【正文】 CEF=15176。，∴∠EFH=75176。，∵∠AFE=60176。，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15176。，∵∠AFC=45176。，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30176。，在RT△CHF中，∵∠CFH=30176。，CF=2﹣2，∴FH=CF?cos30176。=（2﹣2）?=3﹣．∴點F到BC的距離為3﹣．【點評】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．5．（2016海南）如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4﹣．①求KD的長度；②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設(shè)PD=m，當(dāng)S△PMN=時，求m的值．【考點】四邊形綜合題；全等三角形的判定；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）①先根據(jù)AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據(jù)等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質(zhì)，得出結(jié)論BG=AB+AK；（2）①先根據(jù)等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設(shè)AB=a，根據(jù)AK=FG列出關(guān)于a的方程，求得a的值，進(jìn)而計算KD的長；②先過點G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根據(jù)四邊形PMGN是平行四邊形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表達(dá)式，最后根據(jù)等量關(guān)系S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出關(guān)于m的方程，求得m的值即可．【解答】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO∵點O是BD的中點∴DO=BO∴△DOK≌△BOG（AAS）②∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90176。，AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45176?！郃B=BF∵OK∥AF，AK∥FG∴四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG∵BG=BF+FG∴BG=AB+AK（2）①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG，AF=KG又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG∴AF=KG=KD=BG設(shè)AB=a，則AF=KG=KD=BG=a∴AK=4﹣﹣a，F(xiàn)G=BG﹣BF=a﹣a∴4﹣﹣a=a﹣a解得a=∴KD=a=2②過點G作GI⊥KD于點I由（2）①可知KD=AF=2∴GI=AB=∴S△DKG=2=∵PD=m∴PK=2﹣m∵PM∥DG，PN∥KG∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN∴，即S△DPN=（）2同理S△PKM=（）2∵S△PMN=∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM∴2=﹣（）2﹣（）2，即m2﹣2m+1=0解得m1=m2=1∴當(dāng)S△PMN=時，m的值為1【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題時需要運用全等三角形的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質(zhì)，并根據(jù)圖形面積的等量關(guān)系列出方程進(jìn)行求解，難度較大，具有一定的綜合性．6．（2016河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90176。，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E．（1）求證：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時，DE=　2??；②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為　60176?！r，四邊形ODME是菱形．【考點】菱形的判定．【分析】（1）先證明∠A=∠ABM，再證明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解決問題．（2）①由DE∥AB，得=即可解決問題．②當(dāng)∠A=60176。時，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．【解答】（1）證明：∵∠ABC=90176。，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADE+∠ABE=180176。，又∠ADE+∠MDE=180176。，∴∠MDE=∠MBA，同理證明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴=，∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE=AB=6=2．故答案為2．②當(dāng)∠A=60176。時，四邊形ODME是菱形．理由：連接OD、OE，∵OA=OD，∠A=60176。，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60176。，∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60176。，∠MDE=∠MED=∠A=60176。，∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四邊形OEMD是菱形．故答案為60176。．【點評】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，記住菱形的三種判定方法，屬于中考常考題型．7. （2016四川內(nèi)江）(9分)如圖6所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF．(1)求證：D是BC的中點；(2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．DCEFBA圖6[考點]三角形例行，特殊四邊形的性質(zhì)與判定。(1)證明：∵點E是AD的中點，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．∴△EAF≌△EDC． 3分∴AF＝DC．∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點． 5分(2)四邊形AFBD是矩形．證明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形． 7分∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中點，∴AD⊥BC．∴□AFBD是矩形． 9分8.（2016黑龍江哈爾濱8分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根據(jù)已知條件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷分析．【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90176。，即∠BAQ+∠DAP=90176?！逥P⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90176?！唷螧AQ=∠ADP∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P∴∠AQB=∠DPA=90176。∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ9．（2016廣西南寧）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60176。，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60176。．（1）如圖1，當(dāng)點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15176。時，求點F到BC的距離．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)FH=CF?cos30176。，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題．【解答】（1）解：結(jié)論AE=EF=AF．理由：如圖1中，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60176。，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60176。，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60176。∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30176。，AE⊥BC，∵∠EAF=60176。，∴∠CAF=∠DAF=30176。，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF．（2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60176。，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，∵∠EAB=15176。，∠ABC=60176。，∴∠AEB=45176。，在RT△AGB中，∵∠ABC=60176。AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45176。，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45176。，∵∠EAF=60176。，AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=∠AFE=60176?！摺螦EB=45176。，∠AEF=60176。，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15176。，在RT△EFH中，∠CEF=15176。，∴∠EFH=75176。，∵∠AFE=60176。，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15176。，∵∠AFC=45176。，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30176。，在RT△CHF中，∵∠CFH=30176。，CF=2﹣2，∴FH=CF?cos30176。=（2﹣2）?=3﹣．∴點F到BC的距離為3﹣．【點評】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．10．（2016海南）如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4﹣．①求KD的長度；②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設(shè)PD=m，當(dāng)S△PMN=時，求m的值．【考點】四邊形綜合題；全等三角形的判定；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）①先根據(jù)AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據(jù)等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質(zhì)，得出結(jié)論BG=AB+AK；（2）①先根據(jù)等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設(shè)AB=a，根據(jù)AK=FG列出關(guān)于a的方程，求得a的值，進(jìn)而計算KD的長；②先過點G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根據(jù)四邊形PMGN是平行四邊形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表達(dá)式，最后根據(jù)等量關(guān)系S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出關(guān)于m的方程，求得m的值即可．【解答】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO∵點O是BD的中點∴DO=BO∴△DOK≌△BOG（AAS）②∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90176。，AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45176?！郃B=BF∵OK∥AF，AK∥FG∴四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG∵BG=BF+FG∴BG=AB+AK（2）①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG，AF=KG又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG∴AF=KG=KD=BG設(shè)AB=a，則AF=KG=KD=BG=a∴AK=4﹣﹣a，F(xiàn)G=BG﹣BF=a﹣a∴4﹣﹣a=a﹣a解得a=∴KD=a=2②過點G作GI⊥KD于點I由（2）①可知KD=AF=2∴GI=AB=∴S△DKG=2=∵PD=m∴PK=2﹣m∵PM∥DG，PN∥KG∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN∴，即S△DPN=（）2同理S△PKM=（）2∵S△PMN=∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM∴2=﹣（）2﹣（）2，即m2﹣2m+1=0解得m1=m2=1∴當(dāng)S△PMN=時，m的值為1【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題時需要運用全等三角形的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質(zhì)，并根據(jù)圖形面積的等量關(guān)系列出方程進(jìn)行求解，難度較大，具有一定的綜合性．11．（2016河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90176。，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E．（1）求證：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時，DE=　2??；②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為　60176?！r，四邊形ODME是菱形．【考點】菱形的判定．【分析】（1）先證明∠A=∠ABM，再證明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解決問題．（2）①由DE∥AB，得=即可解決問題．②當(dāng)∠A=60176。時，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．【解答】（1）證明：∵∠ABC=90176。，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADE+∠ABE=180176