新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(參考版)
2024-12-12 08:44本頁(yè)面
【正文】 n=3時(shí)， f( 2 ) 1122??nn . 問題探究 問題：有兩堆棋子，數(shù)目相同，兩人游戲的規(guī)則是：兩人輪流取棋子，每人可以從一堆中任意取棋，但 不能同時(shí)從兩堆取，取得最后一顆棋子的人獲勝，求證后取棋子者一定可以獲勝 . 設(shè)每堆棋子數(shù)目為 n，你可以先試試能證明上述結(jié)論嗎？ 導(dǎo)思： 分析題設(shè)中的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而本問題可以用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 探究： 下面用第二數(shù)學(xué)歸納法證明 . 證明：設(shè)每堆棋子數(shù)目為 n. （ 1）當(dāng) n=1時(shí)，先取棋子者只能從一堆里取 1顆，這樣另一堆里留下的 1顆就被后取棋子者取得，所以結(jié)論是正確的 . (2)假設(shè)當(dāng) n≤k(k≥1)時(shí)結(jié)論正確，即這時(shí)后取棋子者一定可以獲勝 . 考慮當(dāng) n=k+1時(shí)的情形 . 先取棋子者如果從一堆里 取 k+1顆，那么另一堆里留下的 k+1顆就被后取棋子者取得，所以結(jié)論是正確的 . 先取棋子者如果從一堆里取棋子 m(1≤m≤k)顆，這樣，剩下的兩堆棋子，一堆有 k+1顆，另一堆有 k+1m 顆，這時(shí)后取棋子者可以在較多的一堆里取 m 顆，使兩堆棋子數(shù)目都是k+1m顆，這時(shí)就變成了 n=k+1m的問題，而不論 m是 1— k的哪個(gè)整數(shù)， n=k+1m都是不大于 k的正整數(shù)，由歸納假設(shè)可知這時(shí)后取棋子者一定可以獲勝 . 于是，當(dāng) n=k+1時(shí)結(jié)論正確 . 由（ 1）（ 2）知，根據(jù)第二數(shù)學(xué)歸納法，無論每堆棋子的數(shù)目是多少， 后取棋子者都能獲勝 . 。n=3 時(shí) ,2332,n=4 時(shí) ,24=42,n=5 時(shí) ,2552,猜想 n≥5時(shí) ,2nn2,簡(jiǎn)證2kk2(k≥5),則當(dāng) n=k+1時(shí) , 2k+1=22k2k2 =k2+k2+2k+12k1 =(k+1)2+(k1)22 (k+1)2. 綜上所述， n=1或 n≥5時(shí)， f( 2 ) 1122??nn 。 假設(shè) PkQk(k≥3), 則 Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk(運(yùn)用歸納假設(shè) ) =1+ 2 )1( 2xkk ? +x+kx2+ 2 )1( 3xkk ? =1+(k+1)x+ 2 )1( ?kk x2+ 2 )1( ?kk x3 =Qk+1+ 2 )1( ?kk x3Qk+1， 即當(dāng) n=k+1時(shí)，不等式成立 . 所以當(dāng) n≥3,且 x∈ (1,0)時(shí)， PnQn. 綠色通道： 本題除對(duì) n 的不同取值會(huì)有 Pn與 Qn之間的大小變化，變量 x也影響 Pn與 Qn的大小關(guān)系，這就要求我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí)，不能只顧 “n”，而忽視其他變量（參數(shù)）的作用 . 【變式訓(xùn)練】 已知 f(x)=nnnn xx xx???? ,對(duì) n∈ N+,試比較 f( 2 )與 1122??nn 的大小，并說明理由 . 思路分析： 利用分析法探求需 要推理證明的關(guān)系，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明 . 解：設(shè) F(n)=1211 2111 22222 ????????? nnnnn, f( 2 )=1122?n, 因而只需比較 2n與 n2的大小 . n=1 時(shí)， 2112。 ③ 若 x∈ (1,0), 則 P3Q3=x30,所以 P3Q3。 332121 ??n 對(duì)一切 n∈ N+均成立 . 思路分析： 第（ 2）問中的不等式 左側(cè)，每個(gè)括號(hào)的規(guī)律是一致的，因此121?n顯得 “多余 ”，所以可嘗試變形，即把不等式兩邊同乘以 12 ?n ，然后再證明 . (1)解
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