【正文】 時(shí)，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．【解答】（1）證明：∵∠ABC=90176。點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E．（1）求證：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE=　2?。虎谶B接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為　60176。AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45176。CF=2﹣2，∴FH=CF?cos30176?！螩FH=∠AFC﹣∠AFH=30176?！唷螦FH=∠EFH﹣∠AFE=15176。∴∠EFH=75176?！唷螩EF=∠AEF﹣∠AEB=15176?！摺螦EB=45176?！摺螮AF=60176。AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45176。∴∠AEB=45176?！唷螧AE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，∵∠EAB=15176。∴∠CAF=∠DAF=30176。∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30176?！郃B=BC=CD=AD，∠B=∠D=60176。時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，根據(jù)FH=CF?cos30176。∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60176?！唷螧AQ=∠ADP∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P∴∠AQB=∠DPA=90176。即∠BAQ+∠DAP=90176。黑龍江哈爾濱四川內(nèi)江）(9分)如圖6所示，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF＝BD，連接BF．(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；(2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．DCEFBA圖6[考點(diǎn)]三角形例行，特殊四邊形的性質(zhì)與判定?！唷鱋DE，△DEM都是等邊三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四邊形OEMD是菱形．故答案為60176?！逥E∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60176。時(shí)，四邊形ODME是菱形．理由：連接OD、OE，∵OA=OD，∠A=60176。又∠ADE+∠MDE=180176。時(shí)，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．【解答】（1）證明：∵∠ABC=90176。點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E．（1）求證：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE=　2??；②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為　60176。AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45176。CF=2﹣2，∴FH=CF?cos30176。∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30176?！唷螦FH=∠EFH﹣∠AFE=15176?！唷螮FH=75176?！唷螩EF=∠AEF﹣∠AEB=15176。∵∠AEB=45176。∵∠EAF=60176。AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45176?！唷螦EB=45176。∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，∵∠EAB=15176?！唷螩AF=∠DAF=30176?！連E=EC，∴∠BAE=∠CAE=30176?！郃B=BC=CD=AD，∠B=∠D=60176。時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，根據(jù)FH=CF?cos30176?！螮AF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60176?！逧H∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90176。利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90176。4分）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90176。EM=．MC=3，∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱找到點(diǎn)H的位置，屬于中考常考題型．3．（2016∴∠NDC=∠NCD=45176。EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNC中，∵∠DNC=90176。ED=2，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG+HC的最小值．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【分析】（1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）四邊形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四邊形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90176。10分）如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG．（1）請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若∠ABC=30176。∴△ABF∽△COM，∴=，∴==，即CN=CM．2．（20163分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得CE⊥AF，進(jìn)一步得出∠BAF=∠BCN，然后通過(guò)證得△ABF≌△CBN得出AF=CN，進(jìn)而證得△ABF∽△COM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可證得CN=CM．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1；（2）CN=CM．證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90176?！郌G⊥BC，∴2?S△ABC=BC?FG，∴2（6）2=6?FG，∴FG=3．故答案為3．1．（2016∵∠B=∠EGF=60176?！郃B=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60176。3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120176。,∴∠EFC＝∠BAF.∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴＝.∴AB＝8x,∴BF＝6x.∴BC＝BF＋CF＝10x.∴AD＝10x.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2.∴(10x)2＋(5x)2＝(5)＝1.∴AB＝8x＝8,AD＝10x＝10.∴矩形ABCD的周長(zhǎng)＝82＋102＝36.【點(diǎn)撥】折疊矩形，可以得到“軸對(duì)稱”的圖形，對(duì)于線段相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)的三角形全等；由銳角的正切值可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直角三角形的直角邊之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解決問(wèn)題.23. （2016AF＝AD，EF＝DE.∵tan∠EFC＝＝，∴可設(shè)EC＝3x，CF＝4x，那么EF＝5x，∴DE＝EF＝5x.∴DC＝DE＋CE＝3x＋5x＝8x.∴AB＝DC＝8x.∵∠EFC＋∠AFB＝90176。山東省東營(yíng)市4分）如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且BE=，連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，則=　　．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，得到DE的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入計(jì)算即可求出DF的長(zhǎng)，求出CF，計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90176?！唷鰿EF為等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．21．（2016∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90176。再利用正方形的性質(zhì)得CB=CD=a，∠BCD=90176。山東省菏澤市∴∠EGF=2∠H=90176?！唷螦PF=∠AFP=45176。∴∠AFP=∠AOC=45176。交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是　π　【考點(diǎn)】軌跡；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】如圖點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是以G為圓心的弧，在⊙G上取一點(diǎn)H，連接EH、FH，只要證明∠EGF=90176。廣西桂林重慶市B卷∵l∥EC，∴ED⊥l，∴EM=2=AE，∴點(diǎn)A、點(diǎn)M關(guān)于直線EF對(duì)稱，∵∠MDF=∠MFD=45176。AD=BC，∵AB=4，AD=BC=2，∴AD=AE=EB=BC=2，∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形，∴∠AED=∠BEC=45176。浙江省紹興市 根據(jù)對(duì)稱性，△ADE≌△ADE′≌△ABE， ∴DE=DE′，AE=AE′， ∴AD垂直平分EE′， ∴EN=NE′， ∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45176。重慶市A卷云南省昆明市3分）如圖所示，正方形ABCD對(duì)角線AC所在直線上有一點(diǎn)O，OA=AC=2，將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1．在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此類推，得到的矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為?。ī?，）?。究键c(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求得對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：∵在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍，∴矩形A1OC1B1與矩形AOCB是位似圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)B1是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵OA=2，OC=1．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，1），∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（﹣2，1），∵將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2，1），∴Bn（﹣2，1），∵矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)（﹣2，1），即（﹣，），故答案為：（﹣，）．13．（2016=，∴MC==，∴EC=MC﹣ME=﹣1．故答案為：﹣1．12．（2016∴∠FMD=30176。進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出EC的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60176。M為AD中點(diǎn)，得到2MD=AD=CD=2，從而得到∠FDM=60176。3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60176?！郆D=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20．故答案為20或20．11．（2016在RT△ABD中，∵∠D=90176?！唷螧AC=120176?！郆D=AB=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20．如圖2中，當(dāng)∠ABC=30176。則以它的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為　20和20?。究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】分兩種情形討論①當(dāng)30度角是等腰三角形的頂角，②當(dāng)30度角是底角，分別作腰上的高即可．【解答】解：如圖1中，當(dāng)∠A=30176。黑龍江齊齊哈爾或AB=BC使其成為菱形．故答案為：AC⊥BC或∠AOB=90176。3分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件　AC⊥BC或∠AOB=90176。OE，即34＝5OE．∴OE＝．故答案為：．9.（2016OE，∴OB．∴BC＝＝5．∵S△OBC＝OB四川內(nèi)江）