新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2篇(參考版)
2024-11-24 03:13本頁(yè)面
【正文】 2k+1xk(1+xk+1)(1+x)k+12x(1+xk)(1+x)k =(1+x)k［ (1+x)(1+xk+1)2x(1+xk)］ =(1+x)k(1+x+xk+1+xk+22x2xk+1) =(1+x)k(1x)(1xk+1), ∵ x0且 x≠1, ∴ 1x與 1xk+1同號(hào) . ∴ （ 1+x） k(1+ 21 +…+ k1 ) + 121 ???k k? +(k+1)（ 1+ 21 +…+ n1 ） ≥n2. 證明： 先看下面的證明 （ 1） n=1時(shí)，左邊 =右邊 =1,命題正確 . （ 2）假設(shè) n=k(k∈ N且 k≥1)命題正確，即 (1+2+…+k)假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，有 ak k2? 成立 .（下證 ak+1 12??k 成立） 設(shè) f(x)= xx?22 ,易知 f(x)在 (2,2)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又 ak+1f(ak),由歸納假設(shè) ,可知 ak k2? , ∴ ak+1f(ak)f( k2? )=1222)2(2??????kkk ,即當(dāng) n=k+1時(shí)， ak+112??k 成立 .故對(duì)任意 n∈ N，an n2? 成立 . 變式提升 2 設(shè) a,b∈ R*,n∈ N*,求證： 2 nn ba ? ≥( 2ba? )n. 證明： ① n=1時(shí)，左邊 =右邊 = 2ba? ,原不等式成立 . ② 設(shè) n=k時(shí) ,原不等式成立，即 2 kk ba ? ≥( 2ba? )k成立 . ∵ a,b∈ R+,∴ 2ba? (1+ 121?k )= 21 ( 12 112 ??? kk ). 現(xiàn) 在 關(guān) 鍵 證21 ( 12 112 ??? kk ) 1)1(221 ??k ,直接證較繁 ,下面用分析法證之 . 欲 證21（12 112 ??? kk） 1)1(221 ??k,即證 3212 112 ????? kkk,只需證 2k+1+121?k+22k+3,即121?k，故當(dāng) n=k+1時(shí)，原不等式成立 . 綜上，當(dāng) n為大于 1的自然數(shù)時(shí)，原不等式成立 . 溫馨提示 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，從 P(k)到 P(k+1)的過(guò)渡往往用到不等式的傳 遞性，即要證 n=k+1時(shí)不等式成立〔不妨用 A(k+1)≥B(k+1)表示〕，
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