【導(dǎo)讀】分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.如圖10-1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長(zhǎng)；如圖10-2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿AFB?一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b(單位:cm,0ab?為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AFCFxcm??相平行的對(duì)應(yīng)邊上.ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí),AQCP?iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí),APCQ?動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，于M，交邊AB的延長(zhǎng)線于N.當(dāng)6CP?于F，G，如圖2，則可得：DFDEFCEP?和EG的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值.請(qǐng)按照小明的思路寫(xiě)出求解過(guò)程.小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了DPMN?的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論。如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：作MH∥BC交AB于點(diǎn)H，················5分

　　

【正文】 8 分 ∴BFAPBFPB?， 9 分 ∴ PB＝ AP， ∴當(dāng)21?ABAP時(shí)，△ PFE∽△ BFP. 10分 34. （ 2020湖南永州 ， 25， 10分）探究問(wèn)題： ⑴ 方法感悟： 如圖 ① ，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E， F分別為 DC， BC邊上的點(diǎn)，且滿足 ∠ EAF=45176。 ，連接 EF，求證 DE+BF=EF． 感悟解題方法，并完成下列填空： 將 △ ADE繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 得到 △ ABG，此時(shí) AB與 AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得： AB=AD,BG=DE, ∠ 1=∠ 2， ∠ ABG=∠ D=90176。, ∴∠ ABG+∠ ABF=90176。+90176。=180176。 ， 因此，點(diǎn) G， B， F在 同一條直線上． ∵∠ EAF=45176。 ∴∠ 2+∠ 3=∠ BAD∠ EAF=90176。 45176。=45176。 ． ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1+∠ 3=45176。 ． 即 ∠ GAF=∠ _________． 又 AG=AE， AF=AF ∴△ GAF≌ _______． ∴ _________=EF，故 DE+BF=EF． ⑵ 方法遷移： 如圖 ② ，將 ABCRt? 沿斜邊翻折得到 △ ADC，點(diǎn) E， F分別為 DC， BC邊上的點(diǎn)，且 ∠ EAF=21∠DAB．試猜想 DE， BF， EF 之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想． ⑶ 問(wèn)題拓展： 如圖 ③ ，在四邊形 ABCD中， AB=AD， E， F 分別為 DC,BC 上的點(diǎn)，滿足 DABEAF ??? 21 ,試猜想當(dāng) ∠ B與 ∠ D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得 DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）． 321GEFDCBA（ 第 25 題）① EFDCBA（ 第 25 題 ）② 【答案】 ⑴ EAF、 △ EAF、 GF． ⑵ DE+BF=EF，理由如下： 假設(shè) ∠ BAD的度數(shù)為 m ，將 △ ADE繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?m 得到 △ ABG，此時(shí) AB與 AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得： AB=AD,BG=DE, ∠ 1=∠ 2， ∠ ABG=∠ D=90176。, ∴∠ ABG+∠ ABF=90176。+90176。=180176。 ， 因此，點(diǎn) G， B， F在同一條直線上． ∵∠ EAF= ?m21 ∴∠ 2+∠ 3=∠ BAD∠ EAF= ????? mmm2121 ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1+∠ 3= ?m21． 即 ∠ GAF=∠ EAF 又 AG=AE， AF=AF ∴△ GAF≌△ EAF． ∴ GF=EF， 又 ∵ GF=BG+BF=DE+BF ∴ DE+BF=EF． ⑶ 當(dāng) ∠ B與 ∠ D互補(bǔ)時(shí)，可使得 DE+BF=EF． 35. （ 2020江蘇鹽城， 27， 12分） 情境觀察 321GEFDCBA（ 第 25 題 ）②解得圖 EFDCBA（ 第 25 題 ）③ 將 矩形 ABCD 紙片 沿對(duì)角線 AC 剪開(kāi)，得到 △ ABC 和 △ A′ C′D ，如圖 1 所示 .將△ A′ C′D 的頂點(diǎn) A′ 與點(diǎn) A重合，并 繞點(diǎn) A按 逆時(shí)針 方向 旋轉(zhuǎn) ，使點(diǎn) D、 A(A′ )、 B在同一條直線上，如圖 2所示． 觀察圖 2可知：與 BC相等的線段是 ▲ ，∠ CAC′ = ▲ 176。． 問(wèn)題探究 如圖 3， △ ABC中， AG⊥ BC于 點(diǎn) G， 以 A為直角頂點(diǎn)， 分別以 AB、 AC為 直角 邊 ， 向 △ ABC外作等腰 Rt△ ABE和等腰 Rt△ ACF， 過(guò)點(diǎn) E、 F作射線 GA的垂線，垂足分別為 P、 Q. 試探究 EP與 FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . 拓展 延伸 如圖 4， △ ABC 中， AG⊥ BC 于 點(diǎn) G，分別以 AB、 AC 為一邊向 △ ABC 外 作矩形 ABME和矩形 ACNF， 射 線 GA交 EF于點(diǎn) H. 若 AB= k AE， AC= k AF， 試探 究 HE與 HF之間 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由 . 【答案】 情境觀察 圖 4 MNGFECBAH圖 3 AB CEFGPQ圖 1 圖 2 C 39。A 39。BAD CA BCDBCD A ( A 39。 )C 39。AD（或 A′ D） ， 90 問(wèn)題探究 結(jié)論： EP=FQ. 證明： ∵△ ABE是等腰三角形，∴ AB=AE，∠ BAE=90176。 . ∴∠ BAG+∠ EAP=90176。 .∵ AG⊥ BC，∴∠ BAG+∠ ABG=90176。，∴∠ ABG=∠ EAP. ∵ EP⊥ AG，∴∠ AGB=∠ EPA=90176。，∴ Rt△ ABG≌ Rt△ EAP. ∴ AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴ EP=FQ. 拓展 延伸 結(jié)論： HE=HF. 理由：過(guò)點(diǎn) E作 EP⊥ GA， FQ⊥ GA，垂足分別為 P、 Q. QPHAB CEFGNM ∵四 邊形 ABME是矩形，∴∠ BAE=90176。， ∴∠ BAG+∠ EAP=90176。 .AG⊥ BC，∴∠ BAG+∠ ABG=90176。， ∴∠ ABG=∠ EAP. ∵∠ AGB=∠ EPA=90176。，∴△ ABG∽△ EAP，∴ AGEP = ABEA. 同理△ ACG∽△ FAQ，∴ AGFP = ACFA. ∵ AB= k AE， AC= k AF，∴ ABEA = ACFA = k，∴ AGEP = AGFP. ∴ EP=FQ. ∵∠ EHP=∠ FHQ，∴ Rt△ EPH≌ Rt△ FQH. ∴ HE=HF. 36. (20201江蘇鎮(zhèn)江 ,23,7分 )已知 :如圖 ,在梯形 ABCD中 AB∥ CD,BC=CD,AD⊥ BD,E為 AB中點(diǎn) , 求證 :四邊形 BCDE是菱形 . 答案 :證明：∵ AD⊥ BD， ∴∠ ADB=90176。 又 E為 AB中點(diǎn)，∴ DE=12AB,BE=12AB, ∴ DE=BE ∴∠ DBE =∠ EDB 又 AB∥ CD, ∴∠ BDC =∠ EDB ∵ BC=CD, ∴∠ DBC =∠ DBC ∴ BC∥ DE. ∵ EB∥ CD ∴四邊形 BCDE是平行四邊形 ∵ BC=CD ∴四邊形 BCDE是菱形。 37. (20201 江蘇鎮(zhèn)江 ,25,6 分 )已知 :如圖 1,圖形①滿足 :AD=AB,MD=MB, ∠ A=72176。 , ∠M=144176。 .圖形②與圖形①恰好拼成一個(gè)菱形 (如圖 2).記作 AB的長(zhǎng)度為 a,BM的長(zhǎng)度為 b. (1)圖中①中∠ B=___度 ,圖中②中∠ E=____度 . (2)小明有兩種紙片各若干張 ,其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同 ,這咱紙片稱(chēng)為“風(fēng)箏一號(hào)”另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同 ,這種紙片稱(chēng)為“飛鏢一號(hào)” . ①小明僅有“ ,風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為 b的正十邊形 ,需要這種紙片 ____張 。 ②小明用若干張“風(fēng)箏一號(hào)”和 “飛鏢一號(hào)”紙片拼成一個(gè)“大風(fēng)箏” (如圖 3),其中 ∠ P=72176。 , ∠ Q=144176。 ,PI=PJ=a+b,IQ=跡 .(本題中均為無(wú)重疊、無(wú)縫隙拼接 ) 【答案】（ 1）∠ B=72176。，∠ E=36176。 （ 2） 5個(gè)； （ 3）圖略 38. （ 2020貴州安順， 25， 10分） 如圖，在△ ABC中，∠ ACB=90176。， BC的垂直平分線 DE交 BC于 D，交 AB于 E， F在 DE上，且 AF=CE=AE． ⑴說(shuō)明四邊形 ACEF是平行四邊形； ⑵當(dāng)∠ B滿足什么條件時(shí)，四邊形 ACEF是菱形，并說(shuō)明理由 ． 【答案】 （ 1）證明：由題意知∠ FDC =∠ DCA = 90176。．∴ EF∥ CA ∴∠ AEF =∠ EAC ∵ AF = CE = AE ∴∠ F =∠ AEF =∠ EAC =∠ ECA 又 ∵ AE = EA ∴△ AEC≌△ EAF，∴ EF = CA，∴四邊形 ACEF是平行四邊形 ． （ 2）當(dāng)∠ B=30176。時(shí)，四邊形 ACEF是菱形 ． 理由是： ∵ ∠ B=30176。，∠ ACB=90176。，∴ AC= AB21 ， ∵ DE 垂直平分 BC， ∴ BE=CE 又 ∵ AE=CE， ∴ CE= AB21 ，∴ AC=CE，∴四邊形 ACEF是菱形 ． 39. （ 2020河北， 23， 9分）如圖 12，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) E,K分別在 BC,AB上，點(diǎn)G在 BA的延長(zhǎng)線上，且 CE=BK=AG. (1)求證：① DE=EG。 ② DE⊥ EG； （ 2）尺規(guī)作圖：以線段 DE， DG 為邊作出正方形 DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）； （ 3）連接（ 2）中的 KF，猜想并寫(xiě)出四邊形 CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想； （ 4）當(dāng) n1?CBCE 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DEFGABCDSS正方形正方形 的值 . 第 25 題圖 圖 12B CA DGEK 【答案】 （ 1）證明：∵四邊形 ABCD 是正方形，∴ DC=DA，∠ DCE=∠ DAG=90176。，又∵ CE=AG，∴△ DCE≌△ DAG,∴∠ EDC=∠ GDA,DE=∵∠ ADE+∠ EDC=90176。，∴∠ ADE+∠ GDA=90176。 ,∴ DE⊥ DG. （ 2）如圖 MFB CA DGEK (3)四邊形 CEFK為平行四邊形。 證明：設(shè) CK,DE 相交于 M 點(diǎn)，∵四邊形 ABCD 和四邊形 DEFG 都是正方形，∴ AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥ DG?！?BK=AG,∴ KG=AB=CD,∴四邊形 CKGD 為平行四邊形。∴CK=DG=EF,CK∥ DG.∴∠ KME=∠ GDE=∠ DEF=90176。 .∴∠ KME+∠ DEF=180176。 ,∴ CK∥ EF,∴四邊形CKEF為平行四邊形。 （ 4）DEFGABCDSS正方形正方形 = 1nn22? 40. （ 2020湖南湘潭市， 24， 8分）（本題滿分 8分） 兩個(gè)全等的直角三角形重疊放在直線 l 上，如圖⑴， AB=6cm， BC=8cm， ∠ ABC=90176。，將 Rt△ ABC在直線 l 上左右平移，如圖⑵所示 . ⑴ 求證：四邊形 ACFD是平行四邊形 。 ⑵ 怎樣移動(dòng) Rt△ ABC，使得四邊形 ACFD為菱形 。 ⑶ 將 Rt△ ABC向左平移 cm4 ，求四邊形 DHCF的面積 . 【答案】 （ 1）證明 ：∵△ ABC≌△ DEF，∴ AC=DF,∠ ACB=∠ DFE，∴ AC∥ DF， ∴四邊形 ACFD是平行四邊形； （ 2）在 Rt△ ABC中，由勾股定理得 AC=10cm，要使四邊形 ACFD為菱形，則 AC=CF， ∴可將 Rt△ ABC向左平移 10cm或向右平移 10cm； （ 3）在 Rt△ ABC中， 63ta n 84ABA C B BC? ? ? ?． ∴當(dāng) Rt△ ABC向左平移 cm4 時(shí)， EC=BCBE=84=4（ cm）， 在 Rt△ HEC中， 3ta n 4 34H E E C A C B? ? ? ? ?． ∴四邊形 DHCF的面積為： 118 6 4 3 1 822? ? ? ? ? ?cm2． 41. （ 2020湖北荊州， 19， 7分）（本題滿分 7分）如圖， P是矩形 ABCD下方一點(diǎn)，將△ PCD繞 P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。后恰好 D點(diǎn)與 A點(diǎn)重合，得到△ PEA，連接 EB，問(wèn)△ ABE是什么特殊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由 . DC BAPE 【答案】 △ABE 是等邊三角形，理由如下： 因?yàn)?△PEA 是將 △PCD 繞 P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 后得到的 所以 △PEA≌△PCD ，且 AE與 DC所夾的銳角為 60176。 所以 AE＝ DC 又因?yàn)樗倪呅?ABCD是矩形 所以 DC＝ AB且 DC∥AB 所以 AE＝ AB且 ∠EAB ＝ 60176。 所以 △ABE 是等邊三角形 . l 圖 (1) A(D) B(E) C(F) D l 圖 (2) F E C B A H