高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-2第三章推理與證明章末小結(jié)精品學(xué)案-資料下載頁(yè)
【導(dǎo)讀】提供解決問題的思路和方向的作用;演繹推理則具有證明結(jié)論,整理和構(gòu)建知識(shí)體系的作用,是公理體系中的基本推理方法.先寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),尋找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,再作出猜想,最后證明.證明如下:因?yàn)閍1=1,an+1=,所以數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,期性),本題是根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于第一類型;這種猜測(cè)不一定正確,在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC的外接圓半徑r=,把上面的結(jié)論推廣到空。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A-BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,可以將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,則對(duì)角線長(zhǎng)即為外接球的直徑,即2R=,即R=,平面的結(jié)論,或利用類似平面結(jié)論推導(dǎo)的方法,如等面積類比等體積,直線類比平面,等等.當(dāng)cosα=sinα?xí)r,上式顯然成立,故原式成立;∴2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα,設(shè)α,β為其中的兩個(gè)實(shí)根,①由正三角形的性質(zhì)類比出正三棱錐的有關(guān)性質(zhì);③三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出凸n邊形內(nèi)角
【正文】 沒有負(fù)數(shù)根 . a,b,c 是全不相等的正實(shí)數(shù) ,求證 :++3. 【解析】 ∵ a,b,c 全不相等 , ∴ 與 ,與 ,與全不相 等 , ∴ +2,+2,+2. 三式相加得 +++++6, ∴ (+1)+(+1)+(+1)3, 即 ++3. ,已知 PA⊥ 矩形 ABCD 所在平面 ,M,N 分別是 AB,PC 的中點(diǎn) .求證 : (1)MN∥ 平面 PAD, (2)MN⊥ CD. 【解析】 (1)取 PD 的中點(diǎn) E,連接 AE,NE. ∵ N,E 分別為 PC,PD 的中點(diǎn) , ∴ EN 為 △ PCD 的中位線 , ∴ EN?CD,AM=AB,又四邊形 ABCD 為矩形 , ∴ CD∥ AB,且 CD=AB. ∴ EN∥ AM,且 EN=AM. ∴ 四邊形 AENM 為平行四邊形 ,∴ MN∥ AE, 又 MN?平面 PAD,AE?平面 PAD, ∴ MN∥ 平面 PAD. (2)PA⊥ 矩形 ABCD 所在平面 , ∴ CD⊥ PA,又 CD⊥ AD,PA ∩AD=A, ∴ CD⊥ 平面 PAD,又 AE?平面 PAD, ∴ AE⊥ CD. 又 ∵ MN∥ AE,∴ MN⊥ CD. :sin230176。+sin290176。+sin2150176。=, sin25176。+sin265176。+sin2125176。=. 通過觀察上述兩等式的規(guī)律 ,請(qǐng)你寫出一般性的命題 : =(*)并給出 (*)式的證明 . 【解析】 一般性命題 :sin2α+sin2(α+60176。)+sin2(α+120176。)=. 下面證明此命題 :左邊 =++=[cos 2α+cos(2α+120176。)+cos(2α+240176。)] =(cos 2α+cos 2αcos 120176。sin 2αsin 120176。+cos 2αcos 240176。sin 2αsin 240176。) =(cos 2αcos 2αsin 2αcos 2α+sin 2α)==右邊 . 即命題得證 . {an}中 ,a1=1,a2=1,an+1=λan+an1. (1)若 λ=,bn=an+1αan,數(shù)列 {bn}是公比為 β的等比數(shù)列 ,求 α和 β的值 . (2)若 λ=1,基于事實(shí) :如果 d是 a和 b 的公約數(shù) ,那么 d一定是 ab的約數(shù) .研討是否存在正整數(shù)k 和 n,使得 kan+2+an與 kan+3+an+1有大于 1 的公約數(shù) .如果存在 ,求出 k 和 n。如果不存在 ,請(qǐng)說明理由 . 【解析】 (1)∵ {bn}是公比的 β的等比數(shù)列 , ∴ bn=βbn1, ∴ an+1αan=β(anαan1), 即 an+1=(α+β)anαβan1. 又 an+1=an+an1, ∴ ∴ α、 β是方程 x2+x1=0 的兩根 . ∴ 或 (2)假設(shè)存在正整 數(shù) k,n,使得 kan+2+an與 kan+3+an+1有大于 1 的公約數(shù) d, 則 d 也是 (kan+3+an+1)(kan+2+an),即 k(an+3an+2)+(an+1an)的約數(shù) . 依題設(shè) an+3an+2=an+1,an+1an=an1, ∴ d 是 kan+1+an1的約數(shù) , 從而 d 是 kan+2+an與 kan+1+an1的公約數(shù) . 同理可得 d 是 kan+an2的約數(shù) , 依此類推 ,d 是 ka4+a2與 ka3+a1的約數(shù) . ∵ a1=1,a2=1,∴ a3=2,a4=3. 于是 ka4+a2=3k+1,ka3+a1=2k+1. 又 ∵ (3k+1)(2k+1)=k, ∴ d 是 k 和 2k+1 的約數(shù) , ∴ d 是 (2k+1)k,即 (k+1)的約數(shù) . 從而 d 是 (k+1)k 即 1 的約數(shù) ,這與 d1 矛盾 . 故不存在 k,n,使 kan+2+an與 kan+3+an+1有大于 1 的公約數(shù) .
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