新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5一般形式的柯西不等式測試題-資料下載頁
2025-11-06 21:16本頁面
【導(dǎo)讀】.),,,,,()())((22222等號成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)bcadRdcbabdacdcba??????2222)2(.),,,,,(等號成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)bcadRdcba??借用一句革命口號說：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用。c^2，并不是不等式的形狀，但變成(1/3)**就可以用柯西。例1：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。例3、若a>b>c求證：cacbba?????2z之最小值為時(shí)，(x，y，6，公式法求此時(shí)。的最大值M與最小值m。u=v=根據(jù)柯西不等式222)(vuvu???????、設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且232???
【正文】 (xx0)2+(yy0)2］ ≥［ A(xx0)+B(yy0)］ 2=［ (Ax+By)(Ax0+By0)］ 2=(Ax0+By0+C)2,所以 |PQ|≥22 00|| BA CByAx ? ?? . 當(dāng)22 0000 BA CByAxB yyA xx ? ???????時(shí) ,取等號 ,由垂線段最短得 d=22 00|| BA ByAx ? ?? . 【 24】已知正數(shù) x,y,z 滿足 x+y+z=xyz,且不等式xzzyyx ????? 111≤λ恒成立 ,求 λ的范圍 . 解析 :由二元均值不等式及柯西不等式 ,得 xzzyyx ????? 111≤)(212 12 12 1 zyx yzyx xzyx zzxzyxy ??????????? 2 3))(111(21 222 ???????????? zyx yzyx xzyx z故 λ的取值范圍是［ 23 ,+∞). 溫馨提示 本題 主要應(yīng)用了 最值法 , 即 不等式xzzyyx ????? 111≤λ 恒成立 , 等價(jià)于(xzzyyx ????? 111)max≤λ,問題轉(zhuǎn)化為求 f(x,y,z)=xzzyyx ????? 111的最大值 . 【 25】設(shè) a,b,c,x,y,z均為正實(shí)數(shù) ,且滿足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=zyx cba ?? ??的值 . 解析 :根據(jù)已知等式的特點(diǎn) ,可考慮用柯西不等式 . 由柯西不等式等號成立的條件 ,知zcybxa ??=λ,再由等比定理 ,得zyx cba ?? ??= λ的值即可 . 由柯西不等式 , 得 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536, 當(dāng)且僅當(dāng)zcybxa ??=λ時(shí) ,上式等號成立 . 于是 a=λx,b=λy,c=λz,從而有 λ2(x2+y2+z2)=25,∴ λ=177。65 (舍負(fù) ),即65??? zcybxa. 競賽欣賞 1 （ 1987 年 CMO 集訓(xùn)隊(duì)試題）設(shè) ,abc R?? ，求證： 5 5 5 3 3 3a b c a bc b c a c ab? ? ? ? ? （ 210） 證明：因 2 2 2a b c ab bc ca? ? ? ? ?，由定理 1 有 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2()a b c a b c abcb c c a a b b c c a a b??? ? ? ? ? ??? 此即 （ 210）式。 2 設(shè) ,abc R?? ，求證： 2 2 2 2 2 23 ( )b c a abca b c? ? ? ? ? 證明：由均值不等式得 3 2 2 3 2 3 2 22 , 2 , 2a c a a c b a b ab c b c bc? ? ? ? ? ?，故 3 3 3 2 2 2 2 2 22( )a b c a b b c c a ab bc c a? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 3 ( )a b c a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ?. 又由柯西不等式知 2 2 2 23 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?，故 2 23 ( )a b c a b c? ? ? ? ? 又由定理 1，得 原式左＝ 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 ( )( ) ( )a b c a b c a b ca c b a c b b c c a a b a b c a b c? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?原式右
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