新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-131空間向量及其運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算word學(xué)案-資料下載頁(yè)
2024-11-20 03:14本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】如圖所示，已知正四面體O-ABC的棱長(zhǎng)為a，解由題意知|AB|=|AC|=|AO|=a，且〈AB，AO〉=120AB，〈AB，AC→〉＝60°時(shí)，〈AB，CA→〉＝120°.已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為AB1的中點(diǎn)，解如圖所示，設(shè)AB＝a，AD→＝b，AA1→＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.EF·1FC=[12(c－a)＋12b]·＝12·＝－12|a|2＋14|b|2＝2.＝24－1628×5＝3－225.即OA與BC所成角的余弦值為3－225.在二面角α－l－β中，A，B∈α，C，D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，求二面角α－l－β的大小；證明PC＝PD→＋DC→，PN＝12PC→＝12PD→＋12DC→＝12＋12DC→，AN＝PN→－PA→＝PN→＋AP→，AP·AN＝12AD·AP→＋12AP→·AP→＝12a2，|AP|＝|AD→|＝a，將上式兩邊與向量l作數(shù)量積，因?yàn)閘·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0,這就證明了直線l垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，=OB·AC→＋OB→·CB→＋BC→·AC→＋BC→·CB→。夾角問(wèn)題和線段長(zhǎng)度問(wèn)題．即利用a⊥b?＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.
【正文】 B1C1D1的棱 C1D1 的中點(diǎn)，試求向量 11AC 與 DE所成角的余弦值 . 解 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 m， AB ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c， 則 |a|＝ |b|＝ |c|＝ m. ab＝ bc＝ ca＝ 0. 又∵ 11AC ＝ A1B1→ ＋ B1C1→ ＝ AB ＋ AD→ ＝ a＋ b， DE ＝ DD1→ ＋ D1E→ ＝ DD1→ ＋ 12D1C1→ ＝ c＋ 12a. ∴ 11AC DE→ ＝ (a＋ b)(c＋ 12a) ＝ ac＋ bc＋ 12a2＋ 12ab＝ 12a2＝ 12m2. 又∵ | 11AC |＝ 2m， |DE→ |＝ 2m， ∴ cos〈 11AC ， DE→ 〉 = 1111| |?||AC DEA C D E ? ＝12m22m 52 m＝ 1010 . 10． 已知在平行六面體 ABCD— A′ B′ C′ D′ 中 ， AB＝ 4， AD＝ 3， AA′ ＝ 5， ∠ BAD＝ 90176。， ∠ BAA′ ＝ ∠ DAA′ ＝ 60176。. (1)求 AC′的長(zhǎng) (如圖所示 )； (2) 求 39。AC 與 AC→ 的夾角的余弦值 ． 解 (1)∵ 39。AC = AB + AD + 39。AA , ∴ | 39。AC |2 = ( AB +AD + 39。AA )2 =| AB |2 + | AD |2+ | 39。AA |2 + 2 (AB AD + AB 39。AA + AD 39。AA ) = 42 + 32 + 52 +2（ 0+10+） = 85. ∴ | 39。AC | ＝ 85. (2) 方法一 設(shè) 39。AC 與 AC 的夾角為θ , ∵四邊形 ABCD 是矩形 ,∴ | AC | = 223 4 5??。 ∴由余弦定理可得 cosθ＝ AC′2＋ AC2－ CC′ 22AC′ AC ＝85＋ 25－ 252 855 ＝8510 . 方法二 設(shè) AB ＝ a， AD→ ＝ b， AA′→ ＝ c， 依題意 39。AC AC ＝ (a＋ b＋ c)(a＋ b) ＝ a2＋ 2ab＋ b2＋ ac＋ bc ＝ 16＋ 0＋ 9＋ 45cos60176。＋ 35cos60176。 ＝ 16＋ 9＋ 10＋ 152 ＝ 852 . ∴ cos θ＝ 39。 | 39。 |?||AC ACAC AC= 852855 ＝8510 .
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