北師大版選修1-2高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明綜合測試-資料下載頁
2024-11-30 22:16本頁面
【導(dǎo)讀】時間120分鐘，滿分150分。1．有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”，[解析]大小前提都正確，其推理形式錯誤．故應(yīng)選C.[解析]令an＝n*1，則由得，an＋1＝an＋1，由得，a1＝1，∴{an}是首項a1＝1，公差為1的等差數(shù)列，∴an＝n，即n*1＝n，故選A.3．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應(yīng)下面圖中的，，，，則圖中，[解析]根據(jù)題意可知A對應(yīng)橫線，B對應(yīng)矩形，C對應(yīng)豎線，D對應(yīng)圓．故選B.4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想。a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×13，a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×16，由此猜想an＝2nn＋.的特點，則第100項為(). 所以nn＋2≤100即n(n＋1)≤200，③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
【正文】 19． (本題滿分 12分 )證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論． 2cosπ4 ＝ 2， 2cosπ8 ＝ 2＋ 2， 2cosπ16＝ 2＋ 2＋ 2， ?? [答案 ] 證明略，一般性結(jié)論為 2cosπ2n＋ 1＝ 2＋ 2＋ 2＋ ?n個根號 [解析 ] 2cosπ4 ＝ 2 22 ＝ 2， 2cosπ8 ＝ 21＋ cosπ42 ＝ 21＋ 222 ＝ 2＋ 2， 2cosπ16＝ 21＋ cosπ82 ＝ 21＋ 12 2＋ 22 ＝ 2＋ 2＋ 2 ? 歸納得出， 2cosπ2n＋ 1＝ 2＋ 2＋ 2＋ ?n個根號 . 20． (本題滿分 13分 )數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ 2an－ 3n(n∈ N*)． (1)求 {an}的通項公式； (2)數(shù)列 {an}中是否存在三項，它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由． [答案 ] (1)an＝ 32 n－ 3 (2)不存在，證明略 [解析 ] (1)a1＝ S1＝ 2a1－ 3，則 a1＝ 3. 由????? Sn＋ 1＝ 2an＋ 1－ n＋Sn＝ 2an－ 3n ?an＋ 1＝ Sn＋ 1－ Sn＝ 2an＋ 1－ 2an－ 3?an＋ 1＋ 3＝ 2(an＋ 3)， ∴ {an＋ 3}為等比數(shù)列，首項為 a1＋ 3＝ 6，公比為 2. ∴ an＋ 3＝ 62 n－ 1，即 an＝ 32 n－ 3. (2)假設(shè)數(shù)列 {an}中存在三項 ar， as， at(rst)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，且 arasat. ∴ 只能是 ar＋ at＝ 2at，即 3(2r－ 1)＋ 3(2t－ 1) ＝ 6(2s－ 1)． ∴ 2r＋ 2t＝ 2s＋ 1.∴ 1＋ 2t－ r＝ 2s＋ 1－ r.(*) ∵ rst， r， s， t均為正整數(shù)， ∴ (*)式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不可能成立． ∴ 數(shù)列 {an}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項． 21． (本題滿分 14分 )(2021 哈六中期中 )已知函數(shù) f(x)＝ (x－ 2)ex－ 12x2＋ x＋ 2. (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)證明：當(dāng) x≥1 時， f(x)16x3－ 12x. [解析 ] (1)f ′( x)＝ (x－ 1)(ex－ 1)， 當(dāng) x＜ 0或 x＞ 1時， f ′( x)＞ 0，當(dāng) 0＜ x＜ 1時， f ′( x)＜ 0， ∴ f(x)在 (－ ∞ ， 0)， (1，＋ ∞) 上單調(diào)遞增，在 (0,1)上單調(diào)遞減， 當(dāng) x＝ 0時， f(x)有極大值 f(0)＝ 0，當(dāng) x＝ 1時， f(x)有極小值 f(1)＝ 52－ e. (2)設(shè) g(x)＝ f(x)－ 16x3＋ 12x，則 g′( x)＝ (x－ 1)(ex－ x2－ 32)， 令 u(x)＝ ex－ x2－ 32，則 u′( x)＝ ex－ 12， 當(dāng) x≥1 時， u′( x)＝ ex－ 120， u(x)在 [1，＋ ∞) 上單調(diào)遞增， u(x)≥ u(1)＝ e－ 20， 所以 g′( x)＝ (x－ 1)(ex－ x2－ 32)≥0 ， g(x)＝ f(x)－ 16x3＋ 12x在 [1，＋ ∞) 上單調(diào)遞增． g(x)＝ f(x)－ 16x3＋ 12x≥ g(1)＝ 176 － e0， 所以 f(x)16x3－ 12x.
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