shè)當(dāng) n≤k(k≥1)時(shí)結(jié)論正確，即這時(shí)后取棋子者一定可以獲勝 . 考慮當(dāng) n=k+1時(shí)的情形 . 先取棋子者如果從一堆里 取 k+1顆，那么另一堆里留下的 k+1顆就被后取棋子者取得，所以結(jié)論是正確的 . 先取棋子者如果從一堆里取棋子 m(1≤m≤k)顆，這樣，剩下的兩堆棋子，一堆有 k+1顆，另一堆有 k+1m 顆，這時(shí)后取棋子者可以在較多的一堆里取 m 顆，使兩堆棋子數(shù)目都是k+1m顆，這時(shí)就變成了 n=k+1m的問(wèn)題，而不論 m是 1— k的哪個(gè)整數(shù)， n=k+1m都是不大于 k的正整數(shù)，由歸納假設(shè)可知這時(shí)后取棋子者一定可以獲勝 . 于是，當(dāng) n=k+1時(shí)結(jié)論正確 . 由（ 1）（ 2）知，根據(jù)第二數(shù)學(xué)歸納法，無(wú)論每堆棋子的數(shù)目是多少， 后取棋子者都能獲勝 .
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