【導(dǎo)讀】若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連結(jié)CP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則PB＝2－x.∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，DO＝DM＝DA＝2，∴∠OAC＝∠AMD＝45°，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，∴DN＝ON＝1，AN＝AD＋DN＝3，又∵△AMN為等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，(Ⅲ)當(dāng)OD＝OM時(shí)，∵△OAC為等腰直角三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．。F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，如解圖①，分別以C，D為圓心，＋2a（4－a）.原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA＝3，

　　

【正文】 (0 ， 4 ) ， B ( － 1 ， 0 ) ． 設(shè)拋物線的表達(dá)式是 y ＝ ax2＋ bx ＋ x ， 則?????a － b ＋ c ＝ 0 ，16 a ＋ 4 b ＋ c ＝ 0 ，c ＝ 4 ， 解得?????a ＝－ 1 ，b ＝ 3 ，c ＝ 4. 則拋物線的表達(dá)式是 y ＝－ x2＋ 3 x ＋ 4. (2) 存在．如解圖 ① . 第一種情況 ， 當(dāng)以 C 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) C 作 CP1⊥ AC ， 交拋物線于點(diǎn)P1. 過(guò)點(diǎn) P1作 y 軸的垂線 ， 垂足是 M . ∵∠ ACP1＝ 90 176。 ， ∴∠ MCP1＋ ∠ ACO ＝ 90 176。 . ∵∠ ACO ＋ ∠ OAC ＝ 90 176。 ， ∴∠ MCP1＝ ∠ OAC . ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ MCP1＝ ∠ OAC ＝ 45 176。 ， ∴∠ MCP1＝ ∠ MP1C ， ∴ MC ＝ MP1. 設(shè)點(diǎn) P ( m ， － m2＋ 3 m ＋ 4) ， 則 m ＝－ m2＋ 3 m ＋ 4 － 4 ， 解得： m1＝ 0( 舍去 ) ， m2＝ 2. ∴ － m2＋ 3 m ＋ 4 ＝ 6 ， 即點(diǎn) P (2 ， 6 ) ． 第二種情況 ， 當(dāng)點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) A 作 AP2⊥ AC 交拋物線于點(diǎn)P2， 過(guò)點(diǎn) P2作 y 軸的垂線 ， 垂足是 N ， AP2交 y 軸于點(diǎn) F . ∴ P2N ∥ x 軸． ∵∠ CAO ＝ 45 176。 ， ∴∠ OAP ＝ 45 176。 ， ∴∠ FP2N ＝ 45 176。 ， AO ＝ OF . ∴ P2N ＝ NF . 設(shè)點(diǎn) P2( n ， － n2＋ 3 n ＋ 4) ， 則－ n ＝－ ( － n2＋ 3 n ＋ 4) － 4 ， 解得 n1＝－ 2 ， n2＝ 4( 舍去 ) ， ∴ － n2＋ 3 n ＋ 4 ＝－ 6 ， 則點(diǎn) P2的 坐標(biāo)是 ( － 2 ， － 6) ． 綜上所述 ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (2 ， 6 ) 或 ( － 2 ， － 6) ． ( 第 9 題圖解 ) (3) 如解圖 ② ，連結(jié) OD ，由題意可知，四邊形 OFDE 是矩形，則 OD ＝EF . 根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng) OD ⊥ AC 時(shí)， OD 最短，即 EF 最短． 由 (1) 可知，在 Rt △ AOC 中， OC ＝ OA ＝ 4 ， 則 AC ＝ OC2＋ OA2＝ 4 2 ， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)， D 是 AC 的中點(diǎn)． 又 ∵ DF ∥ OC ， ∴ DF ＝12OC ＝ 2 ， ∴ 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)是 2. 則－ x2＋ 3 x ＋ 4 ＝ 2 ， 解得 x ＝3177。 172， ∴ 當(dāng) EF 最短時(shí) ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是????????3 ＋ 172， 0 或????????3 － 172， 0 . 10 ． 已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 ， O 是坐標(biāo)原點(diǎn) ， 以 P (1 ， 1 ) 為圓心的 ⊙ P 與 x 軸 ， y 軸分別相切于點(diǎn) M 和點(diǎn) N ， 點(diǎn) F 從點(diǎn) M 出發(fā) ， 沿 x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng) ， 連結(jié) PF ， 過(guò)點(diǎn) PE ⊥ PF 交 y 軸于點(diǎn) E ，設(shè)點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t ( s )( t ＞ 0) ( 第 10 題圖 ) (1) 若點(diǎn) E 在 y 軸的負(fù)半軸上 ( 如圖所示 ) ， 求證： PE ＝ PF . (2) 在點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ， 設(shè) OE ＝ a ， OF ＝ b ， 試用含 a 的代數(shù)式表示 b . (3) 作點(diǎn) F 關(guān)于點(diǎn) M 的對(duì)稱點(diǎn) F ′， 經(jīng)過(guò) M ， E 和 F ′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， 連結(jié) QE . 在點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ， 是否存在某一時(shí)刻 ， 使得以點(diǎn) Q ， O ， E 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P ， M ， F 為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在 ， 請(qǐng)直接寫出 t 的值；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1) 證明：如解圖 ① ， 連結(jié) PM ， PN ， ∵⊙ P 與 x 軸 ， y 軸分別相切于點(diǎn) M 和點(diǎn) N ， ( 第 10 題圖解 ① ) ∴ PM ⊥ MF ， PN ⊥ ON ， 且 PM ＝ PN ， ∴∠ PMF ＝ ∠ PNE ＝ 90 176。 ， 且 ∠ NPM ＝ 90 176。. ∵ PE ⊥ PF ， ∴∠ NPE ＝ ∠ MPF ＝ 90 176。 － ∠ MPE . 在 △ PMF 和 △ PNE 中 ， ∵?????∠ NPE ＝ ∠ MPF ，PN ＝ PM ，∠ PNE ＝ ∠ PMF ， ∴△ PNE ≌△ PM F ( ASA ) ． ∴ PE ＝ PF . ( 2) ① 當(dāng) t ＞ 1 時(shí) ， 點(diǎn) E 在 y 軸的負(fù)半軸上 ， 如解圖 ① ， 由 (1) 得 △ PNE ≌△ PMF ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， PM ＝ PN ＝ 1 ， ∴ b ＝ OF ＝ OM ＋ MF ＝ 1 ＋ t ， a ＝ OE ＝ NE － ON ＝ t － 1 ， ∴ b － a ＝ 1 ＋ t － ( t － 1) ＝ 2 ， ∴ b ＝ 2 ＋ a . ② 0 ＜ t ≤ 1 時(shí) ， 如解圖 ② ， 點(diǎn) E 在 y 軸的正半軸或原點(diǎn)上 ， 同理可證△ PMF ≌△ PNE ， ∴ b ＝ OF ＝ OM ＋ MF ＝ 1 ＋ t ， a ＝ ON － NE ＝ 1 － t ， ∴ b ＋ a ＝ 1 ＋ t ＋ 1 － t ＝ 2 ， ∴ b ＝ 2 － a . ( 第 10 題圖解 ) (3) 分情況討論： ① 當(dāng) 0 ＜ t ＜ 1 時(shí) ， 如解圖 ③ . ∵ 點(diǎn) F (1 ＋ t ， 0 ) ， 點(diǎn) F 和點(diǎn) F ′關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱 ， ∴ 點(diǎn) F ′(1 － t ， 0 ) ． ∵ 經(jīng)過(guò) M ， E 和 F ′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， ∴ 點(diǎn) Q????????1 －12t ， 0 ， ∴ OQ ＝ 1 －12t . 由 (1) ， 得 △ PNE ≌△ PMF ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ 1 － t . 當(dāng) △ OEQ ∽△ MPF 時(shí) ， 有OEMP＝OQMF， ∴1 － t1＝1 －12tt， 無(wú)解． 當(dāng) △ OEQ ∽△ MFP 時(shí) ， 有OEMF＝OQMP， ∴1 － tt＝1 －12t1， 解得 t1＝ 2 － 2 ， t2＝ 2 ＋ 2 ( 舍去 ) ． ( 第 10 題圖解 ④ ) ② 如解圖 ④ ， 當(dāng) 1 ＜ t ＜ 2 時(shí) ， ∵ 點(diǎn) F (1 ＋ t ， 0 ) ， 點(diǎn) F 和點(diǎn) F ′關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱 ， ∴ 點(diǎn) F ′(1 － t ， 0 ) ． ∵ 經(jīng)過(guò) M ， E ， F ′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， ∴ 點(diǎn) Q????????1 －12t ， 0 ， ∴ OQ ＝ 1 －12t . 由 (1) 得 △ PNE ≌△ PMF ， ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ t － 1. 當(dāng) △ OEQ ∽△ MPF 時(shí) ， 有OEMP＝OQMF， ∴t － 11＝1 －12tt， 解得 t ＝1 ＋ 174或 t ＝1 － 174( 舍去 ) ； 當(dāng) △ OEQ ∽△ MFP 時(shí) ， 有OEMF＝OQMP， ∴t － 1t＝1 －12t1， 解得 t ＝ 2 或 t ＝－ 2 ( 舍去 ) ． ( 第 10 題圖解 ⑤ ) ③ 如解圖 ⑤ ，當(dāng) t ＞ 2 時(shí)， ∵ 點(diǎn) F (1 ＋ t ， 0) ，點(diǎn) F 和點(diǎn) F ′關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱， ∴ 點(diǎn) F ′(1 － t ， 0) ∵ 經(jīng)過(guò) M ， E ， F ′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， ∴ 點(diǎn) Q????????1 －12t ， 0 ， ∴ OQ ＝12t － 1 ， 由 (1) 得 △ PMF ≌△ PNE ∴ NE ＝ MF ＝ t ， ∴ OE ＝ t － 1. 當(dāng) △ OEQ ∽△ MPF 時(shí) ， 有OEMP＝OQMF， ∴t － 11＝12t － 1t， 無(wú)解； 當(dāng) △ OEQ ∽△ MFP 時(shí) ， 有OEMP＝O QMF， ∴t － 1t＝12t － 11， 解得 t ＝ 2177。 2 或 t ＝ 2 － 2 ( 舍去 ) ， 綜上所述 ， 當(dāng) t ＝ 2 － 2 ，1 ＋ 174， 2 ， 2 ＋ 2 時(shí) ， 使得以點(diǎn) Q ， O ， E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P ， M ， F 為頂點(diǎn)的三角形相似．