新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式-展示頁(yè)
2024-12-20 08:44本頁(yè)面
【正文】 b2=224. g(24)=4425=224,有 f(4)g(24),由此推測(cè)當(dāng) 1≤n≤2時(shí)， f(n)=g(2n), 當(dāng) n≥3時(shí)， f(n)g(2n). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 . (1)當(dāng) n=3時(shí)，由上述推測(cè)成立； （ 2）假設(shè) n=k時(shí)，推測(cè)成立 .即 f(k)g(2k)(k≥3), 即（ a+b） kakbk4k2k+1, 那么 f(k+1)=(a+b)k+1ak+1bk+1 =(a+b) (3)貝努利不等式： 如果 x是實(shí)數(shù)，且 x1,x≠0,n為大于 1的自然數(shù)，那么有 ___________； 當(dāng) α是實(shí)數(shù)，并且滿足 α1或者 α0時(shí)，有 ___________； 當(dāng) α是實(shí)數(shù)并且 0α1時(shí)，有 ___________. （ 4）如果 n(n 為正整數(shù) )個(gè)正數(shù) a1,a2,… ,an 的乘積 a1a2… an=1，那么它 們的和 a1+a2+…+an≥_____. 在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，我們常會(huì)用到證明不等式的其他比較重要的一個(gè)方法是___________. 知識(shí)導(dǎo)學(xué) 本節(jié)內(nèi)容主要是認(rèn)知如何用數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù) n的不等式（其中 n取無(wú)限多個(gè)值） . 其中例 1提供出了一種全新的數(shù)學(xué)思想方法：觀察、歸納、猜想、證明，這是在數(shù)學(xué)歸納法中經(jīng)常應(yīng)用到的綜合性數(shù)學(xué)方法，觀察是解決問(wèn)題的前提條件，需要進(jìn)行合理的試驗(yàn)和歸納，提出合理的猜想，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的 .猜想歸納能培養(yǎng)探索問(wèn)題的能力，因此 ，應(yīng)重視對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí) . 前面已學(xué)習(xí)過(guò)證明不等式的一系列方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法等 .而本節(jié)又增了數(shù)學(xué)歸納法證不等式，而且主要解決的是 n 是無(wú)限的問(wèn)題，因而難度更大一些，但仔細(xì)研究數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵，即由 n=k 到 n=k+1 的過(guò)渡，也是學(xué)習(xí)好用數(shù)學(xué)歸納法證不等式的重中之重的問(wèn)題了 . 疑難突破 、歸納、猜想、證明的方法 這種方法解決的問(wèn)題主要是歸納型問(wèn)題或探索性問(wèn)題，結(jié)論如何？命題的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索，而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況下入手， 得到一個(gè)結(jié)論，但這個(gè)結(jié)論不一定正確，因?yàn)檫@是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，所以，通過(guò)觀察、分析、歸納、猜想，探索一般規(guī)律，其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，如果歸納不出正確的結(jié)論，那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無(wú)法進(jìn)行了 . 在觀察與歸納時(shí)， n的取值不能太少，否則將得出錯(cuò)誤的結(jié)論 .例 1中若只觀察前 3項(xiàng)：a1=1,b1=2? a1b1。 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 知識(shí)梳理 （ 1） n22n(n∈ N+,___________)。 (2)|sinnθ|≤___________|sinθ|,(n∈ N+)。a2=4,b2=4? a2=b2,a3=9,b3=8? a3b3，就此歸納出 n22n(n∈ N+,n≥3)就是錯(cuò)誤的，前 n項(xiàng)的關(guān)系可能只是特殊情況，不具有一般性，因而，要從多個(gè)特殊事例上探索一般結(jié)論 . “n=k”到 “n=k+1”的方法與技巧 在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題中，從 “n=k”到 “n=k+1”的過(guò)渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步，它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來(lái)，而證明不等式的第二步中，從 “n=k”到 “n=k+1”，只用拼湊的方法，有時(shí)也行不通，因?yàn)閷?duì)不等式來(lái)說(shuō)，它還涉及 “放縮 ”的問(wèn)題，它可能需通過(guò) “放大 ”或 “縮小 ”的過(guò)程，才能利用上歸納假設(shè)，因此，我們可
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