【導(dǎo)讀】復(fù)”和“遺漏”的錯(cuò)誤較難自檢發(fā)現(xiàn)。些常見(jiàn)解題模型是必要的。做一件事，完成它可以有n類(lèi)辦法，第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。學(xué)生解決問(wèn)題分析問(wèn)題的能力。號(hào)與所填的數(shù)字都不相同的填法共有（）。數(shù)模型不一定是排列或組合.畫(huà)一畫(huà)，數(shù)一數(shù)，算一算，是基本的計(jì)數(shù)方法，不可廢棄.A3種B4種C5種D6種.判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題?3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?有多少種不同的火車(chē)票價(jià)？英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?握手相互問(wèn)候，共需握手多少次?明確，分步層次清楚，不重不漏。1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.再安排老師，有2種方法。點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那。且能被五整除的五位數(shù)？

　　

【正文】 種； 某辦公室有 5 人辦公，現(xiàn)要排一個(gè)周輪值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值兩天，則不同的排表方式有 __________種； 學(xué)校決定下周對(duì)高一年級(jí)進(jìn)行教學(xué)情況抽測(cè)。決定基礎(chǔ)科抽兩門(mén)，文科、理科各抽一門(mén)，技能科（音、體、美、信）抽一門(mén)。則可能有＿＿＿＿＿＿種抽取方法。 基礎(chǔ)訓(xùn)練 回目錄 練習(xí) 某學(xué)習(xí)小組有 5個(gè)男生 3個(gè)女生，從中選 3名男生和 1名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有 1人參加，則有不同參賽方法______種 . 解：采用先組后排方法 : 3 1 2 35 3 4 3 1080C C C A? ? ? ?回目錄 小結(jié)： 本題涉及一類(lèi)重要問(wèn)題：?jiǎn)栴}中既有元素的限制，又有排列的問(wèn)題，一般是先元素（即組合）后排列。 回目錄 實(shí)驗(yàn)法（窮舉法） 題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。 例 將數(shù)字 1， 2， 3， 4填入標(biāo)號(hào)為 1， 2， 3， 4的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填 1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ） 分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實(shí)驗(yàn)法逐步解決。 第一方格內(nèi)可填 2或 3或 4。如填 2，則第二方格中內(nèi)可填 1或 3或 4。 若第二方格內(nèi)填 1，則第三方格只能填 4，第四方格應(yīng)填 3。 若第二方格內(nèi)填 3，則第三方格只能填 4，第四方格應(yīng)填 1。 同理，若第二方格內(nèi)填 4，則第三方格只能填 1，第四方格應(yīng)填 3。因而，第一格填 2有 3種方法。 不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?3或 4時(shí)也各有 3種，所以共有 9種。 回目錄 實(shí)際操作窮舉策略 例 .設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào) 1,2 3,4,5的五個(gè)盒子 ,現(xiàn)將 5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi) ,要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個(gè)球中取出 2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 _____種 還剩下 3球 3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)， 利用實(shí)際 操作法，如果剩下 3,4,5號(hào)球 , 3,4,5號(hào)盒 3號(hào)球裝 4號(hào)盒時(shí)，則 4,5號(hào)球有只有 1種裝法 3號(hào)盒 4號(hào)盒 5號(hào)盒 3 4 5 25C回目錄 實(shí)際操作窮舉策略 例 .設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào) 1,2 3,4,5的五個(gè)盒子 ,現(xiàn)將 5個(gè)球投入這五 個(gè)盒子內(nèi) ,要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且 恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個(gè)球中取出 2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 _____種 還剩下 3球 3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)， 25C利用實(shí)際 操作法，如果剩下 3,4,5號(hào)球 , 3,4,5號(hào)盒 3號(hào)球裝 4號(hào)盒時(shí)，則 4,5號(hào)球有只有 1種裝法 , 25C 同理 3號(hào)球裝 5號(hào)盒時(shí) ,4,5號(hào)球有也 只有 1種裝法 ,由分步計(jì)數(shù)原理有 2 種 回目錄 練 習(xí) ：（不對(duì)號(hào)入座問(wèn)題） （ 1）（ 2020湖北）將標(biāo)號(hào)為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個(gè)盒子中， 每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好有 3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子 的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法有 ___________種 310 2C ?（ 2）編號(hào)為 5的五個(gè)球放入編號(hào)為 5的五個(gè)盒子里，至多有 2個(gè)對(duì)號(hào)入座的情形有 ___________種 109 直接法： 3 4 55 5 52 9 44 10 9C C C? ? ? ? ? ?間接法： 5355 1 1 10 9AC? ? ? ?回目錄 注意區(qū)別“恰好”與“至少” 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480種（ B） 240種 （ C） 180種 （ D） 120種 小結(jié)：“恰好有一個(gè)”是“只有一個(gè)”的意思?！爸辽儆幸粋€(gè)”則是“有一個(gè)或一個(gè)以上”，可用分類(lèi)討論法求解，它也是“沒(méi)有一個(gè)”的反面，故可用“排除法”。 解： 1 2 1 16 5 2 2 240C C C C? ? ? ?回目錄 練習(xí) 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有 ____種 解： 4 4 1 412 6 2( ) 255C C C? ? ?回目錄 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用 公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀 圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果 練習(xí)題 1. 同一寢室 4人 ,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái) , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9) ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現(xiàn)有 4種可選顏色 ,則 不同的著色方法有 ____種 2 1 3 4 5 72 回目錄 分解與合成策略 例 . 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除 分析：先把 30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2 3 5 7 11 13依題 意可知偶因數(shù)必先取 2,再?gòu)钠溆?5個(gè) 因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有 的偶因數(shù)為： 0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5C C C C C C? ? ? ? ?例 8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面 直線(xiàn) 回目錄 解：我們先從 8個(gè)頂點(diǎn)中任取 4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四 體共有體共 __________ 每個(gè)四面體有 ___ 對(duì)異面直線(xiàn) ,正方體中的 8個(gè)頂點(diǎn)可連成 ____________對(duì)異面直線(xiàn) 48 12 58C ??3 3 58=174 分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最 基本的解題策略 ,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾 個(gè)小問(wèn)題逐一解決 ,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的 結(jié)構(gòu) ,用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn) 題合成 ,從而得到問(wèn)題的答案 ,每個(gè)比較復(fù) 雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略 回目錄 化歸策略 例 . 25人排成 5 5方隊(duì) ,現(xiàn)從中選 3人 ,要 求 3人都不在同一行也不在同一列 ,不同的 選法有多少種？ 解： 將這個(gè)問(wèn)題退化成 9人排成 3 3方隊(duì) ,現(xiàn)從中選 3人 ,要求 3人不在同一行也不在同一列 ,有多少選法 .這樣每行必有 1人從其中的一行中選取 1人后 ,把這人所在的行列都劃掉， 回目錄 從 5 5方隊(duì)中選取 3行 3列有 _____選法 所以從 5 5方隊(duì)選不在同一行也不在同 一列的 3人有 __________________選法。 3355CC3 3 1 1 15 5 3 2 1 600C C C C C ?處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題 如此繼續(xù)下去 .從 3 3方隊(duì)中選 3人的方法 有 ___________種。再?gòu)?5 5方隊(duì)選出 3 3 方隊(duì)便可解決問(wèn)題 1 1 13 2 1C C C回目錄 對(duì)應(yīng)法 例 1在 100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問(wèn)要舉行幾場(chǎng)？ 分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰 99名選手，淘汰一名選手需要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，所以淘汰 99名選手就需要 99場(chǎng)比賽。 回目錄 某城市的街區(qū)由 12個(gè)全等的矩形區(qū)組成 其中實(shí)線(xiàn)表示馬路，從 A走到 B的最短路 徑有多少種？ 練習(xí)題 B A 37 35C ?回目錄 特征分析 研究有約束條件的排數(shù)問(wèn)題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。 例 由 1， 2， 3， 4， 5， 6六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)且是 6的倍數(shù)的五位數(shù)？ 分析數(shù)字特征： 6的倍數(shù)既是 2的倍數(shù)又是 3的倍數(shù)。其中 3的倍數(shù)又滿(mǎn)足“各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是 3的倍數(shù)”的特征。把 6分成 4組，（ 3， 3），（ 6），（ 1， 5），（ 2， 4），每組的數(shù)字和都是 3的倍數(shù)。因此可分成兩類(lèi)討論； 第一類(lèi)：由 1， 2， 4， 5， 6作數(shù)碼；首先從 2， 4， 6中任選一個(gè)作個(gè)位數(shù)字有 ，然后其余四個(gè)數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以 第二類(lèi)：由 1， 2， 3， 4， 5作數(shù)碼。依上法有 13A44A 14341N AA?14242N AA?12= + = 1 2 0 ( )NN故 個(gè)N 回目錄 （ 1）練習(xí) :（徐州二檢）從 6人中選 4人組成4 100m接力賽，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？ 分析：（一）直接法 （二）間接法 （ 2） 從正方體的 8個(gè)頂點(diǎn)中選 4個(gè)作四面體，則不同的四面體的個(gè)數(shù)為 。 練 習(xí) 58 （ 3） 一個(gè)三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既 小于百位上的數(shù)字也小于個(gè)位上的數(shù)字 ， 且個(gè)位百位上的數(shù)字不重復(fù)（如７３５等） 那么這樣的三位數(shù)有 個(gè)． 回目錄 144 240 例 袋中有 5分硬幣 23個(gè) ,1角硬幣 10個(gè) ,如果從袋中取出 2元錢(qián) ,有多少種取法 ? 解 把所有的硬幣全部取出來(lái) ,將得到 23+ 10= ,所以比 2元多 ,所以剩下 3個(gè) 5分或 1個(gè) 5分與 1個(gè) 1角 ,所以共有 種取法 . 110123323 CCC ??結(jié)論 剩余法 :在組合問(wèn)題中 ,有多少取法 ,就有多少種剩法 ,他們是一一對(duì)應(yīng)的 ,因此 ,當(dāng)求取法困難時(shí) ,可轉(zhuǎn)化為求剩法 . 分析 此題是一個(gè)組合問(wèn)題 ,若是直接考慮取錢(qián)的問(wèn)題的話(huà) ,情況比較多 ,也顯得比較凌亂 ,難以理出頭緒來(lái) .但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問(wèn)題的話(huà) ,就會(huì)很容易解決問(wèn)題 . 回目錄 小結(jié) 本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見(jiàn)的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過(guò)我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件 ,我們就可以選取不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題 .對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題 ,我們可以將幾種策略結(jié)合起來(lái)應(yīng)用把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類(lèi)旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。