北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)44函數(shù)y＝asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用-資料下載頁
2024-11-18 18:06本頁面
【導(dǎo)讀】用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題.函數(shù)y＝Asin圖像的變換以及根據(jù)圖像確定A，ω，及根據(jù)圖像確定A、ω、φ為主，解答題以三角變換為基礎(chǔ)，個關(guān)鍵點，如下表所示.[解析]由圖像可知，函數(shù)周期T＝π，ω＝2πT＝2.[解析]y＝sin12x――→橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍y＝sin12＝sin14x，∴ω＝14.∴f＝2sin，又f＝3，即2sinφ＝3，設(shè)函數(shù)f＝sinωx＋3cosωx(ω>0)的周期為π.得它的振幅和初相，再把ωx＋φ看作一個整體對它進(jìn)行賦值，列出下表，并描點畫出圖像如圖.數(shù)化為y＝Asin或y＝Acos(A＞0，①沿x軸平移，按“左加右減”法則；
【正文】 12. ∴ y ＝12c osπ6t＋ 1. ( 2) 由題知，當(dāng) y 1 時才可對沖浪者開放， ∴12c osπ6t＋ 1 ＞ 1. ∴ c osπ6t 0. ∴ 2 k π －π2π6t 2 k π ＋π2， 即 12 k － 3 t 12 k ＋ 3. ③ ∵ 0 ≤ t ≤ 24 ，故可令 ③ 中 k 分別為 0,1,2 ，得 0 ≤ t 3 或9 t 15 或 21 t ≤ 24. ∴ 在規(guī)定的 8 ： 00 至 20 ： 00 之間，有 6 個 h 時間可供沖浪者運動，即 9 ： 00 至 15 ： 00. [ 方法總結(jié) ] 三角函數(shù)模型在實際中的應(yīng) 用體現(xiàn)在兩個方面，一是已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則，二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)建是建模． 車流量被定義為單位時間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，上班高峰某十字路口的車流量由函數(shù) F ( t ) ＝ 50 ＋ 4sint2(0 ≤ t ≤ 20)給出， F ( t ) 的單位是輛 / 分， t 的單位是分，則下列哪個時間段內(nèi)車流量是增加的 ( ) A ． [ 0,5] B ． [ 5,10] C ． [ 10,15 ] D ． [ 15,20] [ 答案 ] C [ 解析 ] F ( t ) 的周期為 T ＝2π12＝ 4π ， 當(dāng) 2 k π －π2≤t2≤ 2 k π ＋π2， k ∈ Z 時遞增， 即增區(qū)間是 [4 k π － π ， 4 k π ＋ π] ， k ∈ Z ，又 0 ≤ t ≤ 20 ， 故函數(shù) F ( t ) 在 [0 ， π] 和 [ 3π ， 5π ] 上遞增，故選 C. 易 錯 警 示 點的坐標(biāo)應(yīng)用錯誤 如圖是函數(shù) y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A 0 ， ω 0 ， |φ | π )的部分圖像，由題中條件寫出該函數(shù)解析式 ________ ． [ 錯解 ] 由圖可知， A ＝ 5 ，12T ＝5π2－ π ＝3π2， ∴ T ＝ 3π ， ∴ ω ＝2πT＝23， ∴ y ＝ 5sin(23x ＋ φ ) ， ∵ (π ， 0) 在函數(shù)圖像上， ∴2π3＋ φ ＝ k π ，即 φ ＝ k π －2π3. 又 |φ | π ， ∴ φ ＝－2π3或 φ ＝π3. ∴ 函數(shù)解析式為 y ＝ 5sin(23x －2π3) 或 y ＝ 5sin(23x ＋π3) ． [ 錯因分析 ] 在利用 (π ， 0) 列方程時，沒有確定 (π ， 0) 是第幾個零點，由圖可知， (π ， 0) 是第二個零點，故2π3＋ φ ＝ π. [ 正確解答 ] 由題圖知， A ＝ 5 ，12T ＝5π2－ π ＝3π2， ∴ T ＝ 3π ， ∴ ω ＝2πT＝23， ∴ y ＝ 5sin(23x ＋ φ ) ． ∵ (π ， 0) 在函數(shù)圖像上，且是其第二個零點， ∴2π3＋ φ ＝ π ， ∴ φ ＝π3，故函數(shù)解析式為 y ＝ 5sin(2π3＋π3) ． [ 誤區(qū)警示 ] 由函數(shù) y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的圖像確定 A 、 ω 、 φ的題型，常常以 “ 五點法 ” 中的第一零點 ( －φω， 0) 作為突破口，要從圖像的升降情況找準(zhǔn)第一零點的位置．要善于抓住特殊量和特殊點 . 名 師 點 睛 一種方法 在由圖像求三角函數(shù)解析式時，若最大值為 M ，最小值為 m ，則 A ＝M － m2， k ＝M ＋ m2， ω 由周期 T 確定，即由2πω＝ T求出， φ 由特殊點確定． 兩種變換 由 y ＝ sin x 的圖像變換到 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的圖像，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換 ( 伸縮變換 ) ，平移的量是 |φ |個單位；而先周期變換 ( 伸縮變換 ) 再相位變換，平移的量是|φ |ω( ω 0) 個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對 x 而言，即 x 本身加減多少值，而不是依賴于 ωx 加減多少值． 兩個注意 作正弦型函數(shù) y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的圖像時應(yīng)注意： ( 1) 首先要確定函數(shù)的定義域； ( 2) 對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖像時只要作出一個周期的圖像，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖像．
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