【導(dǎo)讀】B、平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，只是中心對(duì)稱圖形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正方形的對(duì)角線相等且互相垂直，所以C選正確；形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．。A．45°B．55°C．60°D．75°又∵△ADE是等邊三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故選：C．。4．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，7．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB. 由勾股定理的，AB===5，∴OA⊥BC，故①正確；∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴BC=2BE=6cm，故②正確；動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→D→Q運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度相同．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，

　　

【正文】 ∠ D=∠ ABC， AB=CD， 又∵ E、 F分別是邊 AB、 CD 的中點(diǎn)，∴ DF=BE，∴ △ ADF∽≌△ CBE； 四邊形 AECF為菱形；∵矩形 AGBC，∴∠ ACB=90176。 ，又∵ E為 AB中點(diǎn)， ∴ CE=21AB=AE，同理 AF=FC，∴ AF=FC=CE=EA，∴四邊形 AECF為菱形 ． 17.（ 2021黑龍江齊齊哈爾一模）如圖，矩形 ABCD 中， AD=5， AB=3，在 BC 邊上取一點(diǎn)E，使 BE=4，連結(jié) AE，沿 AE剪下△ ABE，將它平移至△ DCF的位置，拼成四邊形 AEFD． （ 1）求證 :四邊形 AEFD是菱形； （ 2）求四邊形 AEFD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng) . 答案： （ 1）證明：∵△ ABE平移至△ DCF的位置 . ∴△ ABE≌△ DCF. ∴ BE=CF ∵四邊形 ABCD為矩形 . ∴ AD∥ BC， AD=BC，∠ B=90176。. ∴ EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD. ∴四邊形 AEFD為平行四邊形 . 在 Rt△ ABE中，根據(jù)勾股定理得： AE=2 2 2 2A B B E 3 4 5? ? ? ? ∵AD=5, ∴AD=AE. ∴ 四邊形 AEFD為菱形 . （ 2）連結(jié) DE、 AF. 求出 DE=10. 求出 AF=310. 18.（ 2021湖北襄陽(yáng)一模） (本題 11分）如 圖，在正方形 ABCD中， AB=5， P是 BC邊上任意一點(diǎn)， E 是 BC 延長(zhǎng) 線上一點(diǎn)，連接 AP，作 PF⊥ AP，使 PF＝ PA，連接 CF， AF， AF 交CD邊于點(diǎn) G，連接 PG． （ 1）求證：∠ GCF＝∠ FCE； （ 2）判斷線段 PG， PB與 DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3）若 BP＝ 2，在直線 AB 上是否存在一點(diǎn) M，使四 邊形 DMPF是平行四邊形，若存在，求出 BM的 長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由． 答案： （ 1）證明：過(guò)點(diǎn) F作 FH⊥ BE于點(diǎn) H， ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴∠ ABC＝∠ PHF＝∠ DCB＝ 90186。,AB＝ BC， ∴∠ BAP＋∠ APB＝ 90186。 ∵ AP⊥ PF, ∴∠ APB＋∠ FPH＝ 90186。 ∴∠ FPH＝∠ BAP 又∵ AP＝ PF ∴△ BAP≌△ HPF ∴ PH＝ AB， BP＝ FH ∴ PH＝ BC ∴ BP＋ PC＝ PC＋ CH ∴ CH＝ BP＝ FH 而∠ FHC＝ 90186。. ∴∠ FCH＝ CFH＝ 45186。 ∴∠ DCF＝ 90186。－ 45186。＝ 45186。 ∴∠ GCF＝∠ FCE AB CDEFGP AB CDEFGP H K M （ 2） PG＝ PB＋ DG 證明：延長(zhǎng) PB至 K，使 BK=DG, ∵四邊形 ABCD是正方形 ∴ AB=AD, ∠ ABK＝ ADG=90186。 ∴△ ABK≌△ ADG ∴ AK=AG, ∠ KAB＝∠ GAD, 而∠ APF=90 186。,AP=PF ∴∠ PAF＝∠ PFA＝ 45 186。 ∴∠ BAP＋∠ KAB＝∠ KAP＝ 45 186。＝∠ PAF ∴△ KAP≌△ GAP ∴ KP=PG, ∴ KB＋ BP=DG＋ BP＝ PG 即， PG＝ PB＋ DG； （ 3）存在 . 如圖，在直線 AB上取一點(diǎn) M，使四邊形 DMPF是平行四邊形， 則 MD∥ PF，且 MD＝ FP， 又∵ PF=AP， ∴ MD=AP ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=AD，∠ ABP=∠ DAM ∴△ ABP≌△ DAM ∴ AM＝ BP=2， ∴ BM＝ AB－ AM=5－ 2=3. ∴當(dāng) BM=3， BM+AM=AB時(shí)，四邊形 DMPF是平行四邊形． 19.（ 2021廣東一 模） （ 本題滿分 10分）定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，樂(lè)老師給出如下定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點(diǎn)（小 正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)诜礁駡D中畫(huà)出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)， AB、 BC為邊的兩個(gè)對(duì)等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， AB是⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對(duì)等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中，∠ PCB=90176。 ， BC=11， tan∠ PBC= ，點(diǎn) A在 BP邊上，且 AB=13．用圓規(guī)在 PC上找到符合條件的點(diǎn) D，使四邊形 ABCD為對(duì)等四邊形，并求出 CD的長(zhǎng)． 解：（ 1）如圖 1所示（畫(huà) 2個(gè)即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD，∵ AB是⊙ O的直徑 ，∴∠ ADB=∠ ACB=90176。 ， 在 Rt△ ADB和 Rt△ ACB中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB，∴ AD=BC， 又∵ AB是⊙ O的直徑，∴ AB≠ CD，∴四邊形 ABCD是對(duì)等四邊形． （ 3）如圖 3，點(diǎn) D的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時(shí)點(diǎn) D在 D1的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn) D在 D D3的位置， AD2=AD3=BC=11， 過(guò)點(diǎn) A分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設(shè) BE=x，∵ tan∠ PBC= ，∴ AE= ， 在 Rt△ ABE中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12，∴ CE=BC﹣ BE=6， 由 四 邊 形 AECF 為 矩 形 ， 可 得 AF=CE=6 ， CF=AE=12 ，在 Rt △ AFD2 中，∴ ， ， 綜上所述， CD的長(zhǎng)度為 1 12﹣ 或 12+ ． 20.（ 2021廣東東莞聯(lián)考）在由 m n（ m n＞ 1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù) f， （ 1）當(dāng) m、 n互質(zhì)（ m、 n除 1外無(wú)其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表： m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：當(dāng) m、 n互質(zhì)時(shí)，在 m n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、n的關(guān)系式是 f=m+n﹣ 1 （不需要證明）； （ 2）當(dāng) m、 n不互質(zhì)時(shí)，請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立． 【考點(diǎn)】 作圖 — 應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】 （ 1）通過(guò)觀察即可得出當(dāng) m、 n互質(zhì)時(shí)，在 m n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、 n的關(guān)系式， （ 2）當(dāng) m、 n不互質(zhì)時(shí)，畫(huà)出圖即可驗(yàn) 證猜想的關(guān)系式不成立． 【解答】 解：（ 1）表格中分別填 6， 6 m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 6 3 4 7 6 f與 m、 n的關(guān)系式是： f=m+n﹣ 1． 故答案為： f=m+n﹣ 1． （ 2） m、 n不互質(zhì)時(shí)，猜想的關(guān)系 式不一定成立，如下圖： ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是通過(guò)觀察表格，總結(jié)出一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、 n的關(guān)系式，要注意 m、 n互質(zhì)的條件． 21.（ 2021廣東東莞聯(lián)考）如圖，△ OBD中， OD=BD，△ OBD繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ OAC，此 時(shí) B， D， C三點(diǎn)正好在一條直線上，且點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn)． （ 1）求∠ COD度數(shù)； （ 2）求證：四邊形 ODAC是菱形． 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】 （ 1）如圖，根據(jù)題意證明△ OBC 為直角三角形，結(jié)合 OC= ，求出 ∠ B 即可解決 問(wèn)題． （ 2）首先證明 AC∥ OD，結(jié)合 AC=OD，判斷四邊形 ADOC為平行四邊形，根據(jù)菱形的定義即可解決問(wèn)題． 【解答】 解：（ 1）如圖，由題意得： OC=OD=BD； ∵點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn)， ∴ CD=BD， OD=BC， ∴△ OBC為直角三角形，而 OC= ， ∴∠ B=30176。 ，∠ OCD=90176。 ﹣ 30176。 =60176。 ，； ∵ OD=CD， ∴∠ COD=∠ OCD=60176。 ． （ 2）∵ OD=BD， ∴∠ DOB=∠ B=30176。 ， 由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知： ∠ COA=∠ CAO=∠ B=30176。 ， ∴∠ AOD=90176。 ﹣ 2 30176。 =30176。 ， ∴∠ CAO=∠ AOD=30176。 ， ∴ AC∥ OD，而 AC=OD， ∴四邊形 ADOC為平行四邊形，而 OC=OD， ∴四邊形 ODAC是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的判定、菱形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的 判定、菱形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)，并能靈活運(yùn)用． 22.（ 2021廣東東莞聯(lián)考）如圖 1，將菱形紙片 AB（ E） CD（ F）沿對(duì)角線 BD（ EF）剪開(kāi)，得 到 △ ABD 和△ ECF ， 固 定 △ ABD ，并把△ ABD 與△ ECF 疊 放 在 一起． （ 1）操作：如圖 2，將△ ECF 的頂點(diǎn) F 固定在△ ABD 的 BD 邊上的中點(diǎn)處，△ ECF繞點(diǎn) F 在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí) FC交 BA于點(diǎn) H（ H點(diǎn)不與 B點(diǎn)重合）， FE交 DA于點(diǎn) G（ G點(diǎn) 不與 D點(diǎn)重合）． 求證： BH?GD=BF2 （ 2）操作：如圖 3，△ ECF的頂點(diǎn) F在△ ABD 的 BD邊上滑動(dòng)（ F 點(diǎn)不與 B、 D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，過(guò)點(diǎn) A作 AG∥ CE，交 FE于點(diǎn) G，連接 DG． 探究： FD+DG= DB ．請(qǐng)予證明． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出△ BFH∽△ DGF，即可得出答案； （ 2）利用已知以及平行線的性質(zhì)證明△ ABF≌△ ADG，即可得出 FD+DG的關(guān)系． 【解答】 證明：（ 1）∵將菱形紙片 AB（ E） CD（ F）沿對(duì)角線 BD（ EF）剪開(kāi)， ∴∠ B=∠ D， ∵將△ ECF的頂點(diǎn) F固定 在△ ABD的 BD邊上的中點(diǎn)處，△ ECF繞點(diǎn) F在 BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)， ∴ BF=DF， ∵∠ HFG=∠ B， 又∵∠ HFD=∠ HFG+∠ GFD=∠ B+∠ BHF ∴∠ GFD=∠ BHF， ∴△ BFH∽△ DGF， ∴ ， ∴ BH?GD=BF2； （ 2 ）∵ AG ∥ CE ， ∴∠ FAG=∠ C， ∵∠ CFE=∠ CEF， ∴∠ AGF=∠ CFE， ∴ AF=AG， ∵∠ BAD=∠ C， ∴∠ BAF=∠ DAG， 又∵ AB=AD， ∴△ ABF≌△ ADG， ∴ FB=DG， ∴ FD+DG=BD， 故答案為： BD． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似 三角形的判定以及全等三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ BAF=∠ DAG是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 23.（ 2021廣東河源一 模） 已知一張矩形紙片 OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（ 11， 0）， B（ 0， 6），點(diǎn) P為 BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P不與點(diǎn) B， C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn) O、 P折疊該紙片，得點(diǎn) B′和折痕OP．設(shè) BP＝ t 。 （ 1）如圖①，當(dāng)∠ BOP＝ 30176。時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 再次折疊紙片，使點(diǎn) C 落在直線 PB′上，得點(diǎn) C′和折痕 PQ，若AQ＝ m，試用含有 t的式子表示 m； （ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng)點(diǎn) C′恰好落在邊 OA上時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。（直接寫(xiě)出結(jié)果即可） 解：（ 1）根據(jù)題意，有∠ OBP = 90176。， OB = 6， 在 R