新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5一般形式的柯西不等式測(cè)試題(參考版)
2024-11-19 21:16本頁(yè)面
【正文】 2 設(shè) ,abc R?? ，求證： 2 2 2 2 2 23 ( )b c a abca b c? ? ? ? ? 證明：由均值不等式得 3 2 2 3 2 3 2 22 , 2 , 2a c a a c b a b ab c b c bc? ? ? ? ? ?，故 3 3 3 2 2 2 2 2 22( )a b c a b b c c a ab bc c a? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 3 ( )a b c a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ?. 又由柯西不等式知 2 2 2 23 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?，故 2 23 ( )a b c a b c? ? ? ? ? 又由定理 1，得 原式左＝ 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 ( )( ) ( )a b c a b c a b ca c b a c b b c c a a b a b c a b c? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?原式右 。 【 23】求證 :點(diǎn) P(x0,y0)到直線 Ax+By+C=0 的距離 d=22 00|| BA CByAx ? ?? . 證明 :設(shè) Q(x,y)是直線上任意一點(diǎn) ,則 Ax+By+C= |PQ|2=(xx0)2+(yy0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得 (A2+B2)［ (xx0)2+(yy0)2］ ≥［ A(xx0)+B(yy0)］ 2=［ (Ax+By)(Ax0+By0)］ 2=(Ax0+By0+C)2,所以 |PQ|≥22 00|| BA CByAx ? ?? . 當(dāng)22 0000 BA CByAxB yyA xx ? ???????時(shí) ,取等號(hào) ,由垂線段最短得 d=22 00|| BA ByAx ? ?? . 【 24】已知正數(shù) x,y,z 滿足 x+y+z=xyz,且不等式xzzyyx ????? 111≤λ恒成立 ,求 λ的范圍 . 解析 :由二元均值不等式及柯西不等式 ,得 xzzyyx ????? 111≤)(212 12 12 1 zyx yzyx xzyx zzxzyxy ??????????? 2 3))(111(21 222 ???????????? zyx yzyx xzyx z故 λ的取值范圍是［ 23 ,+∞). 溫馨提示 本題 主要應(yīng)用了 最值法 , 即 不等式xzzyyx ????? 111≤λ 恒成立 , 等價(jià)于(xzzyyx ????? 111)max≤λ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 f(x,y,z)=xzzyyx ????? 111的最大值 . 【 25】設(shè) a,b,c,x,y,z均為正實(shí)數(shù) ,且滿足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=zyx cba ?? ??的值 . 解析 :根據(jù)已知等式的特點(diǎn) ,可考慮用柯西不等式 . 由柯西不等式等號(hào)成立的條件 ,知zcybxa ??=λ,再由等比定理 ,得zyx cba ?? ??= λ的值即可 . 由柯西不等式 , 得 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536, 當(dāng)且僅當(dāng)zcybxa ??=λ時(shí) ,上式等號(hào)成立 . 于是 a=λx,b=λy,c=λz,從而有 λ2(x2+y2+z2)=25,∴ λ=177。 Ans 最大值 7；最小值 ? 3 【解】 ∵ 14 )3(5 )2(16 )1( 222 ?????? zyx 由 柯西 不等式知 [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?????? ?????? 222 )2 3()5 2()
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1