【導(dǎo)讀】數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中的大多。數(shù)公式屬于這種類型。如材料的抗拉強(qiáng)度與其硬度之間的關(guān)系；材料的性能與其化學(xué)成份之間等等。我們稱這類變量之間的關(guān)系為相關(guān)關(guān)系。應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法，對大量的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，利用觀測值，確定。為滿意地反映被測物理量之間的關(guān)系，y值同時出現(xiàn)的概率最大，如果誤差服從正態(tài)分布，則概率P(e1,e2,…當(dāng)P最大時，求得的曲線就應(yīng)當(dāng)是最佳形式。即殘差平方和最小，這就是最小二乘法原理的由來。式（5—7）可以寫成：。通過例題加以分析說明。為因變量y，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在表5-1中。做出一系列的點(diǎn)，可得圖，這種圖稱之為散點(diǎn)圖。

　　

【正文】 vllb ??? vbua(2) 得出變換后的回歸直線方程式為： vu 43 ?? ????變換回原始曲線方程為： xy 11029 43 ?? ???? 將原始數(shù)據(jù)帶入回歸方程式 (542)中 ， 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差 S和相關(guān)系數(shù) R， 計(jì)算結(jié)果見 表 56所示 。 由表 56得出的參數(shù)可寫出最后的回歸曲線方程式為： xy?1 43 ?? ???? 177。 0. 2 284 9 33 1 0 9 . 9 4 f回 = 10 . 2 2 8 4 9 3 3 0 . 9 8 6 4f殘 = m － 2 = 1 1f總 = m － 1 = 1 2式 (5 2 9 )?y??殘殘差平方和fS ???總平方和殘差平方和1R編號 x y殘差平方和 總平方和1 2 1 0 6 . 4 2 1 0 6 . 6 0 0 . 1 8 0 . 0 3 1 0 3 . 5 2 1 2 . 3 6 3 32 3 1 0 8 . 2 0 1 0 8 . 1 9 0 . 0 1 0 . 0 0 0 1 1 . 7 4 3 . 0 1 4 23 4 1 0 9 . 5 8 1 0 9 . 0 0 0 . 5 8 0 . 3 3 1 1 0 . 3 6 0 . 1 2 6 84 5 1 0 9 . 5 0 1 0 9 . 5 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 0 0 . 4 4 0 . 1 9 0 25 7 1 1 0 . 0 0 1 1 0 . 0 7 0 . 0 7 0 . 0 0 5 0 0 . 0 6 0 . 0 0 4 16 8 1 0 9 . 9 3 1 1 0 . 2 5 0 . 3 2 0 . 1 0 2 5 0 . 0 1 0 . 0 0 0 07 10 1 1 0 . 4 9 1 1 0 . 5 0 0 . 0 1 0 . 0 0 0 2 0 . 5 5 0 . 3 0 6 78 11 1 1 0 . 5 9 1 1 0 . 5 9 0 . 0 0 0 . 0 0 0 0 0 . 6 5 0 . 4 2 7 59 14 1 1 0 . 6 0 1 1 0 . 7 9 0 . 1 9 0 . 0 3 7 2 0 . 6 6 0 . 4 4 0 710 15 1 1 0 . 9 0 1 1 0 . 8 4 0 . 0 6 0 . 0 0 3 4 0 . 9 6 0 . 9 2 9 011 16 1 1 0 . 7 6 1 1 0 . 8 8 0 . 1 2 0 . 0 1 5 3 0 . 8 2 0 . 6 7 8 712 18 1 1 1 . 0 0 1 1 0 . 9 5 0 . 0 5 0 . 0 0 2 1 1 . 0 6 1 . 1 3 1 813 19 1 1 1 . 2 0 1 1 0 . 9 8 0 . 2 2 0 . 0 4 6 5 1 . 2 6 1 . 5 9 7 31 4 2 9 . 1 7 1 4 2 9 . 1 7 0 . 0 0 4 9 0 . 5 7 4 3 0 . 0 0 0 0 2 1 . 2 1 1表 5 6 回歸后的方差分析y? yy ??2)?( yy ? yy ?2)( yy ??_ 本例應(yīng)用最小二乘法 ， 雖然使用雙曲線擬合 ， 在計(jì)算過程中使殘差平方和達(dá)到了最小 ， 但這并不足以說明 ， 所配雙曲線是對表 54中數(shù)據(jù)的最佳擬合曲線 。因而在配曲線時 ， 最好用不同的函數(shù)類型計(jì)算后再進(jìn)行比較 ， 選取其中最優(yōu)者 ， 即選取相關(guān)系數(shù) R為最大的曲線 。 此外 ， 在曲線擬合時也可采用分段擬合的方法 ，即在不同的自變量區(qū)間內(nèi)配以不同的曲線來進(jìn)行擬合 。下面我們采用計(jì)算機(jī)處理方法 ， 用其它類型的函數(shù)進(jìn)行回歸擬合試一試 ， 看會得出什么樣的結(jié)果 ？ 利用 Excel 對 x 、 y 的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，直接作出回歸曲線。 第一步 : 在 Excel電子表格中，按列（行）輸入 x 與 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。 第二步：對 x 與 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖。 第三步：在圖中選定散點(diǎn)的數(shù)據(jù)，做多項(xiàng)式的趨勢線，即得到相應(yīng)的回歸曲線。 用 Excel電子表格軟件進(jìn)行曲線回歸的方法 方法 1 方法 2 利用 Excel 對 x 、 y 的數(shù)據(jù)求出所有的回歸系數(shù)及方差分析數(shù)據(jù) 。 第一步 : 在 Excel電子表格中 ， 按列 （ 行 ） 輸入 x 與 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù) 。 第二步：對 x 數(shù)據(jù)進(jìn)行格式化復(fù)制 x2~x8。 第三步：在表中選定所有 x~x8數(shù)據(jù) ， 選擇 “ 工具 ” 下拉菜單 →“ 數(shù)據(jù)分析 ” ，按提示進(jìn)行操作 ， 即可得出全部計(jì)算分析數(shù)據(jù) 。 多元回歸 上面討論的是只有兩個變量的回歸問題 ， 其中一個是自變量 ， 另一個是因變量 。 但在大多數(shù)情況下 ， 自變量不是一個而是多個 ， 稱這類問題為多元回歸問題 。 多元回歸中最簡單且最基本的是多元線性回歸 。 如自變量 xi ( i= 1,2, … ,G )， 進(jìn)行 m次試驗(yàn) ， 所得的數(shù)據(jù)可以寫成兩個數(shù)組 ， 即兩個矩陣： 121212221212111????????????????????????????????????mmGmGmmmGGyyyYxxxxxxxxxX????????????????????顯然 ， 多元線性統(tǒng)計(jì)模型是： GG xaxaxaay ????? ?22110? （ 545） 多元線性回歸分析原理 ， 與一元線性回歸分析原理完全相同只是計(jì)算上復(fù)雜得多 。 但是用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行計(jì)算工作量與一元線性回歸相比 ， 復(fù)雜程度并不大 。 根據(jù)最小二乘法 ， 應(yīng)使殘差： 21)?( jmjj yy???試驗(yàn)值 回歸值 最小 下面我們通過例題來說明如何進(jìn)行多元線性回歸。 例 某種水泥在凝固時放出的熱量 y ( J/g ) 與水泥中下列四種化學(xué)成分的含量有關(guān)： x1 3CaO Si2O3 的含量， % x2 2CaO SiO2 的含量， % x3 3CaO Al2O3 的含量， % x4 4CaO Al2O3 Fe2O3的含量， % 原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表 57所示： 求解步驟如下： 用 Excel電子表格 點(diǎn)擊下拉菜單“工具”欄 點(diǎn)擊 “數(shù)據(jù)分析”項(xiàng) 選擇 “回歸”項(xiàng) 按回歸對話框中的提示 ， 進(jìn)行選擇操作 ， 即可得出全部的回歸系數(shù) 、 相關(guān)系數(shù) 、 標(biāo)準(zhǔn)偏差等數(shù)據(jù) 。 根據(jù)計(jì)算出的回歸系數(shù)寫出回歸方程 。 完 多元曲線回歸 多元線性回歸還可以擴(kuò)展到更為普遍的情況。假定有： )()()()(? 22110 xfcxfcxfcxyy GG????? ?（ 554） 式中， 是 x的已知函數(shù)，不含有未知參數(shù) c， 則顯然對待定參數(shù) c 而言，該式仍為線性函數(shù)。 ),2,1)(()(0 Gixfxy i ??和)( xf i 可以是任意函數(shù)，并不要求是 x 的線性函數(shù)。 如下面函數(shù)式的格式就是此類函數(shù)的一例： 25432210 )(l n1ln? xcxcecxcxccy x ??????(555) 一般，常用的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型為 G－ 1階多項(xiàng)式： 12321? ?????? GG xcxcxccy ?（ 556） 任何函數(shù)至少在一個比較小的范圍內(nèi)可以用多項(xiàng)式任意逼近 。 因此 ， 在比較復(fù)雜的實(shí)際問題中 ， 往往不管 y 與各因素的關(guān)系如何 ， 而采用多項(xiàng)式進(jìn)行回歸 。可見 ， 多項(xiàng)式回歸在回歸問題中占有特殊的地位 。 方法步驟如下： 將數(shù)據(jù)成列輸入到Excel電子表格中 根據(jù) x列的數(shù)據(jù)分別計(jì)算x lnx、 1/x、 (lnx)2。按順序排列于 x列的右則 。 點(diǎn)擊下拉菜單的“工具”項(xiàng)，點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)分析”。 在數(shù)據(jù)分析對話框中 ， 選取 “ 回歸 ” 項(xiàng) ， 點(diǎn)擊確定 ， 出現(xiàn)回歸對話框 。 按對話框中的提示進(jìn)行操作 ， 即可得出多項(xiàng)式回歸曲線中各項(xiàng)中的系數(shù) 。 然后按 x, xlnx、 1/x、 (lnx)2的對應(yīng)關(guān)系代入方程中即得出回歸曲線的多項(xiàng)式方程 。