【正文】 方和之間的關(guān)系 ， 可以用 圖 。 是 殘差平方和 ， 表示了回歸方程的擬合誤差 ， 即觀測(cè)值 yi 偏離回歸值 的大小 。 iy?的分解圖 yy i ??? 35 x y回歸殘差的分解圖 yy i ?yy?yyi ??bxay ???ii yy ??yyi ? 由圖中可以看出 ， 如果殘差平方和很小 ， 則回歸平方和／總平方和將接近于 1。 殘差平方和是排除了 x 對(duì) y 的線性影響后的剩余部分 ， y 值隨機(jī)波動(dòng)程度的大小 ， 用它來估計(jì)誤差 。 自由度： f總 = f回 + f殘 f總 = m 1 f回 =1 f殘 = f總 － f回 = m 2 方差：殘差平方和除以它的自由度： 殘殘差平方和fS ?2標(biāo)準(zhǔn)偏差估算值： 殘殘差平方和fS ?（ 5—29） 用 S衡量隨機(jī)因素對(duì) y 的影響 。 回歸方程可改寫為： )( ???? ?置信水平xy 相關(guān)性檢驗(yàn) 用一個(gè)數(shù)量性的指標(biāo) ， 來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的密切程度 ——相關(guān)系數(shù) r 。通常 0≤｜ r｜ ≤1。 此時(shí) b = 0 ， 即按最小二乘法確定的回歸直線平行于 x 軸 ， 這說明 y 的變化與 x 無關(guān) 。 通常 ， 散點(diǎn)的分布是完全不規(guī)則的 ， 如 圖 （ a） 所示 。 這時(shí) ， x 與 y 之間存在著一定的線性關(guān)系 。 當(dāng) r ＜ 0 時(shí) b＜ 0 ， 散點(diǎn)圖呈 y 隨 x 增加而減小的趨勢(shì) ， 此時(shí)稱 x 與 y 為負(fù)相關(guān) ， 如 圖（ c） 所示 。 （ 3） ｜ r｜ = 1。 此時(shí) ， 稱 x 與 y 完全性相關(guān) 。 如 圖 （ d） 所示 。 ｜ r｜ 越大 ， 愈接近于 1， x 與 y 之間的線性相關(guān)也就愈密切 。 如 圖 515(e)所示 ， 雖然 r = 0， 但從散點(diǎn)分布看 ， x 與 y 之間存在著明顯的曲線關(guān)系 ， 只不過這種關(guān)系不是線性關(guān)系罷了 。 可查表得出 F??（ 1， m－ 2） ， 當(dāng)： F＞ 特別顯著； ＞ F＞ 時(shí) ， 顯著； ＞ F＞ 時(shí) ， 較顯著； F＞ 時(shí) ， 不顯著 。 （ 3）利用計(jì)算出的參數(shù)，即可寫出回歸方程。 這時(shí) ， 通常是選配一條比較接近的曲線 ， 通過變量變換把非線性方程加以線性化 ， 然后對(duì)線性化的方程應(yīng)用最小乘法求解回歸方程 。 函數(shù)的形式可能是各種各樣的 ， 具體形式的確定或假設(shè) ， 一般有下述兩個(gè)途徑：一是根據(jù)有關(guān)的物理知識(shí) ， 確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)類型；二是把觀測(cè)數(shù)據(jù)劃在坐標(biāo)紙上 ， 將散點(diǎn)圖與已知函數(shù)曲線對(duì)比 ， 選取最接近散點(diǎn)分布的曲線公式進(jìn)行試算 。 曲線回歸 xbay ??1（ 1）雙曲線， 型，見 圖 。 型bxaey ?bvcuacxvyu ????? 則令 ,ln,ln （ 3） 指數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 型baxy ?bvcuacxvyu ????? 則令 ,lg,lg,lg圖 (a) 雙曲線 ( a ) a 0, b 04 2 0 2 4 6 8 10 12 14xy圖 (b) 雙曲線 (b) a 0, b 0 xy圖 (a) 指數(shù)曲線 ( a ) b 005101520251 0 1 2xy圖 (b) 指數(shù)曲線 (b) b00246810121 0 1 2xy圖 (a) 指數(shù)曲線 ( a ) b0010203040506070800 1 2 3 4xy圖 (b) 指數(shù)曲線 ( b ) b0024681012141618200 1 2 3 4 5 6 7 8xy圖 (a) 冪函數(shù)曲線 ( a ) b0 xyb 10 b 1 b = 1 圖 (b) 冪函數(shù)曲線 (b) b0 xyb － 1 b=－ 1 － 1 b 0 （ 5） 對(duì)數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 型xbeay ??? 1bvauevyu x ???? ? 則令 ,1 （ 7 ） 對(duì) 數(shù) 拋 物 曲線 ， ， 見 圖 。 必須注意 ！ 所配曲線的回歸中 ， r、 S、 F 等的計(jì)算稍有不同 。 例 煉鋼廠出鋼用鋼包在使用過程中 ， 由于鋼液及爐渣對(duì)耐火材料的浸蝕 ， 其容積不斷增大 。 求： x、 y之間的關(guān)系式： 表 54 試驗(yàn)數(shù)據(jù) 使用次數(shù) x 2 3 4 5 7 8 10容積 y 1 0 6 . 4 2 1 0 8 . 2 0 1 0 9 . 5 8 1 0 9 . 5 0 1 1 0 . 0 0 1 0 9 . 9 3 1 1 0 . 4 9使用次數(shù) x 11 14 15 16 18 19容積 y 1 1 0 . 5 9 1 1 0 . 6 0 1 1 0 . 9 0 1 1 0 . 7 6 1 1 1 . 0 0 1 1 1 . 2 0 解： 首先按實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)做散點(diǎn)圖 ， 如 圖 。 根據(jù)這個(gè)特點(diǎn) ， 選用 雙曲線 ： xbay??1(5—39） 表示容積 y 與使用次數(shù) x 的關(guān)系。 計(jì)算步驟如下： （ 1） 根據(jù)表 54中的數(shù)據(jù) ， 計(jì)算出 v 、 v u、 u2 、uv和回歸系數(shù) b及常數(shù)項(xiàng) a列于 表 55中 。 由表 56得出的參數(shù)可寫出最后的回歸曲線方程式為： xy?1 43 ?? ???? 177。因而在配曲線時(shí) ， 最好用不同的函數(shù)類型計(jì)算后再進(jìn)行比較 ， 選取其中最優(yōu)者 ， 即選取相關(guān)系數(shù) R為最大的曲線 。下面我們采用計(jì)算機(jī)處理方法 ， 用其它類型的函數(shù)進(jìn)行回歸擬合試一試 ， 看會(huì)得出什么樣的結(jié)果 ？ 利用 Excel 對(duì) x 、 y 的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，直接作出回歸曲線。 第二步：對(duì) x 與 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖。 用 Excel電子表格軟件進(jìn)行曲線回歸的方法 方法 1 方法 2 利用 Excel 對(duì) x 、 y 的數(shù)據(jù)求出所有的回歸系數(shù)及方差分析數(shù)據(jù) 。 第二步：對(duì) x 數(shù)據(jù)進(jìn)行格式化復(fù)制 x2~x8。 多元回歸 上面討論的是只有兩個(gè)變量的回歸問題 ， 其中一個(gè)是自變量 ， 另一個(gè)是因變量 。 多元回歸中最簡(jiǎn)單且最基本的是多元線性回歸 。 但是用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行計(jì)算工作量與一元線性回歸相比 ， 復(fù)雜程度并不大 。 例 某種水泥在凝固時(shí)放出的熱量 y ( J/g ) 與水泥中下列四種化學(xué)成分的含量有關(guān)： x1 3CaO SiO2 的含量， % x3 3CaO Al2O3 根據(jù)計(jì)算出的回歸系數(shù)寫出回歸方程 。假定有： )()()()(? 22110 xfcxfcxfcxyy GG????? ?（ 554） 式中， 是 x的已知函數(shù)，不含有未知參數(shù) c， 則顯然對(duì)待定參數(shù) c 而言，該式仍為線性函數(shù)。 如下面函數(shù)式的格式就是此類函數(shù)的一例： 25432210 )(l n1ln? xcxcecxcxccy x ??????(555) 一般，常用的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型為 G－ 1階多項(xiàng)式： 12321? ?????? GG xcxcxccy ?（ 556） 任何函數(shù)至少在一個(gè)比較小的范圍內(nèi)可以用多項(xiàng)式任意逼近 。可見 ， 多項(xiàng)式回歸在回歸問題中占有特殊的地位 。按順序排列于 x列的右則 。 在數(shù)據(jù)分析對(duì)話框中 ， 選取 “ 回歸 ” 項(xiàng) ， 點(diǎn)擊確定 ， 出現(xiàn)回歸對(duì)話框 。 然后按 x, xlnx、 1/x、 (lnx)2的對(duì)應(yīng)關(guān)系代入方程中即得出回歸曲線的多項(xiàng)式方程