人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第3章31第2課時復(fù)數(shù)的幾何意義-資料下載頁
2025-11-08 20:06本頁面
【導(dǎo)讀】數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入。19世紀(jì)末20世紀(jì)初，著名的德國數(shù)學(xué)。家高斯在證明代數(shù)基本定理時，首次引進(jìn)?！皬?fù)數(shù)”這個名詞，他把復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的。點一一對應(yīng)起來，創(chuàng)立了復(fù)平面，依賴平。復(fù)數(shù)的幾何意義，從形的角度表明了。復(fù)數(shù)的“存在性”，為進(jìn)一步研究復(fù)數(shù)奠。2．平面內(nèi)，既有大小又有方向的量叫平面向量，向量的大。小稱為向量的長度或者模，若a＝(x，y)，則|a|＝x. 建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平。是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，原點(0,0)對應(yīng)復(fù)數(shù)0.為方便，我們常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi說成點Z(a，，并且規(guī)定，相等向量表示同一復(fù)數(shù)．。實數(shù)a取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－。計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實部與虛部，然后代。數(shù)a的點A與原點O間的距離．那么在復(fù)數(shù)集中，類似地，有。復(fù)數(shù)若按某種條件變化時，則復(fù)平面上的動點自然就構(gòu)成了具。若點P對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1，則P的軌跡是()
【正文】 ， 求 x的值 ． [ 解析 ] 復(fù)數(shù) z2的共軛復(fù)數(shù)為 z2＝ 4 ＋ 2 0 i . 依題意， z1＝ z2，所以 ????? x2＋ x － 2 ＝ 4x2－ 3 x ＋ 2 ＝ 20， 解之得????? x ＝－ 3 或 x ＝ 2x ＝－ 3 或 x ＝ 6， ∴ x ＝－ 3. 因此， x 的值為－ 3. 復(fù)數(shù)的模與幾何意義的應(yīng)用 設(shè)全集 U ＝ C ， A ＝ { z | | | z |－ 1 | } ＝ 1 － |z |， z ∈ C } ，B ＝ { z || z | 1 ， z ∈ C } ，若 z ∈ A ∩ ( ? U B ) ，求復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡． [ 分析 ] 求復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡，由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，只需求 |z |所滿足的條件即可．而這由 z ∈ A ∩ ( C ∪B ) 及集合的運算即可得出． [ 解析 ] ∵ z ∈ C ， ∴ |z |∈ R ， ∴ 1 － |z |∈ R 由 || z |－ 1| ＝ 1 － |z |，得 1 － |z |≥ 0 ， 即 |z |≤ 1 ， ∴ A ＝ { z || z |≤ 1} ． 又 B ＝ { z || z | 1 ， z ∈ C } ， ∴ ?UB ＝ { z || z |≥ 1 ， z ∈ C } ∵ z ∈ A ∩ ( ?UB ) 等價于 z ∈ A 且 z ∈ ?UB ， ∴????? |z |≤ 1|z |≥ 1， ? |z |＝ 1 ，由模的幾何意義知，復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以原點為圓心， 1 為半徑的圓． [ 方法總結(jié) ] 對于復(fù)數(shù)的模，可以從以下兩個方面進(jìn)行理解：一是任何復(fù)數(shù)的模都表示一個非 負(fù)的實數(shù)；二是復(fù)數(shù)的模表示該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點與原點的距離．所以復(fù)數(shù)的模是絕對值概念由實數(shù)的一維空間向二維空間的一種推廣． 設(shè) z ∈ C ，滿足下列條件的點的集合是什么圖形？ ( 1 ) |z |＝ 4 ； ( 2 ) 2 | z | 4 . [ 解析 ] ( 1 ) 復(fù)數(shù) z 的模等于 4 ，就是說，向量 OZ→的模等于 4 ，所以滿足條件 |z |＝ 4 的點 Z 的集合是以原點 O 為圓心，以 4 為半徑的圓． ( 2 ) 不等式 2 | z | 4 可化為不等式組????? |z | 4|z | 2.不等式 |z | 4 的解集是圓 |z |＝ 4 內(nèi)部所有的點組成的集合，不等式 |z | 2 的解集是圓 |z |＝ 2 外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是不等式組????? |z | 4|z | 2 所表示的集合．容易看出，點 Z 的集合是以原點 O 為圓心，以 2 及 4 為半徑的圓所夾的圓環(huán)，但不包括環(huán)的 邊界 . 設(shè) z 為純虛數(shù)，且 |z － 1| ＝ |－ 1 ＋ i| ，求復(fù)數(shù) z . [ 錯解 ] 由 |z － 1| ＝ |－ 1 ＋ i| ? z － 1 ＝ 177。( － 1 ＋ i) 由 z － 1 ＝－ 1 ＋ i? z ＝ i ； 當(dāng) z － 1 ＝－ ( － 1 ＋ i) 時 z ＝ 2 － i ； ∵ z 為純虛數(shù) ∴ z ＝ 2 － i 舍去得 z ＝ i. [辨析 ] 造成這種錯誤的主要原因是受實數(shù)絕對值概念的影響所致 ． 體會復(fù)數(shù)的模與實數(shù)絕對值的區(qū)別 ． [ 正解 ] ∵ z 為純虛數(shù)， ∴ 設(shè) z ＝ a i( a ∈ R 且 a ≠ 0) 則 |z － 1| ＝ |a i － 1| ＝ a2＋ 1 又 |－ 1 ＋ i| ＝ 2 ， 由 |z － 1| ＝ |－ 1 ＋ i| ， 得 a2＋ 1 ＝ 2 解得 a ＝ 177。 1 . ∴ z ＝ 177。 i . 復(fù)數(shù)的幾何意義??????? 復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點、平面向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系 ? 了解 ?復(fù)數(shù)的模及其幾何意義 ? 了解 ?共軛復(fù)數(shù)及其幾何意義 ? 了解 ?
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