【正文】 c+ck(y+x)(y－x).證明：（略）例3：平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任何三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)=n2－n+2個部分.分析要點：n=k+1時，在k+1個圓中任取一個圓C，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓C與k個圓有2k個交點，這2k個交點將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平面部分一分為二，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.證明：（略）三、鞏固練習(xí)：：（1） 求證: （n∈N*）.（2） 用數(shù)學(xué)歸納法證明： （Ⅰ）能被264整除； （Ⅱ）能被整除（其中n，a為正整數(shù)）（3） 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）xk+y2注：上例可讓學(xué)生獨立完成，教師板書寫現(xiàn)完整過程，以突出數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟。三、應(yīng)用舉例：例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)（k≥1,kN*）時，那么：，則當(dāng)時也成立。探究二：同學(xué)們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對怎樣證明有些啟發(fā)？ 得出結(jié)論：證明的兩個步驟：（1）證明當(dāng)時，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立。于是得出結(jié)論：學(xué)校里全部都是男同學(xué)，同學(xué)們說我的結(jié)論對嗎？（這顯然是一個錯誤的結(jié)論，說明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進而引出第二個問題）（2）完全歸納法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎樣驗證五根火柴都是紅色的呢？（將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進行驗證。=時，反序和等于同序和. （要點：理解其思想，記住其形式）三、應(yīng)用舉例：例1：設(shè)是n個互不相同的正整數(shù)，求證：. 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運用套用排序不等式？ 證明過程： 設(shè)是的一個排列，且，則. 又，由排序不等式，得 … 小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材P45 1題，求證：. 解答要點：由對稱性，假設(shè)，則，于是 ， 兩式相加即得.五、課堂小結(jié)：排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè)：教材P45 4題七、教學(xué)后記：第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課 題： 第01課時 數(shù)學(xué)歸納法（一）教學(xué)目標(biāo)：，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；2. 進一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想。+ (同序和)+ 2. 體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法教學(xué)重點：應(yīng)用排序不等式證明不等式教學(xué)難點：排序不等式的證明思路教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)準備：1. 提問： 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實例.二、講授新課：1. 教學(xué)排序不等式：① 看書：P41~P44. 如 如圖， 設(shè)，自點沿邊依次取個點， 邊依次取取個點，在邊取某個點與邊 某個點連接，得到，這樣一一搭配，一共可得到 個三角形。 2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。三、應(yīng)用舉例：例3 已知a1,a2,…,an都是實數(shù)，求證：分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個向量，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。（08廣一模） 5．已知a，b，c為正實數(shù)，且a+2b+c=1，求的最小值。四、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材P37 9題 練習(xí)：1．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=1，求的最小值。（）解：函數(shù)的定義域為【1，5】，且y0 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即時，函數(shù)取最大值課堂練習(xí)：1. 證明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2.,b是正實數(shù)，a+b=1，求證分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。R+ ∴ ∴1 m 2 即原式成立。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。教學(xué)重、難點：1．掌握證明不等式的兩種放縮技巧。四、課時小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。但對于一些較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。教學(xué)重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。例證明： （1）證明 （1） （2） （3） （4） （5）（5）顯然成立。這就證明了：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。為了證明上式成立，只需證明。設(shè)截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形為，截面積為。下面的證法二采用綜合法。例設(shè)，求證證法一 分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，. 由此命題得證。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。教學(xué)過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。六、教學(xué)后記：課 題：第02課時 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法教學(xué)目標(biāo)： 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為，根據(jù)題意有，可得，從而，其中都是正數(shù)，且。甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。例若實數(shù)，求證：證明：采用差值比較法： = = = =∴ ∴ 討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。四、課堂練習(xí)：解下列不等式： . . . 五、課后作業(yè)：課本20第9題。解：本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。方法1：分類討論。和型不等式的解法。第二種類型：設(shè)a為正數(shù)。主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義.含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。六、課后作業(yè)：課本P19第2，4，5題七．教學(xué)后記：課 題：　第05課時 絕對值不等式的解法教學(xué)目標(biāo)：1：理解并掌握型不等式的解法.2：掌握 型不等式的解法.教學(xué)重點：型不等式的解法.教學(xué)難點：把絕對值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式(組)來求解.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。⑵3．（1）、已知求證：。注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。這就是上面的例3。2．證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關(guān)鍵是要_____________________例2 ：如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？變式訓(xùn)練2 已知：長方體的全面積為定值Ｓ，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．由例題，我們應(yīng)該更牢記 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。教學(xué)重點：三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式教學(xué)難點：利用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題教學(xué)過程：一、知識學(xué)習(xí)：定理3：如果，那么。教學(xué)過程： 一、知識學(xué)習(xí)：定理1：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號）證明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2 當(dāng)a≠b時，（a－b）2＞0，當(dāng)a＝b時，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正數(shù)，那么 ≥（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“＝”號）證明：∵（）2＋（）2≥2∴a ＋b≥2 ，即 ≥顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，＝說明：1）我們稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4）幾何意義.二、例題講解：例1 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2； （2）如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值S2證明：因為x，y都是正數(shù)，所以 ≥ （1）積x