【正文】 設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:，是，的任一排列,則有+ (同序和)++ (亂序和)++ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)=或=時(shí)，反序和等于同序和. （要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式）三、應(yīng)用舉例：例1：設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：. 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運(yùn)用套用排序不等式？ 證明過(guò)程： 設(shè)是的一個(gè)排列，且，則. 又，由排序不等式，得 … 小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材P45 1題，求證：. 解答要點(diǎn)：由對(duì)稱性，假設(shè)，則，于是 ， 兩式相加即得.五、課堂小結(jié)：排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè)：教材P45 4題七、教學(xué)后記：第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課 題： 第01課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法（一）教學(xué)目標(biāo)：，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；2. 進(jìn)一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析和對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟的掌握。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題（1）不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？因?yàn)榍宄课以趯W(xué)校門口看到第一個(gè)進(jìn)校園的是男同學(xué)，第二個(gè)進(jìn)校園的也是男同學(xué)，第三個(gè)進(jìn)校園的還是男同學(xué)。于是得出結(jié)論：學(xué)校里全部都是男同學(xué)，同學(xué)們說(shuō)我的結(jié)論對(duì)嗎？（這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，說(shuō)明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進(jìn)而引出第二個(gè)問(wèn)題）（2）完全歸納法：一個(gè)火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請(qǐng)問(wèn)怎樣驗(yàn)證五根火柴都是紅色的呢？（將火柴盒打開(kāi)，取出剩下的火柴，逐一進(jìn)行驗(yàn)證。）注：對(duì)于以上二例的結(jié)果是非常明顯的，教學(xué)中主要用以上二題引出數(shù)學(xué)歸納法。結(jié)論：不完全歸納法→結(jié)論不可靠；完全歸納法→結(jié)論可靠。問(wèn)題：以上問(wèn)題都是與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，從上例可以看出，要想正確的解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題，就可靠性而言，應(yīng)該選用第幾種方法？（完全歸納法）情境一：（播放多米諾骨牌視頻）問(wèn)：怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下？二、講授新課：探究一：讓所有的多米諾骨牌全部倒下，必須具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。探究二：同學(xué)們?cè)诳赐甓嗝字Z骨牌視頻后，是否對(duì)怎樣證明有些啟發(fā)？ 得出結(jié)論：證明的兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)時(shí)，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立。只要完成以上兩個(gè)步驟，就可以判定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立。上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。三、應(yīng)用舉例：例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)（k≥1,kN*）時(shí)，那么：，則當(dāng)時(shí)也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何都成立。注：①對(duì)例1，首先說(shuō)明在利用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，當(dāng)時(shí)的證明必須利用的歸納假設(shè)， 例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明求證：能被6 整除.[證明]：. 當(dāng)時(shí)，13+51=6能被6整除，命題正確；. 假設(shè)時(shí)命題正確，即能被6整除，∴當(dāng)時(shí)，∵兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，能被6整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確，由知命題時(shí)都正確.即：當(dāng)時(shí)，等式成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何都成立。注：上例可讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師板書寫現(xiàn)完整過(guò)程，以突出數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟。四、鞏固練習(xí)：P50練習(xí)題 第2題五、課堂小結(jié)：?jiǎn)枺航裉煳覀儗W(xué)習(xí)了一種很重要的數(shù)學(xué)證明方法，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？（學(xué)生總結(jié)，教師整理）數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中有許多形如“數(shù)學(xué)歸納法”這樣的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)歸納法中蘊(yùn)含著一種很重要的數(shù)學(xué)思想：遞推思想；數(shù)學(xué)歸納法一般步驟：驗(yàn)證時(shí)命題成立若時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立 歸納奠基 歸納遞推 命題對(duì)從開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立　　應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點(diǎn)：（1） 第一步是基礎(chǔ)，沒(méi)有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；（2） 第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒(méi)有第二步，只能是不完全歸納法；（3） n0是使命題成立的最小正整數(shù)，n0不一定取1，也可取其它一些正整數(shù)；（4） 第二步的證明必須利用歸納假設(shè)，否則不能稱作數(shù)學(xué)歸納法。六、布置作業(yè)：P50練習(xí)題 第3題 七、教學(xué)后記：課 題： 第02課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法（二）教學(xué)目標(biāo)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程.對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)不斷深化.掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：教學(xué)重點(diǎn)：解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)意義，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證題有效性的理解教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)回顧：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（ii）歸納遞推：假設(shè)n=k（k≥n0， k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立. 練習(xí)：1已知，猜想的表達(dá)式，并給出證明？ 過(guò)程：試值，…，→ 猜想 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明.2. 練習(xí)：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結(jié)論.二、講授新課：1. 教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：例1：求證分析：第1步如何寫？n=k的假設(shè)如何寫？ 待證的目標(biāo)式是什么？如何從假設(shè)出發(fā)？關(guān)鍵：在假設(shè)n=k的式子上，如何同補(bǔ)？證明：（略）小結(jié)：證n=k+1時(shí)，需從假設(shè)出發(fā)，對(duì)比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形.例2：求證：n為奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除.分析要點(diǎn)：（湊配）xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2yk－x2yk=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(y－x).證明：（略）例3：平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2－n+2個(gè)部分.分析要點(diǎn)：n=k+1時(shí)，在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓C，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓C與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平面部分一分為二，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.證明：（略）三、鞏固練習(xí)：：（1） 求證: （n∈N*）.（2） 用數(shù)學(xué)歸納法證明： （Ⅰ）能被264整除； （Ⅱ）能被整除（其中n，a為正整數(shù)）（3） 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）3n+9對(duì)任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）教材50 5題 四、課堂小結(jié)：兩個(gè)步驟與一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時(shí)，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等.五、布置作業(yè)：教材50 6題.六、教學(xué)后記：課 題： 第03課時(shí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（一）教學(xué)目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個(gè)經(jīng)典不等式.教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 求證：.2. 求證：.二、講授新課：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n都正確．在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：（1）在從n=k到n=k+1的過(guò)程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征；（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；（3）活用起點(diǎn)的位置；（4）有的試題需要先作等價(jià)變換。三、應(yīng)用舉例：例1：比較與的大小，試證明你的結(jié)論. 分析：試值 → 猜想結(jié)論 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明→ 要點(diǎn)：…. 證明：（略）小結(jié)反思：試值→猜想→證明鞏固練習(xí)1：已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，Sn為前n項(xiàng)和，且，歸納出an的公式并證明你的結(jié)論. 解題要點(diǎn)提示：試值n=1,2,3,4， → 猜想an → 數(shù)學(xué)歸納法證明例2：證明不等式. 要點(diǎn)： 證明：（略）例3：證明貝努利不等式. 分析：貝努力不等式中涉及到兩個(gè)字母， 表示大于1且不等于0的任意實(shí)數(shù)，是大于1的自然數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法只能對(duì)進(jìn)行歸納鞏固練習(xí)2：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有an+＞2bn.解答要點(diǎn)：當(dāng)a、b、c為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)a=, c=bq (q＞0且q≠1). ∴ an+=….當(dāng)a、b、c為等差數(shù)列時(shí)，有2b=a+c，則需證＞()n (n≥2且n∈N*).…. 當(dāng)n=k+1時(shí)，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)＞()k()=()k+1 .3. 小結(jié)反思：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式；技巧：湊配、放縮.四、鞏固練習(xí)：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： .2. 已知.五、課堂小結(jié)：六、布置作業(yè)：教材P53 8題.七、教學(xué)后記： 47