【正文】 對于女生有特殊的限制 ,因此 ,女生是特殊元素 ,并且要求她們要相鄰 ,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題 . 回目錄 某人射擊 8槍，命中 4槍， 4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ） 練習(xí)題 20 回目錄 有 8本互不相同的書 ,其中數(shù)學(xué)書 3本 ,外文書 2本 ,其他書 3本 .若將這些書排成一列放在書架上 ,則數(shù)學(xué)書恰好排在一起 ,外文書也恰好排在一起的排法共有 _____ 種 (結(jié)果用數(shù) 值表示 ). 回目錄 不相鄰問題插空策略 例 4個舞蹈 ,2個相聲 ,3個 獨唱 ,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場 ,則節(jié)目的出 場順序有多少種 ？ 解 :分兩步進(jìn)行第一步排 2個相聲和 3個獨唱共 有 種， 55A第二步將 4舞蹈插入第一步排 好的 6個元素中間包含首尾兩個空位共有 種 不同的方法 46A由分步計數(shù)原理 ,節(jié)目的 不同順序共有 種 55A 46A相 相 獨 獨 獨 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 回目錄 不相鄰問題 ——插空法 對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它 元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素 之間及兩端的空隙之間插入即可。 473377 AAA ?分析：先在 7個位置上作全排列，有 種排法。 在９個空檔中選６個位置插個隔板， 可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個 班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法 共有 ___________種分法。 2226 4 2CCC2226 4 2CCC33A2226 4 2CCC33A平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù) )避免重復(fù)計數(shù)。 例 將數(shù)字 1， 2， 3， 4填入標(biāo)號為 1， 2， 3， 4的四個方格內(nèi)，每個方格填 1個，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ） 分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。 回目錄 實際操作窮舉策略 例 .設(shè)有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2 3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5個球投入這五 個盒子內(nèi) ,要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個球中取出 2個與盒子對號有 _____種 還剩下 3球 3盒序號不能對應(yīng)， 利用實際 操作法，如果剩下 3,4,5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則 4,5號球有只有 1種裝法 3號盒 4號盒 5號盒 3 4 5 25C回目錄 實際操作窮舉策略 例 .設(shè)有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2 3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5個球投入這五 個盒子內(nèi) ,要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個球中取出 2個與盒子對號有 _____種 還剩下 3球 3盒序號不能對應(yīng)， 25C利用實際 操作法，如果剩下 3,4,5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則 4,5號球有只有 1種裝法 , 25C 同理 3號球裝 5號盒時 ,4,5號球有也 只有 1種裝法 ,由分步計數(shù)原理有 2 種 回目錄 練 習(xí) ：（不對號入座問題） （ 1）（ 2020湖北）將標(biāo)號為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個球放入標(biāo)號為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個盒子中， 每個盒內(nèi)放一個球，恰好有 3個球的標(biāo)號與其所在盒子 的標(biāo)號不一致的放入方法有 ___________種 310 2C ?（ 2）編號為 5的五個球放入編號為 5的五個盒子里，至多有 2個對號入座的情形有 ___________種 109 直接法： 3 4 55 5 52 9 44 10 9C C C? ? ? ? ? ?間接法： 5355 1 1 10 9AC? ? ? ?回目錄 注意區(qū)別“恰好”與“至少” 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480種（ B） 240種 （ C） 180種 （ D） 120種 小結(jié)：“恰好有一個”是“只有一個”的意思。把 6分成 4組，（ 3， 3），（ 6），（ 1， 5），（ 2， 4），每組的數(shù)字和都是 3的倍數(shù)。根據(jù)它們的條件 ,我們就可以選取不同的技巧來解決問題 .對于一些比較復(fù)雜的問題 ,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。 例 由 1， 2， 3， 4， 5， 6六個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)且是 6的倍數(shù)的五位數(shù)？ 分析數(shù)字特征： 6的倍數(shù)既是 2的倍數(shù)又是 3的倍數(shù)。因而，第一格填 2有 3種方法。 基礎(chǔ)訓(xùn)練 回目錄 練習(xí) 某學(xué)習(xí)小組有 5個男生 3個女生，從中選 3名男生和 1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有 1人參加，則有不同參賽方法______種 . 解：采用先組后排方法 : 3 1 2 35 3 4 3 1080C C C A? ? ? ?回目錄 小結(jié)： 本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后排列。 24A24A35A13A392 132435 ??? AAA24A 24A13A種排法。 回目錄 １ .計劃展出 10幅不同的畫 ,其中 1幅水彩畫 ,４ 幅油畫 ,５幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩 端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 _______ 2. 5男生和５女生站成一排照像 ,男生相鄰 ,女 生也相鄰的排法有 _______種 2 5 52 5 5A A A2 5 42 5 4A A A回目錄 元素相同問題隔板策略 應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題 不定方程的正整數(shù)解問題 隔板法的使用特征： 相同的元素分成若干部分，每部分至少一個 元素相同問題隔板策略 例 .有 10個運(yùn)動員名額，在分給 7個班，每 班至少一個 ,有多少種分配方案？ 解：因為 10個名額沒有差別，把它們排成 一排。 “ 插空 ” 有同時“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 例 6 有 4名男生， 3名女生。 排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn) “ 重 ” 、 “ 漏 ”現(xiàn)象，而重 ” 、 “ 漏 ” 錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。 例 2 用 0， 1， 2， 3， 4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因為 0不能排首位，故 0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。 以只會唱歌的 5人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究 只會唱 的 5人中沒有人選上唱歌人員共有 ____ 種 ,只會唱的 5人中只有 1人選上唱歌人 員 ________種 ,只會唱的 5人中只有 2人 選上唱歌人員有 ____種，由分類計數(shù) 原理共有 ______________________種。 A. 6 種 B. 9種 （ 3 3 1= 9. 可用框圖具體填寫） B 考點分析 從 《 考綱大綱 》 看：高考對這部分的要求還是比較高的 .要重視兩個計數(shù)原理、排列、組合在解決實際問題上的應(yīng)用 .值得提醒地是：計數(shù)模型不一定是排列或組合 .畫一畫，數(shù)一數(shù)，算一算，是基本的計數(shù)方法，不可廢棄 . 例（ 2020年新課程卷） 某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得 3分；平一場，得 1分；負(fù)一場，得 0分 .一球隊打完 15場，積 33分 .若不考慮順序，該隊勝、負(fù)、平的情況共有： A 3種 B 4種 C 5種 D 6種 . 回目錄 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下 : ,即采取分步還 是分類 ,或是分步與分類同時進(jìn)行 ,確定分多 少步及多少類。m 3m 2 返回目錄 某校組織學(xué)生分 4個組從 3處風(fēng)景點中選一處去春游 ,則不同的春游方案的種數(shù)是（ ）A. B. C. D. C34 A34 43 34 C 回目錄 將數(shù)字 4 填入標(biāo)號為 4 的四個方格里 , 每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字都不相同的填法共有（ ）。12) 在由數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5組成的所有 沒有重復(fù)的 5位數(shù)中，大于 23145且小于 43521的 數(shù)共有（ ）個 58 回目錄 合理分類與分步策略 例 .在一次演唱會上共 10名演員 ,其中 8人能唱歌 ,5人會跳舞 ,現(xiàn)要演出一個 2人唱歌 2人伴舞的節(jié)目 ,有多少選派方法 ? 解： 10演員中有 5人只會唱歌， 2人只會跳舞 3人為全能演員。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件 回目錄 “特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排法” 對于特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。解決某些元素在某些位置上用 “ 定位法 ” ，解決某些元素不在某些位置上一般用 “ 間接法 ”或轉(zhuǎn)化為 “ 在 ” 的問題求解。8個學(xué)生， 4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？ 解 先排學(xué)生共有 種排法 ,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有 7個空檔可插 ,選其中的 4個空檔 ,共有 種選法 .根據(jù)乘法原理 ,共有的不同坐法為 種 . 88A47A 4788 AA結(jié)論 插入法 :對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題 ,可以用插入法 .即先排好沒有限制條件的元素 ,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可 . 分