【正文】 2。f(x)dx(a206。R)(x)在點(diǎn)x處連續(xù), 則F162。(x)=f(x)(1)二、常用連續(xù)型分布均勻分布定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為236。1,axb239。 f(x)=237。ba239。0,其它238。則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布, 記為X~U(a,b).指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量X的概率密度為236。lelx,x0,f(x)=237。l0,~e(l).正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=1e2ps(xm)22s2,165。x165。.其中m和s(s0)都是常數(shù), ~N(m,s2).注: 正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布, 在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣, ，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用（作用微?。? 產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo), 元件的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高、體重, 測(cè)量誤差, 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差, 信號(hào)噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等, 正態(tài)分布當(dāng)m=0,s=1時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 此時(shí), 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用j(x)和F(x)表示: j(x)=121e, F(x)=2p2px2242。e165。xt22dt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于, 設(shè)X~N(m,s2),則Y=Xms~N(0,1).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了x0時(shí)F(x)的數(shù)值, 當(dāng)x0時(shí), 利用正態(tài)分布的對(duì)稱性, 易見有F(x)=1F(x)。（2）若X~N(0,1),則P{aX163。b}=F(b)F(a)。（3）若X~N(m,s2), 則Y=Xms~N(0,1), 故X的分布函數(shù)236。Xmxm252。230。xm246。F(x)=P{X163。x}=P237。163。247。253。=F231。s254。238。s232。s248。bm252。236。am230。bm246。230。am246。P{aX163。b}=P237。Y163。247。F231。247。.253。=F231。ssss238。254。232。248。232。248。例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為236。21x2,1163。x163。1239。f(x)=237。p239。0,其它238。求其分布函數(shù)F(x).例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度0163。x3,236。kx,239。x239。f(x)=237。2,3163。x163。4，,(1)確定常數(shù)k。(2)求X的分布函數(shù)F(x)。(3)求P{1X163。7/2}.例3（講義例2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為x163。0236。0,239。F(x)=237。x2,0x163。1239。1,1x238。求(1)概率P{X}。(2)均勻分布例4（講義例3）某公共汽車站從上午7時(shí)起, 每15分鐘來(lái)一班車, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站, 如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,例5（講義例4）某元件的壽命X服從指數(shù)分布, 已知其平均壽命為1000小時(shí)，求3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí), 例6（講義例5）設(shè)X~N(1,4), 求 F(5),P{0X163。},P{|X1|163。2}.例7 設(shè)某項(xiàng)競(jìng)賽成績(jī)X~N（65, 100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎(jiǎng)，問(wèn)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線應(yīng) 定為多少？例8（講義例6）將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在d℃，液體的溫度X（以℃計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且 X~N(d,)(1)若 d=90℃，求X小于89℃ 的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃，問(wèn)d至少為多少？例9（講義例7）某企業(yè)準(zhǔn)備通過(guò)招聘考試招收300名職工,其中正式工280人, 臨時(shí)工20人。報(bào)考的人數(shù)是1657人, , 考試總平均成績(jī), 即m=166分, , 問(wèn)他能否被錄取? 能否被聘為正式工?例10（講義例8）在電源電壓不超過(guò)200伏，在200~240伏和超過(guò)240伏三種情形下，(220，25)，試求：(1)該電子元件損壞的概率a。(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~課堂練習(xí)~N(8,)，求(1)F(9),F(7)。(3)P{|X8|163。1}。(2)P{163。X163。10}。(4)P{|X9|}.(m,s2), %, 為使其壽命在mx和m+, x至少為多少?第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布講解注意：一、隨機(jī)變量的函數(shù)定義 如果存在一個(gè)函數(shù)g(X), 使得隨機(jī)變量X,Y滿足: Y=g(X), : 在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí), 主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征, 例如:導(dǎo)數(shù)、, 我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征, , 對(duì)任意區(qū)間I, 令C={x|g(x)206。I}, 則{Y206。I}={g(x)206。I}={X206。C}, P{Y206。I}=P{g(x)206。I}=P{X206。C}.注: 隨機(jī)變量Y與X的函數(shù)關(guān)系確定,、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=xi}=pi,i=1,2,L易見, X的函數(shù)Y=g(X)? 其一般方法是：先根據(jù)自變量X的可能取值確定因變量Y的所有可能取值, 然后對(duì)Y的每一個(gè)可能取值yi,i=1,2,L,確定相應(yīng)的Ci={xj|g(xj)=yi},于是{Y=yi}={g(xi)=yi}={X206。Ci}，P{Y=yi}=P{X206。Ci}=xj206。Ci229。P{X=x}.、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地, 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量, 但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形, 此時(shí)我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù), (x)或概率密度函數(shù)fX(x), 則隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布函數(shù)可按如下方法求得: FY(y)=P{Y163。y}=P{g(X)163。y}=P{X206。Cy}.其中Cy={x|g(x)163。y}.而P{X206。Cy}常?？捎蒟的分布函數(shù)FX(x)來(lái)表達(dá)或用其概率密度函數(shù)fX(x)的積分來(lái)表達(dá):P{X206。Cy}=242。CyfX(x)dx進(jìn)而可通過(guò)Y的分布函數(shù)FY(x), 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),x206。(165。,+165。),又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)162。(x)0(或恒有g(shù)162。(x)0), 則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為236。f[h(y)|h162。(y)|,aybfY(y)=237。0,其它238。其中x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù), 且a=min(g(165。),g(+165。)),b=max(g(165。),g(+165。)).例題選講：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律, 試求Y=(X1)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2（講義例2）對(duì)一圓片直徑進(jìn)行測(cè)量, 其值在[5, 6]上均勻分布, ,0x4例3（講義例3）設(shè)X~fX(x)=237。, 求Y=2X+,其它238。例4 設(shè)X~N(0,1), 求Y=（講義例4）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù), 證明Y=F(X)服從[0,1]（講義例5）設(shè)隨機(jī)變量X~N(m,s2).試證明X的線性函數(shù)Y=aX+b(a185。0)（講義例6）設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布, 求Y=（講義例8）(對(duì)數(shù)正態(tài)分布)隨機(jī)變量X稱為服從參數(shù)為m,s2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布, 如果Y=lnX服從正態(tài)分布N(m,s2).： 在實(shí)際中, 通常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述價(jià)格的分布, 特別是在金融市場(chǎng)的理論研究中, 如著名的期權(quán)定價(jià)公式（Black—Scholes公式）, , 考慮單期投資問(wèn)題, 到期時(shí)該資產(chǎn)的價(jià)格為一個(gè)隨機(jī)變量, 記作P1, 設(shè)投資于該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合收益率為r, 則有rP1=P0e從而r=lnP1=lnP1lnP0 P0注意到P0為當(dāng)前價(jià)格, 是已知常數(shù),（講義例7）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布, 求Y=min{X,2}X10125/2pi1/51/101/101/103/10試求:(1)2X的分布列。(2)236。2x/p2,0xp,f(x)=237。,求Y=sinX的概率密度.